第一章信号分析基础

π
12
⎟⎞ ⎠
(3 ) f 3 (k ) =
cos
⎜⎛ ⎝
1 5
k
+
π
3
⎟⎞ ⎠
解： (3 ) f 3 (k ) =
cos
⎜⎛ ⎝
1 5
k
+
π
3
⎟⎞ ⎠
Q
2π
1
= 10 π
5
所以不是周期序列。
三、实信号和复信号 实信号： 函数（或序列）值均为实数的信号为实信 号，如，正、余弦信号，单边实指数信号等。
§1.1信号的概念及分类
主要内容： §1.1.1 信号的概念 §1.1.2 信号的分类
§1.1.1信号的概念
信号——是消息的表现形式，常可表示为时间的函数 各种传输信号的方法：烽火、鼓声、旗语、电信号 电信号传输优点：远距离、快速、高可靠性
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复信号：函数（或序列）值为复数的信号为复信号， 最常用的是复指数信号。
连续时间的复指数信号
f ( t ) = e st (−∞ < t < ∞), s = σ + jω
∴ f (t ) = eσt ⋅ e jωt = eσt ⋅ (cos ω t + j sin ω t )
= eσt ⋅ cos ω t + je σt ⋅ sin ω t
本书只讨论 Tk = t k +1 − tk = T 为常数的情况.
则义离,表散示信为号f只(kT在) 均简匀记离为散: 时f (k刻) t =L−2T,−T,0,T,2TL有定
这样的离散信号也常称为序列。 序列 f (k)的数学表示式可写成闭合形式，亦可分别列出。
例1、
f1(k )
2 1
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1
∫a −a
f (t ) 2 dt
在区间 − a < t < a 的平均功率为
∫ 1 a
2a −a
f
(t
)
2
dt
∫ 信号能量
E=
∞
f
(t
)
2
dt
−∞
信号功率
∫ P = lim 1 a
a→∞ 2a −a
f (t )2dt
若信号的能量有界（ 即 0 < E < ∞ ，这时 P = 0 ），称 其为能量信号； 若信号的功率有界（即 0 < P < ∞ ，这时 E = ∞ ），称 其为功率信号；
自然界中的实际信号可能是连续信号，也可能是 离散信号。
例如，语音信号，连续测量的温度曲线都是连 续信号。而银行发布利率，按年度统计的人口数量 或国民生产总值都是离散信号。数字计算机处理的 是离散时间信号，当处理对象为连续信号时需要经 采样将它转换为离散时间信号。
二、周期信号和非周期信号
周期信号：每隔一定时间T（或整数N）按相同规律 重复变化的信号。
=
⎪⎪T ⎨
,
t0
⎪2
⎪⎩T ,
m≠n m=n≠0 m=n=0
⎧0, m ≠ n
∫ t0 +T
sin(mΩt
)sin(nΩt
)dt
=
⎪ ⎨T
t0
⎪⎩ 2 ,
m=n≠0
∫t0+T sin(mΩt )cos(nΩt )dt = 0 t0
一、正交函数集
（1）正交函数 在 [t1, t2 ]区间上定义的非零实函数
∫ ϕ1(t) 和 ϕ2(t) 若满足条件
ϕt 2
t1
1
(
t
)ϕ
2
(
t
)dt
=
0
则函数ϕ1(t)与 ϕ2(t)为在区间 [t1, t2 ]的正交函数。
（2）正交函数集 在区间 [t1, t2] 上的n个函数（非
零）ϕ1(t) …… ϕn(t),其中任意两个均满足
⎜⎛ 5 π
⎝6
k+ π
12
⎟⎞ ⎠
Q
2π 5π
= 12 5
6
所以是周期序列，周期 N = 12 .
