湖北省武汉市吴家山中学高中数学 1.2函数及其表示同步辅导 新人教A版必修1

1.2 函数及其表示
学点：探究与梳理 自主探究
探究问题１：函数的概念，函数符号)(x f y 的内涵及函数的三要素是什么？ 探究问题２：函数有哪三种表示方法，各自的优缺点是什么，如何正确恰当的选择方法表示函数?
探究问题３：如何理解分段函数，怎样研究分段函数的性质?
重点把握
１．根据函数的定义可知函数有三要素：定义域，值域和对应关系，由于函数的值域被定义域和对应关系确定，因此，只要两个函数的定义域和对应关系分别相同这两个函数就是相等函数．
2.常见求值域的几种类型:
用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数的值构成的集合；
用图象形式给出的函数，其值域是图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合； 用解析式给出的函数，用相应方法（如观察法，配方法，换元法等），由解析式，定
义域去确定；
实际问题给出的函数，由实际问题的意义确定．
３．正确认识分段函数. 分段函数是一个函数而并非几个函数，只不过在定义域的函数不同子集内解析式不一样，它的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．研究分段函数性质时，应遵循“先分后合”的原则．
４．函数与映射
（１）在映射中，集合A 与B 的地位是不对等的.一般地，我们并不要求B 中的每一个元素都与A 中的唯一元素对应，因此，从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射是具有不同要求的，即映射具有方向性.
（２）集合A 、B 也可以是同一个集合，可以是数集、点集或其他，特别地，当A 、B 是非空数集时，映射f: A →B ，又称为A 到B 的函数，即函数是特殊的映射.
题例：解析与点拨
例1 求下列函数的定义域：
(1) 35--=x x y ； (2)x x y -+-=11； (3) 2
1220-++⋅=x x
x x y ．
解析：(1)要使函数有意义，则
50
5303x x x x -≥⎧≤⎧⎪⎨
⎨-≠≠±⎪⎩⎩
即，
从而，函数的定义域为]5,3()3,3()3,( ---∞． (2) 要使函数有意义，则
101
1101x x x x x -≥≥⎧⎧∴=⎨
⎨-≥≤⎩⎩ 即 ，
从而，函数的定义域为}1{． (3) 要使函数有意义，则
200200213
120x x x x x x x x x ≠⎧≠⎧⎪⎪
+≥≥≤-⎨⎨⎪⎪≠≠-+-≠⎩⎩ 即或且，
从而，函数的定义域为),1()1,0(]2,3()3,(+∞----∞ ．
点拨：求函数的定义域要注意：（1）分母不为零，（2）开偶次方被开方数非负（3）零的零次幂无意义等．
例2 下列各组函数：
(1) 2(),()1
x x f x g x x x -==-；
(2)
()()f x g x x ==；
(3) ()()f x g x ==
(4)
()()3
f x
g x x ==+．
其中，表示相等函数的是 ．
点拨：判断两个函数是否相等，主要看定义域和对应关系，它们都相同，则是相等函数，否则，就不是相等函数．
例3 (1)已知()f x 的定义域是]
1,4⎡⎣，求(2)f x +的定义域; (2)已知(1)f x +的定义域是]2,3⎡-⎣，求()f x 的定义域．
解析：（1）
()f x 的定义域是]1,4⎡⎣，
使(2)f x +有意义的条件是124x ≤+≤，
即12x -≤≤ ，则(2)f x +的定义域为]
1,2⎡-⎣．
（2）
(1)f x +的定义域是]2,3⎡-⎣，
23,114x x ∴-≤≤-≤+≤， ()f x ∴的定义域是]1,4⎡⎣．
点拨：此题是已知()f x 的定义域，求复合函数[]()f g x 定义域的问题，此题的一般解法是:若()f x 的定义域是D ，则[]()f g x 的定义域是使()g x D ∈有意义的x 的集合。

已知[]
()f g x 的定义域，求()f x 的定义域的方法是：若[]()f g x 的定义域是D ，则()g x 在D
上的取值范围，即()f x 的定义域．
例4 求下列函数的值域：
（1）
1x
y x =
+ ； （2
）y =；
（3
）y x =
解析：（1）
1
111x y x x =
=-++，
1
01x ≠+ ， ∴函数的值域是{}1y R y ∈≠．
（2）由2
650x x ---≥，
]51,5,1x ⎡-≤≤---⎣解得即定义域为 ．
]225,1065(3)44x x x x ⎡∈--≤---=-++≤⎣当时，
，
02∴≤≤，
故函数的值域为]
0,2⎡⎣
．
（3）由021≥-x ，得函数的定义域为]2
1,(-∞，
令x t 21-=，)0(≥t ，则2
12
t x -=，
2211
(1)1(0)
22t y x t t t -∴==+=--+≥，
]
21
(1)1(0)2
y t t =--+≥≤∴∞结合二次函数的图象知:y 1
值域为（-，1．
点拨：一般地，求形如d cx b ax y ++=（0≠c ，且bc ad ≠）的值域，可把d
cx b
ax y ++=变
形为)(d cx c ad bc c a y +-+=
，得值域}{c
a
