2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)开学数学试卷(2月份)(解析版)

2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一（下）开学数学试卷（2
月份）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在相应位置上1．（5分）计算：cos570°＝．
2．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B的子集个数为．
3．（5分）若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．
4．（5分）在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则B＝．
5．（5分）设a＝0.30.2，b＝1og0.23，c＝lnπ，则a，b，c从小到大排列的顺序为．（用“＜”连结）
6．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则||．
7．（5分）已知tan（x+）＝2，则tan x＝．
8．（5分）函数的增区间是．
9．（5分）已知函数y＝3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是．
10．（5分）已知3x＝12y＝2，则﹣＝．
11．（5分）方程lnx＝8﹣2x的解为x0，则不等式x≤x0的最大整数解是．
12．（5分）四边形ABCD中，已知＝＝（1，1）且+＝，则此
四边形的面积等于．
13．（5分）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．
14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（1，2]时，f（x）＝﹣2x+3，若关于x的方程f（x）＝log a|x|（a＞1）恰好有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15．（14分）已知函数f（x）＝的定义域为A，集合B＝{x|2≤2x≤16}，集合C ＝[m+1，3m]，全集为实数集R．
（1）求集合A∩B和∁R B；
（2）若A∪C＝A，求实数m的取值集合．
16．（14分）已知＜α＜π，＜β＜π，cosα＝﹣，tanβ＝﹣．（1）求sin（α﹣π）的值．
（2）求α+β的值．
17．（14分）设函数，其中0＜ω＜3，．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在（，）上的值域．
18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN＝2，PN＝1（单位：km），PN⊥MN．
（1）设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离P A表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；
（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．
19．（16分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，＝2，M是线段CE上的一动点（1）当M是线段CE的中点时，
①若＝m+n，求m+n的值；
②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明•为常数，并求该常数；
（2）当•＝7时，求（+2）•的最小值．
20．（16分）已知m∈R，函数f（x）＝lg（m+）．
（1）当m＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若函数g（x）＝f（x）+1gx2有且仅有一个零点，求m的值；
（3）设m＞0，任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤1对任意t∈[，]恒成立，求m的取值范围．
2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一（下）开学数学
试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在相应位置上1．【解答】解：cos570°＝cos（720°﹣150°）＝cos150°＝﹣cos30°＝．故答案为：．
2．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}，
∴A∪B的子集个数为：23＝8．
故答案为：8．
3．【解答】解：∵，
∴tanθ＜0，sinθ＞0，
故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，
故答案为：二．
4．【解答】解：∵A＝，a＝，b＝1，
由正弦定理可得，，
则sin B＝＝＝，
∵a＞b，
∴A＞B，
∴B＝
故答案为：
5．【解答】解：0＜0.30.2＜0.30＝1，log0.23＜log0.21＝0，lnπ＞lne＝1；
∴b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
6．【解答】解：单位向量，的夹角为60°，
则＝+4•+4＝1+4×1×1×cos60°+4×1＝7，
∴|+2|＝．
故答案为：．
7．【解答】解：∵已知tan（x+）＝2，∴＝2，解得tan x＝，故答案为：．
8．【解答】解：函数的定义域为{x|x2+x﹣6≥0}
化简，得x≤﹣3或x≥2
∵t（x）＝x2+x﹣6图象是开口向上的抛物线，区间（2，+∞）在对称轴x＝的右侧，∴t（x）区间（2，+∞）上是增函数
∵函数y＝是（0，+∞）上的增函数，
∴函数的增区间是（2，+∞）
故答案为：（2，+∞）
9．【解答】解：函数y＝3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后，可得函数y＝3sin（2x+2φ+）的图象；
再根据所得函数图象关于原点成中心对称，∴sin（2φ+）＝0，∴2φ+＝kπ，k∈Z，令k＝1，则φ＝，
故答案为：．
10．【解答】﹣2解：∵3x＝12y＝2；
∴x＝log32，y＝log122；
∴．
故答案为：﹣2．
11．【解答】解：设f（x）＝lnx+2x﹣8，
易得f（x）为增函数，
设f（x0）＝0，
由f（3）＝ln3﹣2＜0，f（4）＝2ln2＞0，
由零点定理得：3＜x0＜4，
则x≤x0的最大整数解是3，
