2007年12月南京联合体学校高二数学月考试卷

实用文档 南京联合体学校07-08年度第一学期 12月份月考高二数学试卷 满分：160分 时间：120分钟
一、 填空题（14小题⨯5=70分）把答案写在答题卷上的相应位置
1、命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是 ▲ .
2、曲线y=x 3－1在点（1，0）处的切线方程为 ▲ .
3、已知△ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,则顶点A 轨迹方程
为 ▲ .
4、双曲线22
16436
x y -=左支上的点P 到左准线的距离是10，那么P 到其右焦点的距离是▲ .
5、若椭圆22211
x y m +=+的离心率为32，则它的长半轴长为 ▲ . 6、曲线y x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x
2所围成的三角形的面积为
▲ . 7、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则
函数)(x f 在开区间),(b a 内有 ▲ 个极小值点.
a b x
y )
(x f y ?=O
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8、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 ▲ .
9、函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为 ▲ .
10、若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，则a 的取值范围为 ▲ .
11、物体的运动方程是s=－31t 3＋2t 2－5,则物体在t=3时的瞬时速度为 ▲ .
12、已知函数==•=+ab x y x a y b a 则，的导数为 62/ ▲ .
13、设12,F F 是双曲线116
92
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=， 则△12F PF 的面积为 ▲ .
14、已知 {}()(){}032:;4:>--<-=x x x q a x x A p ，且非p 是非q 的充分不
必要条件，则a 的取值范围为 ▲ .
二、解答题（6题，共90分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
15、（本小题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一条准线的方程为254x =-，焦点到相应准线的距离为94
. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）写出该椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标；
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（3）求以已知椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程.
16、（本题满分12分）在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再
把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，
17、（本题满分15
分）已知p ：方程012=
++mx x 有两个不相等的负实根；
q ：方程01)2(2=+-+x m x 无实根，若q p 或为真，q p 且为假，求m 取值范围.
18、（本题满分16分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－2
3
与x＝1时都
取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x[－1，2]，不等式f（x） c2恒成立，求c的取值范围。

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实用文档 19、（本题满分16分）设0≠t ，点P （t ，0）是函数c
bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.
（Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；
（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围.
20、（本题满分16分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |
＝ 3 ，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程；
（2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所
得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线
的方程；若不能，说明理由．
溧水县第三高级中学07-08年度第一学期高二月考
数学答案卷
一、填空题（14小题 5=70分）
1、 2、 3、
4、 5、 6、
7、 8、 9、10、 11、 12、13、 14、
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二、解答题 写出必要的解题步骤
15、（本小题满分15分）
16、（本题满分12分）
17、（本题满分15分）
18、（本题满分16分）
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19、（本题满分16分）
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20、（本题满分16分）
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数学答案
1、2,10x R x x ∃∈++≤.
2、33y x =-. 3221(0)95x y y +=≠.4、572
. 5、2 6、3
8 7、1个 8、430x y --= 9、(0,2) 可以包括“=” 10、a<0 11、__3____ 12、2 13
、、61≤≤-a
15、【15分】（1）设椭圆的标准方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>， 则2254
a c =……①，294a c c -=……② 联立①②解得4c =，5a =，所以3
b =， 故所求的椭圆方程为19
252
2=+y x . （2）椭圆的长轴长为10，短轴长为6，离心率为45
，焦点坐标为（-4，0），（4，0），
实用文档 顶点坐标为（-5，0），（5，0），（0，-3），（0，3）.
（3）可设双曲线的方程为22
221(0,0)x y m n m n
-=>>， 由于以已知椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点，故4m =
且5=，所以3n =. 所求双曲线方程是22
1169x y -=.
16、【12分】解 设箱底边长为x （cm ），则无盖的方底箱子的高为302
x
-（
cm ），其体积为V （cm 3），则321
302V x x =-+（060x <<）.
∴'23
602V x x =-+，
令'0V =，得23
6002x x -+=，解得40x =（0已舍去）
且仅当(0,40)x ∈时，'0V >；当(40,60)x ∈时，'0V <.
所以函数()V x 在40x =时取得极大值，
结合实际情况，这个极大值就是函数()V x 的最大值.
(40)16000V =，
答 当箱底边长为40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3.
17、【15分】解： 方程012=++mx x 有两个不相等的负实根，
∴⎩⎨⎧<->-=∆0
042m m ， p ：2>m 。

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方程01)2(2=+-+x m x 无实根，∴04)2(2<--=∆m ， q ：40<<m 。

q p 或为真，q p 且为假，∴ 当q p ,中一个真，另一个为假。

当p 为真，q 为假时， 则有 ⎩⎨⎧≥≤>4
02m m m 或 ， 4≥∴m 。

当p 为假，q 为真时， 则有⎩⎨⎧<<≤4
02m m ， 20≤<m 。

综上所述，m 取值范围是 20≤<m 或4≥m
18、【16分】⑴a ＝12－，b ＝－2 f （x ）的递增区间是（－
，－23）与（1，＋） 递减区间是（－
23，1） ⑵c
－1或c 2
19、【16分】解：（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ， 即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=.
.,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即
又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='
而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以 将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -=
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（II ）解法一))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.
当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减.
由0<'y ，若t x t t <<->3,0则；若.3
,0t x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).3
,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或 所以.39.33
3≥-≤≥-≥t t t t 或即或 又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减.
所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞
解法二：))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-= 因为函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，且))(3(t x t x y -+='是（－1，3）
上的抛物线，
所以⎩⎨⎧≤'≤'=-=.0|,0|3
1x x y y 即⎩⎨⎧≤-+≤--+-.0)3)(9(.0)1)(3(t t t t 解得.39≥-≤t t 或 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞
20、【16分】解：（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，
实用文档 则A （－2，0），B （2，0），C （2， 3 ），D （－2，3）．依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．
22
21(||||)4,2,12,1(24,021612
x y a AD BD c
b x y =+
===∴+=-≤≤≤≤所求方程为
（2）设这样的弦存在，其方
程
22
(2),(2)11612
x y y k x y k x =-=-+=即将其代入 得2222(34)16)16360k x
k x k ++
-+--=
设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由
1212
2,4,4,
2x x x x k +
=+===知解得 ∴弦MN
所在直线方程为y x =+验证得知，这时(0,(4,0)M N 适合条件．故这样的直线存在，其方程为y x =+。