y R y ≠∈，此法可称为“分离常数法”； 有关一元二次函数的值域问题，一般用配方法，要注意自变量的取值范围； 形
如,,,,
0)y ax b d a b c d ac =+≠均为常数且的函数，可用换元法:
令
t =
例5作出下列函数的图象：
（1）1()y x x Z =+∈ （2）1
(01)(1)x y x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩ （3）213y x x =--
解析：（1）这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线1y x =+上．
（2）这个函数的图象由两部分组成：当01x <<时，为双曲线1
y x =
的一段，当1
x ≥时，为直线
y x =的一段．
(3) 0,2(1)32x y x x x <=--+=+当时，
1,2(1)352x y x x x ≤<=---=-+当0时， 1,2(1)32x y x x x ≥=--=--当时，
2,052,01
2,1x x y x x x x +<⎧⎪
∴=-+≤<⎨⎪--≥⎩．
点拨：函数的图象不一定是一条或几条无限长平滑的曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．
例6 求下列函数的解析式：
（1）已知[()]43f f x x =+，求一次函数()f x 的解析式； （2）已知1)f x =+，求()f x ；
（3）已知函数()f x 满足1
()2()f x f x
x +=，求()f x ．
解析：（1）设()(0)f x ax b a =+≠， 则 [()]()()f f x f ax b a ax b b =+=++ 2
43a x ab b x =++=+，
222
4133
a a a
b b ab b ==-⎧=⎧⎧∴⎨⎨⎨
==-+=⎩⎩⎩解得或，
()23()23f x x f x x ∴=+=--或．
（2
）法一：
22
2111)
1x x
+=+
-=-， 2(1)111)f x ∴+=-≥
， 2()1(
1)f x x x ∴=-≥．
法二：
11t t =≥=-2令（t 1）则x=(t-1)，
22()(1)2(1)1(1)f t t t t t ∴=-+-=-≥，
2()1(1)f x x x ∴=-≥． （3）
1()2()f x f x
x +=①，
将其中x 换成1
x 得：
11()2()f f x x x +=②，
由①②得
22()3x f x x -
=
． 点拨：求函数解析式常用方法：待定系数法、配凑法（或换元法）、解方程法等． 例7 如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7，腰长为垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 的边有两个交点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF=x ，试写出左边部分的面积y 与x 之间的函数关系．
解析：过点A,D
分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC,垂足分别是G,H ，因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB=所以BG=AG=DH=HC=2,又BC=7，所以AD=GH=3．
当点F 在线段BG 上，即(0,2]x ∈时，
2
12y x =
；
当点F 在线段GH 上，即(2,5]x ∈时, 2(2)222y x x =+-=-；
当点F 在线段HC 上，即(5,7)x ∈时, 21
(7)10
2y x =--+．
所以，所求的函数解析式为2
21,(0,2]222,(2,5]1
(7)10,(5,7)2x x y x x x x ⎧∈⎪⎪
=-∈⎨⎪⎪--+∈⎩．
l A D
B G H C
点拨：解此题时要注意分类讨论，可画出三个图形分析，分段写出函数解析式． 学业水平测试
巩固基础
1．下列各组函数表示相等函数的是( )
,0.()(),0x x A f x g x x x x >⎧==⎨-<⎩与
22.()21,()x x B f x x g x x +=+=
2.()1,()C f x x g t =-=.()()D f x g x ==2．函数
y =
的定义域是 ． 3．函数2
2y x =-的定义域是
{}1,0,1,2-，则其值域是 ．
4.点),(y x 在映射f 下的对应元素为),(y x y x +-，则点)2,1(-在f 作用下的对应元素是 ．
5.11(),()1f f x x x ==
+若则6.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为()f x = 能力提升
7．函数()f x 的定义域是]
0,3⎡⎣，则(21)f x -的定义域是（ ）
A.]1,22⎡⎢⎣
B. ]0,3⎡⎣
C. ]1,4⎡⎣
D. 1(,2)2
8．满足条件的所有集合A 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．
21
(),()1,(2)1f x g x x f x =
=-=+则 , [(2)]f g = .