故答案为：3．
12．【解答】解：∵；
∴四边形ABCD是平行四边形；
对两边平方得：；
∴；
∴BA⊥BC；
∴四边形ABCD是正方形，且；
∴四边形ABCD的面积为：2．
故答案为：2．
13．【解答】解：若a＞1，则当x≥1时，函数f（x）＝log a x≥0，当x＜0时，f（x）＝（2a﹣1）x+a＜2a﹣1+a＝a﹣1，
∵a﹣1＞0，
∴f（x）的值域是R，满足条件．
若0＜a＜1，则当x≥1时，函数f（x）＝log a x≤0，
要使f（x）的值域为R，
则要求当x＜0时，f（x）是减函数，
且满足，即，得a≤，
此时0＜a≤，
综上实数a的取值范围是0＜a≤或a＞1，
故答案为：0＜a≤或a＞1．
14．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）的图象
关于点（1，0）对称，
可得f（﹣x）＝f（x），
f（2﹣x）＝﹣f（x），
即为f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），
即为f（x+2）＝﹣f（x），
f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即f（x）为周期为4的函数，
当x∈（1，2]时，f（x）＝3﹣2x，
可得当x∈[﹣2，﹣1）时，f（x）＝3+2x，
当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣3﹣2（x﹣2）＝﹣2x+1，
当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝2x+1，
作出f（x）在R上的图象，以及y＝log a|x|（a＞1）的图象，
关于x的方程f（x）＝log a|x|（a＞1）恰好有8个不同的实数根，
即为y＝f（x）与y＝log a|x|（a＞1）的图象恰好有8个交点，
由图象可得f（4）＝1，即log a4＝1，解得a＝4．
且log a3＜1，解得a＞3．
此时y＝f（x）与y＝log a|x|（a＞1）的图象恰好有8个交点，
故答案为：{4}．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15．【解答】解：（1）要使函数有意义，则需﹣x2+5x﹣6≥0，解得：2≤x≤3，即A＝[2，3]，解不等式2≤2x≤16，得1≤x≤4，即B＝[1，4]，
所以A∩B＝[2，3]，∁R B＝（﹣∞，1）∪（4，+∞）
（2）因为A∪C＝A，所以C⊆A，
即，解得：m＝1，
所以实数m的取值集合为，
故答案为：．
16．【解答】解：（1）已知＜α＜π，cosα＝﹣，∴sinα＝＝，
∴sin（α﹣π）＝sinαcos﹣cosαsin＝•（﹣）﹣（﹣）•＝
．
（2）∵＜β＜π，∴π＜α+β＜2π，由（1）可得tanα＝＝﹣，
∵tanβ＝﹣，∴tan（α+β）＝＝＝﹣1，
故α+β＝．
17．【解答】解：（1）∵函数＝sinωx﹣cosωx﹣cosωx
＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3．
∵＝sin（﹣），∴﹣＝kπ，k∈Z，∴ω＝2，f（x）＝sin （2x﹣）．
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝sin （x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝sin（x+﹣）＝sin （x﹣）的图象，
在（，）上，x﹣∈（﹣，），
故当x﹣＝时，函数g（x）取得最大值为，当x﹣＝﹣时，函数g（x）＝﹣，
故g（x）的值域为（﹣，]．
18．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结P A．
在Rt△MAN中，sinθ＝＝，故NA＝2sinθ，
在Rt△PND中，∠PND＝θ，sinθ＝＝，cosθ＝＝，
故PD＝sinθ，ND＝cosθ．
在Rt△PDA中，P A＝＝
＝，
所以l（θ）＝，
函数l（θ）的定义域为（0，）．
（2）由（1）可知，l（θ）＝，
即l（θ）＝＝
＝＝＝，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣＝，
即θ＝时，sin（2θ﹣）取最大值1，
l（θ）max＝＝1+．
答：当θ＝时，l（θ）有最大值，最大值为1+．
19．【解答】解：（1）①根据题意知，＝2，当M是线段CE的中点时，
＝+＝+＝+（+）＝+；
又＝m+n，
由平面向量的基本定理知，m＝，n＝，
所以m+n＝；
②证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；
由AB＝3，得A（0，0），B（3，0），E（2，0），
设D（0，m）（m＞0），则C（3，m），M（，）；
因为l⊥AB，设l上的点F（2，n），
则＝（﹣，n﹣），＝（﹣1，0），
所以•＝﹣×（﹣1）+0＝，为定值；
（2）由②建立平面直角坐标系，计算＝（﹣3，﹣m），＝（﹣1，﹣m），根据•＝3+m2＝7，解得m＝2（负值舍去），所以点C（3，2）；
根据M为线段CE上一动点，设＝λ（0≤λ≤1），
计算则由坐标运算可得M（3﹣λ，2﹣2λ），＝（λ，2λ﹣2），
所以+2＝（3λ﹣3，6λ﹣6），
又＝（λ，2λ），所以（+2）•＝15λ2﹣15λ＝15﹣，
所以当且仅当λ＝时，（+2）•取得最小值为﹣．
20．【解答】解：（1）m＝1时，f（x）＝lg（1+），
故不等式即为lg（1+）＞1，故1+＞10，
解得：0＜x ＜，
故不等式的解集是（0，）；
（2）g（x）＝lg（m +）+lgx2＝lg（mx2+2x），
由g（x）＝0，可得mx2+2x＝1有且只有一个解，
当m＝0时，x ＝成立；
当m≠0时，△＝4+4m＝0，即m＝﹣1，x＝1成立．
综上可得m＝0或﹣1；
（3）当x＞0，设u＝m +，可得函数u在x＞0递减，
由m＞0，可得u＞0，y＝lgu递增，
即f（x）在（0，+∞）递减，
任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤1对任意t∈[，]恒成立，可得f（t）﹣f（t+2）＝lg（m +）﹣lg（m +）≤1对任意t∈[，]恒成立，即m +≤10（m +）对任意t∈[，]恒成立，
整理可得9mt2+18（m+1）t﹣4≥0对任意t∈[，]恒成立，
由m＞0可得y＝9mt2+18（m+1）t﹣4在t∈[，]递增，
可得当t ＝时，y的最小值为9m •+18（m+1）•﹣4≥0，
解得m ≥．
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