湖南省醴陵市两校高二数学上学期期中联考试题 理

2017年下学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、已知椭圆的方程为22
1916
x y +=，则此椭圆的长轴长为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 72 2、若a b >，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．22a b >
B ．
11
a b
< C ．a b < D ．22a b > 3、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( )
A ．79
B ．69
C ．5
D ．-5
4、等比数列{}n a 的前n 项和为{}n s ，已知9,105123=+=a a a s ，则1a =（ ） A ．
19 B. 13- C. 13 D. 19
- 5、由111,31
n
n n a a a a +==
+给出的数列{}n a 的第54项为（ ）
A ．
161
54
B ．1601
C ．160
D ．8027
6、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3
,3π
=
=A a ，则c b +的最大
值为（ ）
A ．32
B ．2
C ．33
D ．4 7、下列说法错误．．
的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠,则2320x x -+≠”． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题．
D ．命题p ：存在x R ∈使得210x x ++<．则p ⌝：任意x R ∈， 均有210x x ++≥． 8、已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若
sin sin sin c b A
c a C B
-=-+，则B =（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．32π
9、不等式03522<--x x 的一个充分不必要条件是( ) A ．－
21<x <3 B ．－21<x <0 C ．－3<x <2
1
D ．－1<x <6 10、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
54钱 B ．5
3
钱 C ．43钱 D ．32钱 11、已知点P 为椭圆22
221x y a b
+=()0>>b a 上一点，21,F F 分别为其左、右焦点，且
0212160,=∠⊥F PF PF PF 。

则=e ( )
A ．
12 B 、3
2
C 、213-
D 、31- 12、将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
按照以上排列的规律,第100 行从右向左的第20个数为（ ） A. 9939 B. 10061 C. 10063 D. 10059 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、方程
()()10222
22
2=+++
+-y x y x ,化简的结果是 。

14、若,x y 满足约束条件20
20220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =+的取值范围为 。

15、已知0,0>>b a ,方程为0242
2=+-+y x y x 的曲线关于直线01=--by ax 对称,
则
ab
b
a 23+的最小值为 。

16、记n 项正项数列为n a a a ,,,21⋅⋅⋅，其前n 项积为n T ，定义)lg(21n T T T ⋅⋅⋅⋅为“相对叠乘积”，如果有2017项的正项数列2017321,,,,a a a a Λ的“相对叠乘积”为2017，则有2018项的数列2017321,,,,,10a a a a Λ的“相对叠乘积”为 。

三、解答题：（共70分）
17、（本小题满分10分）已知ABC ∆的周长为)12(4+，且A C B sin 2sin sin =+．
（1）求边长a 的值；
（2）若A S ABC sin 3=∆，求A cos 的值．
18、( 本小题满分12分)设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，
命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0
820
622
x x x x
（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19、( 本小题满分12分) 已知{}n a 是正项等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，31=a ，
532S a a =⋅．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的通项为1b n S n
=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：
4
331<≤n T ．
20、(本小题满分12分)如图，AMN 是某花园的一角，为方便游玩，现拟在边角线AM 上找一点B ，修一条长为20米的观光大道BC ，C 在边角线AN 上. （1）若72
142,cos 56
AC A ==
米，求AB 的值； （2）现保洁需要，在AMN 内的一点D 添置垃圾箱及修条通道BD 、DC ，由美化要求
0120=∠BDC ,求通道DC BD +的最大路径。

