高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二学期统一练习二数学理科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二学期统一练习（二）数学（理科）
一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数(34)i i +的虚部为
（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i
2. 设向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）2 （C ）2± （D ）0
3.
4
1()x x
-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）4 （D ）6
4.已知数列{an}， 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件
5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12
x π
=
对称的是
（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23
x y π
=-
（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π
=-
6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于1
4，则b 的取值范围是
（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ）(1,)+∞
7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 (A)18 (B) 36 (C) 54 (D) 72
8.已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x2)(ax)（a R ∈）. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；
② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a≤2；
③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。

10.已知变量,x y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，其回归方程
为ˆ 1.4y
x a =+，则a 的值是。

11. 如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为
______。

12.
若双曲线C:22
21(0)3
x y a a -
=> 的离心率为2,则抛物线28y x =的焦点到C 的渐近线距离是______。

13.
曲线1()f x x x =+
在1
2
x =处的切线方程是______，在x=x0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为。

14. 在圆2
2
25x y +=上有一点P(4,3)，点E,F 是y 轴上两点，且满足PE PF =,直线PE ，PF 与圆交于
C ，
D ，则直线CD 的斜率是________。

三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；
（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S.
16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
污染指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
34 140 18 73
121 210 40 45 78
23 65
79
207
81 60
42 101 38 16
3
154 22
27 36 15
1
49 103 135 20
16 48 根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.
分组 频数 频率
[0,50] 14 15
7
(50,100] a x
(100,150]
5
6
1
17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））. （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；
（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长.
图（1）
图（2）
18.（本小题13分）已知函数 ()2
1()2ln (21)2
f x x ax a x a R =+-+∈. （Ⅰ）当1
2
a =-
时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若a>0，讨论()f x 的单调性.
19.（本小题14分）已知椭圆C ：2
214
x y +=的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F
两点，其中点M (m,
1
2
) 满足0m ≠，且3m ≠±. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；
（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值.
20.（本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为an=3n2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈{}
,*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式，并写出数列
{}n c 的前4项；
（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和.n
S
丰台区高三第二学期统一练习（二）
数学（理科）
一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
A
C
C
D
B
D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 1；10. 0.9； 11. 2； 12.2； 13.3x+y4=0, 2； 14.
43
. 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；
（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S. 解:（Ⅰ） 22sin ()3sin 2.B C A +=
22sin 23sin cos A A A ∴=, ……………………….2分 sin 0,sin 3cos ,tan 3A A A A ≠∴=∴=, ……………………….4分
60,0=∴<<A A π °. …………………….6分
（Ⅱ）在ABC ∆中,
60cos 22
2
2
⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==
,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分
3102
3852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=
∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分
16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
34 140 18 73
121 210 40 45 78
23 65
79
207
81 60
42 101 38 16
3
154 22
27 36 15
1
49 103 135 20
16 48 根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.
解：（Ⅰ）10
1
,51,3,6====y x b a , ………………………….4分
（Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=
3
2
52154=+，………..5分 4
0411(0),381P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,81
83132)1(3
1
4=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P
,2783132)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ,81323
132)3(3
3
4=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P
4
44216(4)381
P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. ………………………….10分
X ∴的分布列为:
X 0
1
2
3
4
P
181 818 278 8132 1681
………………………….11分
X~B(4，
32), ∴3
8
324=⨯=EX . ………………………….13分
17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））. （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；
（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 的长.
P
E B
E
D
B
A
C
D
图（1）
图（2） 解: （Ⅰ）
DE AB ⊥，DE BE ∴⊥,DE ⊥PE, ……………….2分
E PE BE = ，∴DE ⊥平面PEB,
PEB PB 平面⊂ ,∴BP ⊥ DE; ……………………….4分
（Ⅱ） PE ⊥BE ， PE ⊥DE ，DE BE ⊥,所以，可由DE,BE,PE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分
∴设PE=a ，则B(0,4a ,0),D(a,0,0)，C(2,2a,0),P(0,0,a)，……………………7分
(0,4,)PB a a =--，(2,2,0)BC =-,……………………8分
设面PBC 的法向量),,(z y x n =,
(4)0,
220,
a y az x y --=⎧∴⎨
-=⎩令1y =, ∴4(1,1,)a n a -=, …………10分…………….10分 (,0,)PD a a =-, ……………………….12分
BC 与平面PCD 所成角为30°,
∴sin 30cos ,PD n ︒=. ……………………….11分
x
y
z
2
2
2
(4)1
2
(4)22a a a a a --=
-⨯+
， 解得：a=
45,或a=4(舍)，所以，PE 的长为4
5
.……………………….13分 18.（本小题13分）已知函数 ()2
1()2ln (21)2
f x x ax a x a R =+-+∈.
（Ⅰ）当1
2
a =-时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，讨论()f x 的单调性.
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ……………………….1分 当2
1
-
=a 时，,2)2)(2()(x x x x f -+-='……………………….2分
令()0,f x '=在[1,e]上得极值点,2=x
x
)2,1[
2 ],2(e
)(x f ' +
-
)(x f
增
12ln 2-
减
……………………….4分
,4
2)(,41)1(2
e e
f f -=-=……………………….5分
),()1(e f f <max min 1
()(2)2ln 21,()(1)4
f x f f x f ∴==-==-. ………………….7分
（Ⅱ）(2)(1)
()x ax f x x
--'=， ……………………….8分
2
10<
<a 时，由()f x '>0得0<x<2或x>a 1,所以f(x)的单调增区间是(0,2),1(,)a +∞, 由()f x '<0得2<x<1a ,所以f(x)的单调减区间是(2,1
a
)； ……………………….10分
②2
1
=
a 时，()0f x '≥在（0，+）上恒成立，且当且仅当(2)0f '=， ()f x ∴在（0，+）单调递增； ……………………….11分
③当2
1
>
a 时，由()f x '>0得0<x<1a 或x>2,所以f(x)的单调增区间是(0,1a ),(2,)+∞,
由()f x '<0得1a <x<2,所以f(x)的单调减区间是(1
a
,2). ……………………….13分
19.（本小题14分）已知椭圆C ：2
214
x y +=的短轴的端点分别为A,B （如图）,直线AM,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,
1
2
) 满足0m ≠，且3m ≠±.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；
（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值. 解：
（Ⅰ）依题意知2a =,3=
c ,2
3=∴e ; ……………………… 3分
（Ⅱ） )1,0(),1,0(-B A ,M (m,
1
2)，且0m ≠， ………………………4分 ∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m
23
,
∴直线AM 的方程为y=121+-x m
,直线BM 的方程为y=123
-x m , ……………6分
由⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+,
121,142
2x m y y x 得()
22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫
-∴ ⎪++⎝⎭
………………………8分
由⎪⎩
⎪⎨
⎧-==+,
123,1422
x m y y x 得()
012922=-+mx x m ， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪
++⎝⎭
； ………………………10分 （Ⅲ） 1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=
∠,1
||||sin 2
BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||
||
MA MB ME MF =, ………………..12分
∴
22
5,41219m m m m
m m m m =--++
0m ≠，
∴整理方程得22
1
15
11
9
m m =
-++，即22(3)(1)0m m --=， 又
m ≠∴230m -≠，12
=∴m ，1m ∴=±为所求. ………………14分
20.（本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为an=3n2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈{}
,*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式，并写出数列
{}n c 的前4项；
（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列
{}n c 的前n 项和.n
S
解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，
11431,18b a b a ===+=，则q3=8，∴q=2，∴bn=2n1， ………………..2分 数列{}n a 的前4项为1,4,7,10，数列{bn}的前4项为1,2,4,8， ∴数列{}n c 的前4项为1，2，4，7；………………..3分
（Ⅱ）据集合B 中元素2，8，32，128∉A ，猜测数列{}n d 的通项公式为dn =22n1.
………………..4分
dn=b2n ，∴只需证明数列{bn}中，b2n1∈A ，b2n ∉A （n N *∈）.
证明如下：
b2n+1b2n1=22n22n2=4n4n1=3×4n1,即b2n+1=b2n1+3×4n1，
若∃m ∈N*,使b2n1=3m2，那么b2n+1=3m2+3×4n1=3(m+4n1)2，所以，若b2n1∈A ，则b2n+1∈A.因为b1∈A ，重复使用上述结论，即得b2n1∈A （n N *∈）。