例1.2-1: 判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性 的，确定其周期。
(1 ) f 1 (k ) =
sin
⎜⎛ π
⎝7
k
+
π
6
⎟⎞ ⎠
(2 ) f 2 (k ) = cos
⎜⎛ 5 π
⎝6
k+
f2(k)
例3、单位阶跃序列ε(k)
ε
(k
)
=
⎧0, k ⎩⎨1, k
< ≥
0 0
ε (k )
1
… k
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
单边指数序列
1
…
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k 单位阶跃序列
可见，对连续信号和离散信号的区分主要看信号 的定义域。对于值域可连续亦可离散。
二者均为连续——为模拟信号。 二者均为离散——为数字信号。
T = 2π
Ω
称为三角函数集。
{1 , cosΩt , cos2Ωt , ..., cos(mΩt) , ..., sinΩt , sin2Ωt ,..,sin(nΩt),...}
在区间 (t0,t0 +T)
内组成完备正交函数集。
T = 2π
Ω
⎧0,
∫ t0 +T
cos(mΩt
)cos(nΩt )dt
⎝2 ⎠
1
L −1
−2
01
−1
2π = 4 π 2
sin ⎜⎛ 3π k ⎟⎞
⎝2 ⎠
2π = 4 = N → N = 2π ⋅ 3 = 4
3π 2
3
M
3π 2
1 1
L
1
L
−1
0
2
3
4
k
−1
例1.2-1: 判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性 的，确定其周期。
(1 ) f 1 (k ) =
随机信号：不能用确定的时间函数来描述，只知道 它在某一时刻取某一函数值的概率。
如马路上的噪声，其强度因时因地而异，无法 准确预测，因此它是随机信号。研究随机信号要用 概率统计的观点和方法。
本书仅讨论确定信号。
一、连续信号和离散信号 这是根据信号的定义域来划分的。
1、连续信号：在连续时间范围(−∞ < t < ∞) 内有定义的 信号，称为连续时间信号，简称连续信号。允许有 有限个间断点。
例1：如下图所示的 f (t ) 例2：f (t ) = Asin(π t ) 也是
即为连续信号。
连续时间信号。
f (t)
1
f (t )
A
−1 0 1
−1
2 3t
−1
01 2
−A
t 3
2、离散信号 仅在一些离散时刻才有定义的信号--离散时间信号。
“离散”仅指定义域，只在 tk (k = 0,±1,±2,L) 有定义。
a >1 a=1
a<1
增幅正弦序列； 等幅正弦序列； 减幅正弦序列；
β 反映振荡角频率;
若 β = 0 即成实指数序列。
四、能量信号和功率信号
为了知道信号能量或功率特性，有时要讨论信号 在单位电阻上的能量或功率。
设 f (t) 在单位电阻上的瞬时功率 f (t ) 2
则在区间 −a < t < a 上的能量为
则βN = 2π或2π的整数倍
若 2π β
= 整数，则
N
=
2π β
;
若 2π β
=
N M
(N 、 M 为不可约的整数
)， 则
若 2π = 无理数，则为非周期序 列。 β
N
=
2π β
M
例：求 f (k) = sin 3πk的周期。
2
解：
2π = β
2π
3π
=
4 3
2
∴N =4
sin ⎜⎛ π k ⎟⎞
∫ E =
∞
f
(t
)
2
dt
−∞
∫ P = lim 1 a f (t ) 2dt a→∞ 2a −a
一般而言：
1.仅在有限区间不为零的信号应是能量信号。如单个矩形 脉冲等。这些信号，平均功率P=0，只能从能量的角度去 考虑。 2.周期信号、阶跃信号等是功率信号，它们的能量为无限。 只能从功率的角度去考虑。
对于连续时间信号，满足：
f (t) = f (t +mT) (m = 0,±1,±2,L)
对于离散时间信号 ，满足：
f (k) = f (k + mN) (m = 0,±1,±2,L)
满足以上关系式的最小的T（或N）值,称为该信号 的周期。
非周期性信号:
不具有周期性的信号，称为非周期性信号。
例： 求下列函数的周期、
= ak (cos βk + j sin βk)
式中 (a = eα )
实部 Re[ f (k)] = ak cos βk ⎫ 为幅度随时间变化的
虚部 Im[ f (t)] = ak sinβk
⎬ 正、余弦序列。 ⎭
α 反映幅度变化情况： (a = eα )
⎧ α > 0,
⎪ ⎨
α
=
0
,
⎪⎩α < 0 ,
例：求 f (k) = sin π k的周期。
6
f1(t ) = sinωt
f2(t)
=
sin
π
4
t
解： N = 2π π =12
6
解： T1 = 2π ω
T2 = 2π
π =8
4
一般对于离散的正弦或余弦序列:
若 sin βk = sin β (k + N ) = sin(βk + βN ) 成立,
Re[f (t)]= eσ t cosω t ⎫ 二者均为实信号，是幅度随
Im[ f (t)] = eσ t sinω t
⎬ ⎭
时间变化的正、余弦信号。
⎧σ >0
⎪⎨σ = 0
⎪⎩ σ < 0
增幅振荡； 等幅振荡； 减幅振荡；
σ
S的实部 σ 表征信号幅
度随时间变化的状况:
ω 表征振荡的角频率；
ω = 0 实指数信号。
§1.1.2 信号的分类
主要内容：确定信号的分类 一、连续信号与离散信号 二、周期信号与非周期信号 三、实信号与复信号 四、能量信号与功率信号
实际的信号可分为确定信号和随机信号两大类。
确定信号：是指能够用确定性的图形曲线或解析式 来准确描述，对于给定某一时刻，有确定的函数值。
如 f (t ) = sinωo t
2011年9月8日
2
第一章 信号分析基础
主要介绍信号与系统的概念以及它们 的分类方法，并讨论信号的基本运算，简 明扼要地介绍常用基本信号。深入地研究 了在线性时不变（LTI）系统分析中占有十 分重要地位的阶跃函数、冲激函数及其特 性。
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4
信号的概念及分类 信号的基函数表示法与正交函数 信号的基本运算 阶跃函数与冲击函数
σ=ω=0 ⇒ f (t) =1 直流信号。
可见，复指数信号概括了许多常用信号。它的重 要特性之一是：微分或积分后仍为复指数信号。
想-想：复指数信号 f (t ) = est 是不是周期信号？
对于离散时间的复指数信号
f (k) = e(α+ jβ )k = eαke jβ k
= eαk (cosβk + j sinβk)
ϕt 2
t1
i
(t
)ψ
( t )dt
=
0
(i = 1,2,......., n)
，则称该函数集为完备正交函数集。
{1 , cosΩt , cos2Ωt , ..., cos(mΩt) , ..., sinΩt , sin2Ωt ,..,sin(nΩt),...}
在区间 (t0,t0 +T)
内组成完备正交函数集。
⎧0,k ≤ −2
⎪ ⎪
1
,
k
=
−1
f1(k ) =
⎪⎪ 2 , k =
⎨ ⎪
0
.5
,
k
0 =
1
⎪ − 1,k = 2
k
⎪⎪⎩ 0 , k ≥ 3
为简化表达方法，此序列也可写作：
f 1 (k ) = { 1 2 0.5
↑ k =0
-1 }
例2、
f2
(k)
=
⎧e−αk ⎨ ⎩0,
,k k
≥0 <0
(α > 0)
sin
⎜⎛ π
⎝7
k
+
π
6
⎟⎞ ⎠
(2 ) f 2 (k ) = cos
⎜⎛ 5 π
⎝6
k+
π
12
⎟⎞ ⎠
(3 ) f 3 (k ) =
cos
⎜⎛ ⎝
1 5
k
+
π
3
⎟⎞ ⎠
解：(1 ) f 1 (k ) =
sin
⎜⎛ π
⎝7
k
+
π
6
⎟⎞ ⎠
Q
2π π
= 14
7
所以是周期序列，周期 N = 14 .
(2 ) f 2 (k ) = cos
3.一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数 信号既不是能量信号也不是功率信号。如 e 。 −t
对离散信号有时也要讨论能量，序列 f (k) 的能量
∞
定义为 E = ∑ f ( k ) 2 k = −∞
∑ 序列 f (k) 的功率定义为 P = lim
1
N
f (k ) 2
N → ∞ 2 N + 1 k=−N
§ 1.2信号分解为正交函数
一、正交函数集 二、信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交 矢量的概念相似。
y
C2v y
A
A = C1vx + C2v y
C1v x
x
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。
它们组成一个二维正交矢量集。
矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号 空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
∫ ϕt2
t1 i
(t)ϕ
j
(t)dt
=
⎧0, ⎩⎨ki ≠ 0,
i≠ j i= j
ki为常数，则称函数集 {ϕ1(t).........ϕn(t) }为区间
[t1, t2 ] 内的正交函数集。
（3）完备正交函数集
如果在正交函数集 {ϕ1(t).........ϕn (t) } 之外不存在函数
∫ ψ (t) 满足等式
数字信号处理基础
成都理工大学地球物理学院
·贯穿全书的基本分析方法:
把输入信号进行分解,分解成众多的 基本信号之和或积分,然后求出基本信号 作用于线性时不变系统的响应,再利用系 统的线性和时不变性,求出该输入信号作 用于系统的响应。
选取不同的基本信号,得到系统的不 同分析方法----时域和变换域分析法.