《探索三角形全等的条件(第2课时)》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第四章三角形4.3探索三角形全等的条件第2课时一、教学目标1.探索三角形全等条件的方法；2.掌握判定三角形全等的方法，并能进行推理和判断．二、教学重点及难点重点：三角形全等的条件ASA，AAS探索．难点：利用ASA，AAS进行简单的推理和判断．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片，微课，动画五、教学过程【问题情境】如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．设计意图：通过问题情境提出确定三角形的问题，明确探究方向，激发探究欲望．【探究新知】探究一：利用“角边角”证明三角形全等1．先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B（即保证两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？学生活动：（1）学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC 与△A ′B ′C ′，将△A ′B ′C ′剪下，与△ABC 重叠，比较结果．（2）作好图形后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律． 教师活动：在学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行动画演示，再次体会探究全等三角形条件的过程．操作结果展示：画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，∠A ′＝∠A ，∠B ′＝∠B ． （1）画A ′B ′＝AB ；（2）在A ′B ′的同旁画∠DA ′B ′＝∠A ，∠EB ′A ′＝∠B ，A ′D ，B ′E 相交于点C ′．将△A ′B ′C ′剪下，发现△ABC 与△A ′B ′C ′全等．由此得出判定方法：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．2.几何语言表示： 如图，在△ABC 和△DEF 中， B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．设计意图：类比“边边边”和“边角边”探究得出“角边角”的两个三角形全等的判定方法，学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，进一步增强了动手能力，渗透ABC类比思想．探究二：利用“角角边”证明三角形全等在两个三角形中，是不是只要有两个角对应相等，一条边对应相等，这两个三角形就全等呢？下面，我们来看一个问题：1.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ．求证：△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ． 同理∠F ＝180°－∠D －∠E ． 又∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠C ＝∠F ． 在△ABC 和△DEF 中 B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．由此得出：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．2.几何语言表示： 如图，在△ABC 和△DEF 中， A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．设计意图：用“角边角”证明满足两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等的正确性，得出“角角边”的判定方法．【典型例题】例1． 如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE ．分析：根据平行线的性质可得∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC ，再根据等式的性质可得AF ＝CE ，然后利用“ASA ”可得到△ADF ≌△CBE ．解：∵AD ∥BC ，BE ∥DF ，∴∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC ．∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE ．在△ADF 和△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DF A ＝∠BEC ，∴△ADF ≌△CBE (ASA )．设计意图：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．例2． 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于E ．AD 与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF ．分析：先说明∠ADC ＝∠BDF ，∠DAC ＝∠DBF ，再由BF ＝AC ，根据“AAS ”即可得出两三角形全等．解：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°．∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∠BDF ＋∠BFD ＋∠DBF ＝180°，∴∠DAC ＝∠DBF ．在△ADC 和△BDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，∴△ADC ≌△BDF (AAS )．设计意图：巩固学生对全等三角形判定中 “AAS ”的理解与应用，在证明过程中要注意条件的把握，明确对应性．例3．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ．试说明：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE ．分析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，再由AB ＝AC ，利用“AAS ”即可得出结论；(2)由△BDA ≌△AEC ，可得BD ＝AE ，AD ＝CE ，根据DE ＝DA ＋AE 等量代换即可得出结论．解：(1)∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°．∵AB ⊥AC ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ．在△BDA 和△AEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠ABD ＝∠CAE ，AB ＝AC ，∴△BDA ≌△AEC (AAS )； (2)∵△BDA ≌△AEC ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝DA ＋AE ＝BD ＋CE ．设计意图：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．【课堂练习】1．（1）下列结论中，正确的是（ ）C A ．有两条边对应相等的两个三角形全等 B ．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 C ．有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 D ．任意两个直角三角形全等（2）已知△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1， AB ＝A 1B 1， 再补充下列哪个条件可以根据“ASA ”判断△ABC 和△A 1B 1C 1全等（ ）AA ．∠B ＝∠B 1 B ．∠C ＝∠C 1 C ．AC ＝A 1C 1D ．以上均不对 2.（1）在△ABC 和△DEF 中，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，则△ABC ≌△DEF ，根据是_______．AAS（2）如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，垂足分别为D ，E ，若BD ＝3，CE ＝2，则DE ＝ ．5设计意图：考查运用全等三角形的判定方法和全等三角形的性质进行推理计算的能力．2．解决课前导入的问题：一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如下图，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？解：被撕坏的这块三角形硬纸板保留了原三角形硬纸板的两角及其夹边，新制作的三角形硬纸板的两角及其夹边和被撕坏的这块三角形硬纸板对应相等，新制作的三角形硬纸板和原三角形硬纸板满足“角边角”，自然就同样大小了，所以能恢复原来三角形的原貌．设计意图：运用“角边角”和“角角边”的判定方法证明两个三角形全等，体会全等三角形判定方法的多样性，锻炼学生挖掘题目中隐含条件的能力．3.如图，已知AD∥BC，AD=BC，AE⊥BD，垂足为E，CF⊥BD，垂足为F．（1）写出图中所有全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对进行证明．解：图中全等的三角形共有3对，分别是：①△ADE≌△CBF；②△ABE≌△CDF；③△ADB≌△CBD．（2）选择①进行证明．证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB=90°．又∵AD ＝BC ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ）．4.如图，在△ABC 中，AD ＝BD ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°． ∴∠CAD ＋∠C ＝90°． ∵BE ⊥AC ， ∴∠BEC ＝90°． ∴∠CBE ＋∠C ＝90°． ∴∠CBE ＝∠CAD ． 在△BDH 和△ADC 中， CBE CAD BD AD ADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴△BDH ≌△ADC （ASA ）． ∴BH ＝AC ．设计意图：考查运用全等三角形的判定方法和全等三角形的性质进行推理论证的能力． 5．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证：BO ＝CO ．证明：在△ACD 和△ABE 中，A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴△ACD ≌△ABE （ASA ）．∴AD ＝AE ． ∵AB ＝AC ，∴AB －AD ＝AC －AE ． 即BD ＝CE ．在△BOD 和△COE 中， BOD COE B C BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BOD ≌△COE （AAS ）． ∴BO ＝CO ．设计意图：充分利用题目中的条件证明三角形全等，提高观察图形，分析问题的能力.【课堂小结】1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA ” 2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解“角边角”和“角角边”的判定方法，灵活选择全等三角形的判定方法判定两个三角形全等．【板书设计】。