21、(本小题满分12分)已知数列{}n a 是首项为411=
a ，公比4
1
=q 的等比数列，设)(log 324
1+∈=+N n a b n n ，数列{}n
c 满足n n n b a c ⋅=.
（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若14
12
-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.
22、（本题满分12分）以椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的中心O 为圆心，2
2b a +为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2=AB ，OFB OAB S S ∆∆=
2
6
. （1）求椭圆C 及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED 与椭圆C 交于M 、N 两点，
试证明：当0=⋅OM 时，弦ED 的长为定值.
2017年下学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、已知椭圆的方程为22
1916
x y +=，则此椭圆的长轴长为（ A ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 72 2、若a b >，则下列不等式中正确的是（ D ）
A ．22a b >
B ．
11
a b
< C ．a b < D ．22a b > 3、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( D )
A ．79
B ．69
C ．5
D ．-5
4、等比数列{}n a 的前n 项和为{}n s ，已知9,105123=+=a a a s ，则1a =（ A ） A ．
19 B. 13- C. 13 D. 19
- 5、由111,31
n
n n a a a a +==
+给出的数列{}n a 的第54项为（ B ）
A ．
161
54
B ．1601
C ．160
D ．8027
6、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3
,3π
=
=A a ，则c b +的最大
值为（ A ）
A ．32
B ．2
C ．33
D ．4 7、下列说法错误．．
的是（ C ） A ．命题“若2320x x -+=则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠,则2320x x -+≠”． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题．
D ．命题p ：存在x R ∈使得210x x ++<．则p ⌝：任意x R ∈， 均有210x x ++≥． 8、已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若
sin sin sin c b A
c a C B
-=-+，则B =（ C ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π
D ．32π
9、不等式03522<--x x 的一个充分不必要条件是( B ) A ．－
21<x <3 B ．－21<x <0 C ．－3<x <2
1
D ．－1<x <6 10、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ C ） A ．
54钱 B ．5
3
钱 C ．43钱 D ．32钱 11、已知点P 为椭圆22
221x y a b
+=()0>>b a 上一点，21,F F 分别为其左、右焦点，且
0212160,=∠⊥F PF PF PF 。

则=e ( D )
A ．
12 B 、3
2
C 、213-
D 、31- 12、将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
按照以上排列的规律,第100 行从右向左的第20个数为（ B ） A. 9939 B. 10061 C. 10063 D. 10059 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、方程
()
()
10222
2
2
2
=+++
+-y
x y x ,化简的结果是 121
252
2=+
y x 14、若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =+的取值范围为 ),2[+∞ .
15、已知0,0>>b a ,方程为0242
2
=+-+y x y x 的曲线关于直线01=--by ax 对称,
则
ab
b
a 23+的最小值为7+4
16、记n 项正项数列为n a a a ,,,21⋅⋅⋅，其前n 项积为n T ，定义)lg(21n T T T ⋅⋅⋅⋅为“相对叠乘积”，如果有2017项的正项数列2017321,,,,a a a a Λ的“相对叠乘积”为2017，则有2018项的数列2017321,,,,,10a a a a Λ的“相对叠乘积”为 4035 三、解答题：（共70分）
17、（本小题满分10分）已知ABC ∆的周长为)12(4+，且A C B sin 2sin sin =+．
（1）求边长a 的值； （2）若A S ABC sin 3=∆，求A cos 的值． 解: （1）根据正弦定理，A C B sin 2sin sin =
+可化为a c b 2=+． 2分
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++a
c b c b a 2)12(4，解得4=a ． 5分
（2）A S ABC sin 3=∆Θ，A A bc sin 3sin 2
1
=∴ 6=∴bc ． 7分
又由（1）可知，24=+c b ，
∴由余弦定理得3
1
22)(2cos 22222=--+=-+=bc a bc c b bc a c b A 10分
18、( 本小题满分12分)设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，
命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0
820
622
x x x x
（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由03422<+-a ax x 得()()03<--a x a x . 当1=a 时，31<<x ，
即p 为真命题时，实数x 的取值范围是31<<x . 2分
由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0
820622
x x x x 解得32≤<x . 4分 所以q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x .
若q p ∧为真，则32<<x ，所以实数x 的取值范围是(2,3). 6分 (2) q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，
设{}{}
32|3|>≤=≥≤=x x x B a x a x x A 或，或， 8分 则A 真包含于B ,所以20≤<a 且33>a ，即21≤<a . 10分 所以实数a 的取值范围是(1,2]. 12分
19、( 本小题满分12分) 已知{}n a 是正项等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，31=a ，
532S a a =⋅．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的通项为1b n S n
=
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：
4
331<≤n T ． 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由已知得)23(5)23)(3(d d d +=++ 2分
解得2=d ，或2
3
-=d （与题意“{}n a 是正项等差数列”不符，舍去） 4分
{}n a 的通项公式为12)1(1+=-+=n d n a a n
5分
（2）由⑴得)2(2
)
(1+=+=
n n a a n S n n 6分 )2
11(21)2(11+-=+==
n n n n S b n n 8分 )]2
11()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=n n n n T n Λ
4
3]2111211[21<+-+-+=n n 10分 又01>=--n n n b T T ,121T T T T n n >>>∴-ΛΛ, 3
1
1=≥∴T T n ,
4
331<≤∴n T 成立。

