二次函数全集汇编附答案解析

二次函数全集汇编附答案解析
一、选择题
1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t01234567…
h08141820201814…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线
9
2
t ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
2．已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（）
A．-1 B．1 C．-3 D．-4
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛
物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a 的值．
【详解】
解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，其顶点坐标为(0，a 2)，而a 2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，a 2=3，而当y=0时，x 2=−a ，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a 2+b=0，所以a=−1；
若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a 2+b=0①；令x=−2，y=0，则
4a−2b+a 2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-
；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线
上则点的坐标满足抛物线的解析式.
3．如图，抛物线2119
y x =
-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）
A ．2
B ．322
C ．52
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12
BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即
可.
【详解】 ∵2119
y x =-， ∴当0y =时，21019x =
-， 解得：=3x ±，
∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O 点为AB 的中点，
又∵圆心C 坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC 长度5=，
∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，
∴OE 为△ABD 的中位线，
即：OE=12
BD ， ∵D 点是圆上的动点，
由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，
∴BD 的最小值为4，
∴OE=12
BD=2， 即OE 的最小值为2，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
4．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线x=－
2b a
=1 ∴b<0
∴abc ＞0；①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴2
44ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，
∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C ．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜1
B ．﹣3＜x ＜﹣1
C ．x ＜1
D ．﹣3＜x ＜1
【答案】D
【解析】
【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】
解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．
所以答案为：D ．
【点睛】
此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.
6．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；
根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：-2b a
=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-
c=0，则③正确；
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.
7．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及
()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）
A ．向左平移2个单位长度
B ．向右平移2个单位长度
C ．向左平移10个单位长度
D ．向右平移10个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．
【详解】
解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，
∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，
∵4－（－6）＝10，
∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．
8．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴图形与x轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），
∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点，
∴a＜0，b＜0，c=0，d＞0，
故选：D．
【点睛】
此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，则下列说法错误的是()
A．a+c＝0
B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2
C．当函数在x＜
1
10
时，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜2 a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】
解：∵函数经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，
∴a+c＝0，b＝﹣2，
∴A正确；
∵c＝﹣a，b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2x﹣a，
∴△＝4+4a2＞0，
∴无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，
∵x1+x2＝2
a
，x1x2＝﹣1，
∴|x1﹣x2|＝＞2，
∴B 正确；
二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜
110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；
∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，
∴m +n ＜0，
2a ＞0， ∴m +n ＜2a
； ∴D 正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵抛物线的对称轴为直线12b x a =-
= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，
∴abc ＜0，所以①错误；
∵b=-2a ，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=3时，y=0，
∴930a b c ++=，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，
∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大
∵103132
-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
11．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．t ＞﹣5
B ．﹣5＜t ＜3
C ．3＜t≤4
D ．﹣5＜t≤4
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．
【详解】
∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．
12．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】
当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b a ＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．
故选C ．
13．将抛物线243y x x =
-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）
A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先把抛物线243y x x =
-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】
∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--
∴其顶点坐标为：(2,−1)，
∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.
【点睛】
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
14．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B ＝
13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13
x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）
A ．①②
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】A 【解析】【分析】
①根据题意列出y＝1
2
AP•AQ•sin A，即可解答
②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可
③把sin B＝1
3
，代入解析式即可
④根据题意可知当x＝﹣
5
22
b
a
=时，y最大＝
25
12
【详解】
①当点P在AC上运动时，y＝1
2
AP•AQ•sin A＝
1
2
×2x•vx＝vx2，
当x＝1，y＝1
2
时，得v＝1，
故此选项正确；
②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，
当P在BC上时y＝1
2
•x•（10﹣2x）•sin B，
当x＝4，y＝4
3
时，代入解得sin B＝
1
3
，
故此选项正确；
③∵sin B＝1
3
，
∴当P在BC上时y＝1
2
•x（10﹣2x）×
1
3
＝﹣
1
3
x2+
5
3
x，
∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣1
3
x2+
5
3
x，
故此选项不正确；
④∵y＝﹣1
3
x2+
5
3
x，
∴当x＝﹣
5
22
b
a
=时，y最大＝
25
12
，
故此选项不正确；
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解
15．已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在
这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）
A ．（1，-5）
B ．（3，-13）
C ．（2，-8）
D ．（4，-20）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．
16．下列函数（1）y =x （2）y =2x ﹣1 （3）y =
1x
（4）y =2﹣3x （5）y =x 2﹣1中，是一次函数的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．
【详解】
解：（1）y =x 是一次函数，符合题意；
（2）y =2x ﹣1是一次函数，符合题意； （3）y =
1x
是反比例函数，不符合题意； （4）y =2﹣3x 是一次函数，符合题意；
（5）y =x 2﹣1是二次函数，不符合题意；
故是一次函数的有3个．
故选：B ．
【点睛】 此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
17．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．
【详解】
若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．
18．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2 B．4 C．3D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q
3a
，故点P、Q的速度比为33
故设点P、Q的速度分别为：3v3，
由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝63，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1
2
＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝
3，
PQ＝22
PH HQ
+＝39
+＝23，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
19．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：
①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a ＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断
【详解】 由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣
2b a
＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a
＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；
④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2
44ac b a -＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；
因此正确的结论是①②④．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．
【详解】
解：Q 抛物线开口向下，
0a ∴<，
Q 对称轴12b x a
=-=， 0b ∴>，
Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，
0c ∴>，
0abc ∴<，故①错误；
Q 抛物线与x 轴有两个交点，
240b ac ∴->，故②正确；
Q 对称轴12b x a
=-
=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；
根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。