海南省八校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题

海南省“八校联盟”2018~2019年度第一学期高二期末考试
数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设命题p：∀x∈R，|x|＞x，则￢p为（）
A．∃x0∈R，|x0|＜x0B．∀x∈R，|x|＜x
C．∀x∈R，|x|≤x D．∃x0∈R，|x0|≤x0
2．某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查．在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为（）
A．10 B．12 C．18 D．20
3．设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，则使l∥α成立的是（）A．（2，﹣1，3），（﹣1，1，1）
B．（1，﹣1，2），（﹣1，1，﹣2）
C．（1，1，0），（2，﹣1，0）
D．（1，﹣2，1），（1，1，2）
4．在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是（）
A．事件“至少有一件是正品”是必然事件
B．事件“都是次品”是不可能事件
C．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件
D．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件
5．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m＝（）
A．31 B．28 C．25 D．23
6．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：
则这15场得分的中位数和众数分别为（）
A．22，18 B．18，18 C．22，22 D．20，18
7．下列说法：
①若线性回归方程为3x﹣5，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；
③线性回归直线方程bx必过点（，）；
④抽签法属于简单随机抽样；
其中错误的说法是（）
A．①③B．②③④C．①D．①②④
8．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（）
A．B．C．D．
9．已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝（）
A．10 B．9 C．1 D．1或9
10．“方程1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为，则|MF|＝（）
A．2 B．2C．4 D．4
12．如图，椭圆＞＞的四个顶点为A1，A2，B1，B2，两焦点为F1，F2，若以F1F2为直
径的圆内切于菱形A1B1A2B2，切点分别为A，B，C，D，则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值（）
A．B．C．3+D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上．
13．若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y x，虚轴长为6，则实轴长为．
14．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，y1），B（，y2）分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|＝10，则|y1﹣y2|＝．
15．空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录．根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为．（该年为366天）
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．
三、解答题．本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．为了解某校高一1000名学生的物理成绩，随机抽查了部分学生的期中考试成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；
（2）若在本次考试中，规定物理成绩在m分以上（包括m分）的为优秀，该校学生物理成绩的优秀率大约为18%，求m的值．
18．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；
（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a和b，求a+b＞5的概率．
19．求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：
（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；
（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|＝3，离心率为．
20．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，矩形BDFE的面积为8，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC⊥BE；
（2）求二面角E﹣AF﹣D的正弦值．
21．在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD，DC⊥FB，CF⊥平面ABCD．
（1）求BE与平面EAC所成角的正弦值；
（2）线段BE上是否存在点M，使平面EAC⊥平面DFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C 的上、下顶点，点M（t，2）（t≠0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．
一、
1D
2．B
3．A
4．D
5．D
6．B
7．C
8．
9．B
10．A
11C
12．A
二、
13．焦点在x轴上的双曲线的方程设为1（a＞0，b＞0），由渐近线方程为y x，可得，
虚轴长为6，即2b＝6，b＝3，可得a＝2，
则实轴长为4．
14．∵|AF|＝210，
∴p＝16，
则抛物线的方程为y2＝32x，
把x代入方程，得y＝﹣4（y＝4舍去），即B（，﹣4），
把x＝2代入方程，得y＝8（y＝﹣8舍去），即A（2，8），
则|y1﹣y2|＝|8﹣（﹣4）|＝12，
15．设此地该年空气质量为优或良的天数为n，
由茎叶图可知AQI不超过100的天数为10，
所以，解得n＝244．
16．以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
令AB＝2，则D1（0，2，2），O（2，1，1），M（0，1，0），N（1，2，2），∴（1，1，2），（﹣2，1，1），
设异面直线MN与OD1所成角为θ，
则cosθ．
∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．
三、
17．（1）由频率分布直方图得：
该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为：
（0.03+0.024）×10＝0.54，
∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为：1000×0.54＝540人．
（2）∵0.24＞0.18，∴90＜m＜100，
∴，
解得m＝92.5．
18．（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，
取出球的编号之和为6的有（1，5），（2，4），共2种取法，
故取出的球的编号之和为6的概率．
（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，
两次取的球的编号之和大于5的有26种，分别为：
（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），
（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
故a+b＞5的概率．
19．（1）设椭圆的标准方程为＞＞，…………………………………………..（1分）上焦点为F1（0，2），下焦点为F2（0，﹣2），…………………………………………………………．（2分）
根据椭圆的定义知，，即a＝4，…………………………
所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12，……………………………………………………………………..
因此，椭圆的标准方程为．………………………………………………………………（6分）（2）设双曲线的标准方程为＞，＞，…………………………………………（7分）把x＝c带入双曲线方程，得，所以．………………………………………..（9分）由，得a＝2b．…………………………………………………………………．（10分）所以a＝6，b＝3，……………………………………………………………………………..（11分）
所以双曲线的标准方程为．………………………………………………………．
20．证明：（1）∵四边形BDEF是矩形，∴BE⊥BD，
∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD＝BD，
BE⊂平面BDFE，
∴BE⊥平面ABCD，
∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE．
解：（2）设AC，BD的交点为O，建立空间直角坐标系，
∵菱形ABCD的边长为4，且∠DAB＝60°，∴BD＝4，
∵矩形BDEF的面积为8，∴BE＝2，
则A（﹣2，0，0），D（0，2，0），E（0，﹣2，2），F（0，2，2），
∴（0，4，0），（2，2，2），（2，2，0），
设平面AEF的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，），
设平面ADF的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，0），
设二面角E﹣AF﹣D的平面角为θ，
则cosθ，
∴sinθ．
∴二面角E﹣AF﹣D的正弦值为．
21．（1）∵四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，DC⊥FB，CF⊥平面ABCD．∴以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，
CF为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2BC＝2CD＝2，则B（0，1，0），
E（1，0，1），A（2，1，0），
C（0，0，0），F（0，0，1），
（1，﹣1，1），（2，1，0），
（1，0，1），
设平面EAC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，
得（1，﹣2，﹣1），
设BE与平面EAC所成角为θ，
则sinθ．
∴BE与平面EAC所成角的正弦值为．
（2）线段BE上不存在点M，使平面EAC⊥平面DFM．
理由如下：
设线段BE上存在点M（a，b，c），，0≤λ≤1，使平面EAC⊥平面DFM，
则（a，b﹣1，c）＝（λ，﹣λ，λ），∴M（λ，1﹣λ，λ），（λ，1﹣λ，λ），（﹣1，0，1），设平面DMF的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，1），
∵平面EAC⊥平面DFM，平面EAC的法向量（1，﹣2，﹣1），
∴11＝0，解得λ＝0∈[0，1]，
∴线段BE上存在点M，使平面EAC⊥平面DFM，且0．
22．（1）解：由题意知，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）证明：易知A（0，1），B（0，﹣1），
则直线MA的方程为，直线MB的方程为．
联立，得，
于是，，
同理可得x Q，y Q，
所以直线PN的斜率，直线QN的斜率，因为k1＝k2，
所以直线PQ过定点（0，）．。