12分
20、(本小题满分12分)如图，AMN 是某花园的一角，为方便游玩，现拟在边角线AM 上找一点B ，修一条长为20米的观光大道BC ，C 在边角线AN 上. （1）若72
142,cos AC A ==
米，求AB 的值； （2）现保洁需要，在AMN 内的一点D 添置垃圾箱及修条通道BD 、DC ，由美化要求
0120,BD+DC BDC ∠=求通道的最大路径.
解：设x AB =,
2222cos BC AB AC AB AC A
=+-••米或解得得：8,18,0872=∴-===--AB x x x x 6分 222(2)400(),BD DC BD DC BD DC BD DC =++•=+-•、
2
2
2()()40024BD DC BD DC BD DC BD DC ++⎛⎫+-=•≤=
⎪⎝⎭ 8分 2
2
()()4004
BD DC BD DC ++-≤ 10分
23()4004BD DC +∴≤ 3
3
40≤
+∴DC BD 11分 所以DC BD +的最大路径是3
3
40米。

12分
21、(本小题满分12分)已知数列{}n a 是首项为411=
a ，公比4
1
=q 的等比数列，设)(log 324
1+∈=+N n a b n n ，数列{}n
c 满足n n n b a c ⋅=.
（1）求证：{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若14
12
-+≤
m m c n 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围. 解:(1)证明：由题意知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n
(n ∈N ＋)，
∵b n ＝3log 1
4a n －2，b 1＝3log 1
4a 1－2＝1，
∴b n ＋1－b n ＝3log 1
4a n ＋1－3log 1
4a n ＝3log 14a n ＋1
a n ＝3log 1
4q ＝3，
∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列． 4分
(2)由(1)知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n
，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)， ∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)，
∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ； 于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1
， 6分 两式相减得
34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. ∴S n ＝23－12n ＋83×⎝ ⎛⎭⎪⎫
14n ＋1
(n ∈N ＋)． 8分
(3)∵c n ＋1－c n ＝(3n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝9(1－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1
(n ∈N ＋)，
∴当n ＝1时，c 2＝c 1＝1
4，
当n ≥2时，c n ＋1＜c n ，即c 1＝c 2＞c 3＞c 4＞…＞c n ，
∴当n ＝1或2时，c n 取得最大值是1
4. 10分 又c n ≤14m 2
＋m －1对一切正整数n 恒成立， ∴14m 2
＋m －1≥14，
即m 2
＋4m －5≥0，解得m ≥1或m ≤－5.
故实数m 的取值范围为{m |m ≥1或m ≤－5}． 12分
22、（本题满分12分）以椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的中心O 为圆心，2
2b a +为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2=AB ，OFB OAB S S ∆∆=
2
6
.
（1）求椭圆C 及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED 与椭圆C 交于M 、N 两点，
试证明：当0=⋅ON OM 时，弦ED 的长为定值. 解：（1）设椭圆C 的左焦点F 0),0,(>-c c ，由OFB OAB S S ∆∆=
2
6
得c a 26=，又2=AB ，即422=+b a 且222a c b =+，所以1,322==b a ，
则椭圆C 的方程为13
22
=+y x ；椭圆C 的“准圆”方程为422=+y x . 4分
（2）证明：①当弦⊥ED x 轴时，交点N 、M 关于x 轴对称，又0=⋅ON OM 则
ON OM ⊥，可设),(),(t t N t t M -、，13t 22=+t 得23
=
t ，此时原点O 到弦ED 的距离3
||2
d t ==
； 6分
②当弦ED 不垂直于x 轴时，设直线ED 的方程为),(R b k b kx y ∈+=，且与椭圆C 的交点),(),(2211y x N y x M 、，
联列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=132
2y x b
kx y 代入消元得：0336)31(2
22=-+++b kbx x k 7分 由2221221313
3,316k b x x k kb x x +-=+-=+可得2
222121313))((k
k b b kx b kx y y +-=++= 8分 由0=⋅ON OM 得02121=+y y x x 即
++-223133k b 0313343132
22222=+--=+-k
k b k k b ， 所以)1(4322
+=k b 10分 此时0327)13(12)33)(31(4362
2
2
2
2
2
2
>+=+-=-+-=∆k b k b k b k 成立， 则原点O 到弦ED 的距离2
3431
1
22
2==+=
+=
k b k b d
综上得原点O 到弦ED 的距离为
2
3
，则134342=-=ED ，因此弦ED 的长为定值.
12分。