同理，b2n+2b2n=22n+122n1=2×4n2×4n1=3×2×4n1,即b2n+2=b2n+3×2×4n1，因为“3×2×4n1” 数列{}n a 的公差3的整数倍，所以说明b2n 与b2n+2()n N *∈同时属于A 或同时不属于A ， 当n=1时，显然b2=2∉A ，即有b4=2∉A ，重复使用上述结论， 即得b2n ∉A ，∴dn=22n1； ………………………………………8分
（Ⅲ）（1）当n=1时，所以因为111b a ==，所以S1=1； ………………..9分
（2）当n≥2时，由（Ⅱ）知，数列{bn}中，b2n1∈A ，b2n ∉A ，则k N *∃∈，且k<n ，使得
211
n k
k
n i i i i S a b -===+∑∑12()()(14)()(331)2(41)
21423k k n k n k a a b n k n k --+-----=+=+
-. ……………….. 11分 下面讨论正整数k 与n 的关系：
数列{}n c 中的第n 项不外如下两种情况： ①2k n b c =或者②n k n a c -=，
若①成立，即有213()223(1)2k n k n k ---<<-+-， 若②成立，即有212123()22k k n k -+<--< ，
∴有212123123233k k k k n --+-++<<或者2121232232
33
k k k k n -+++++<<
， 显然212323k k -++=22
2[(21)]3
k k -+⨯+∉N*，所以
212123123233k k k k n -++-++<<.
综上所述，21211,1
()(331)2(41)231232,(,)(,)2333k k k n n S n k n k k k n k n N -+*
=⎧⎪=⎨----+-+++∈∈⎪
⎩
. ………………..14分
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
④ 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=
（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18
（C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
15. 若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12
个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12
(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。