2.2基本不等式课件(人教版)

1
给出了“当且仅当x= ，即x 2=1，x=1时，等号成立”，这是

1
为了说明2是x＋ （x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x

1
1
＋ =y0成立吗？这时能说y.是x＋ （x>0）的最小值吗？


课程讲解
例2 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；
是297600元.
随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证：
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
ab
分析：对于此类题目，选择定理：
（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结
ab
2
果.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2 ＞0
b＋c≥2 ＞0
c＋a≥2 ＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ·2 ·2 ＝８abc
+
中，
叫做正数a，b的算术平均数，
2
叫做正数a，b的
几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数.
课程讲解
思考: 上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等
式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下
面我们来分析一下.
课程讲解
ab
1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式 ab
2
2
所以(a b) ≥0
2
所以a 2 b 2≥2ab.
2
课程讲解
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥ 2 ab
2
2
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
问题一 如果 a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a , b,
（ -
）2≥0
（4）
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
问题探究
思考：你能给出不等式 a b ≥ 2 ab 的证明吗？
2
2
证明：（作差法） a b 2ab ( a b)
2
2
当a b时
( a b) 0
当a b时
( a b) 0
≤

,
2
所以
≤
1 2
，
4
1 2
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值 .
4
课程讲解
例3 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的
边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的
2
特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b ，可得
a b 2 ab
ab
(a>0,b>0)
通常我们把上式写作： ab
2
课程讲解
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证
ab
Hale Waihona Puke ab2（1）只要证
a+b≥ 2
（2）
要证（2），只要证
a+b- 2 ≥0
（3）
要证（3），只要证
+
2
=
18
2
= 9，
可得
xy≤81，
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最
大面积是81m2.
课程讲解
例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为
4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池
壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总
可得到什么结论？
课程讲解
问题一
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a , b,
可得到什么结论？
2
2
( a ) ( b ) ≥2 a b
替换后得到：
即： a b≥2 ab
ab
即：
≥ ab ( a 0 , b 0 )
2
问题二
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
1 2
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .
4
课程讲解
证明：因为x，y都是正数，所以
+
2
≥ .
（1）当积xy等于定值P时，
+
2
≥ ，
所以
+ ≥ 2 ，
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2 .
课程讲解
（2）当和x+y等于定值S时，
（1）由已知得xy=100.
由
+
2
≥ ，
可得
x+y≥2 =20，
所以
2（x+y）≥40，
当且仅当x=y=10时，上式等号成立
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.
课程讲解
（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy m2.
由
≤
ab
在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
2
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课程讲解
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
D
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C
是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂
A
直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
+120（2×3x+2×3y）
3
=240000+720（x+y）.
课程讲解
由容积为4800m3，可得
3xy=4800，
因此
xy=1600.
所以
z≥240000+720×2 ，
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价
课程讲解
填表比较：
2
a b ≥ 2 ab
ab
≥ ab
2
a,b∈R
a＞0,b＞0
2
适用范围
文字叙述
“=”成立条
件
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不
小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
注意:从不同角度认识基本不等式
a=b
课程讲解
例1
1
已知x>0，求x＋ 的最小值.

1
1
1
分析：求x＋ 的最小值，就是要求一个y0（=x0＋ ），使∀x>0，都有x＋ ≥y.观
2 + 2
要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
，
2
+ 2
ab≤（ ） .
2
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函
数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的
一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数
的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项
的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项
均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三
个条件：一正二定三取等.
再
见
课程讲解
问题二
ab
≥ ab ( a 0 , b 0 )
证明不等式：
2
ab
证明：要证
2
分
析
法 ①
≥ ab
a b≥ _______
2 ab
要证①，只要证 a b _____
2 ab ≥ 0
只要证
②
( a 0, b 0, a ( a ) , b ( b ) )
2
要证②，只要证
a O C b B
ab
①如何用a, b表示OD? OD=______
E
2
探究一
②如何用a, b表示CD?
CD=______ab
Rt△ACD∽Rt△DCB，
所以 DC 2 BC AC ab
BC DC
所以

DC AC
课程讲解
探究一 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
D
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C
2
(___

___)
a
b ≥0
2
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
课程讲解
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则
≥ 2 ab
a b _____
ab
( a 0, b 0)
通常我们把上式写作： ab ≤
2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻
边之积为定值，边长多大时周长最短.
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻
边之和为定值，边长多大时面积最大.
课程讲解
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.



1

1

1

察x+ ，发现x∙ =1.联系基本不等式，可以利用正数x和 的算术平均数与几何平
均数的关系得到y0=2.
解：因为x>0，所以
1

1

x＋ ≥ 2 ∙ =2
当且仅当x=
1
，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.

课程讲解
1
在本题的解答中，我们不仅明确了∀x>0，有x＋ ≥2，而且
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术
+
平均数（ ），几何平均数（
2
+
）及它们的关系（
2
≥ ）.
它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重
是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂
A
直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
a O C b B
ab
①如何用a, b表示OD? OD=______
2
E
②如何用a, b表示CD?
CD=______ab
③OD与CD的大小关系怎样?
ab
≥ ab
2
≥
OD_____CD
＞
几何意义：半径不小于弦长的一半
造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底
的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边
长取什么值时，水池的总造价最低.
课程讲解
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的
总造价为2元.根据题意，有
4800
z=150×
第二章·第2课
基本不等式
课程导入
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
一般地，∀, ∈ ，有
a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果a>0，b>0，我们用 , 分别代替上式中的a，b，
可得
≤
当且仅当a=b时，等号成立.
+
2
①
课程导入
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其