10．
若2
(
),[(2)]2,f x a x f f =-=-=
为一个正的常数且则 ．
11．已知函数2
(),(1)(2)0,(1)f x x px q f f f =++==-满足则的值为 ．
12．求下列函数的定义域：
（1
）()1f x ； （2
）
()f x =
； （3
）
0()f x =
．
13．求下列函数的值域：
（1
）y = （2）
211x y x -=
+ （3）1
(4)
2x y x x -=≥-+
（4）
22
4
1x y x +=- （5
）2y x = 14
．若函数
()f x =A
，()1)g x a <的定
义域是B ，B A ⊆当时,求实数a 的取值范围.
15.已知函数4,6(),(3)(2),6x x f x f f x x -≥⎧==⎨+<⎩则（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16.函数
x
y x x =+
的图象是（ ）
o x o x o x o x
17.已知函数
2,0
(),
2,0
x x
f x
x x
+≤
⎧
=⎨
-+>
⎩则不等式2
()
f x x
≥的解集为（）
A. [-1,1]
B. [-2,2]
C. [-2,1]
D.[-1,2]
18.已知
()
f x是一次函数，若{[()]}87
f f f x x
=+，则()
f x= ．
19.若函数
()
f x的定义域是[0,1], 则函数
2
()(2)()
3
g x f x f x
=++
的定义域是．
20.求下列函数的解析式：
(1)已知
2
()2
f x x x
=+，求(21)
f x+；
（2
）已知
1)
f x
=+()
f x；
（3）已知
1
()2()32
f x f x
x
-=+
，求
()
f x．
21.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A（终点）运动，设点P D C 运动的路程为x，△APB的面积为y,
求：（1）y与x之间的函数解析式； P
（2）画出函数
()
y f x
=的图象．
22.作出下列函数的图象：
(1)
122
y x x
=-+-
； (2)
243
y x x
=-+
．
拓展创新
23．设
2
2
111
(),()()(2)(3)
123
x
f x f f f f
x
+
=+-+-=
-
则
( )
A. 35
12 B.
35
12
-
C. 1
D. 0
24．设
()
f x的定义域是]
0,1
⎡⎣
，则
()(2)()(0)
gx f x f x m m
=++>的定义域是．
25.设
()f x 是定义在R 上的函数，f(0)=1且对任意实数x 、y ，都有
()()(21f x y f x y x
y -=--+，求函数()f x 的解析式．
26.某市出租车的计价标准是：4千米以内10元（含4千米），超出4千米且不超过18千米的部分1.2元/千米，超出18千米的部分1.8元/千米．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数解析式； （2）如果某人乘车行驶了20千米，他要付多少车费？ 自主发展
1．若已知函数的解析式，那么求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取
值范围。

常见的有以下几种情况：
（1）如果)(x f 是整式，那么函数的定义域为实数集R ；
（2）如果)(x f 是二次根式，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于零的实数的集合； （3）如果)(x f 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（4）若)(x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使每个部分有意义的实数的集合的交集． 2．函数解析式的求法： （1）配凑法和换元法
如果已知复合函数)]([x g f 的表达式，要求)(x f 的解析式时，若)]([x g f 表达式右边易配成)(x g 的运算形式，则可用配凑法（也叫直接变换法）。

当然，亦可用换元法求)(x f 的解析式．但要注意，无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件：是函数)(x g t =的值域，且使)(x f 的解析式有意义． （2）待定系数法
已知函数的模型（如一次函数、二次函数等），一般的方法是设出函数的解析式，然后根据题设条件求待定系数． （3）消去法
利用方程的思想，采用解方程组的方法消去不需要的函数式子，而得到)(x f 的表达式，此法也称解方程法． （4）赋值法
可以是取特殊值，也可是变量换变量，然后通过解方程组求出参数．
3．用图象法表示一个函数是数形结合的基础，判断一个图形是不是函数图象的依据仍旧是函数的定义．函数图象的形状与定义域、对应法则有关，定义域确定变量的分布范围，对应法则确定形状，如何从图象中提取有用的信息，把“形”转化成“数”是解决问题的关键． 4．作函数图象，首先明确函数定义域，其次明确函数图象是点、线段或直线等，体会定义域对图象的控制作用，处理好端点处的情况．作图时，先不受定义域限制作出完整图象，然后再截取．
1.2函数及其表示参考答案
学业水平测试
1.C ；
2. 3(,1)(1,)2-∞--；
3.{-2,-1,2}；
4.（-3,1）；
5. 1x x +；
6. 2,012,12,3,2x x x x <≤⎧⎪<≤⎨⎪>⎩
； 7.A ；8.D 9. 1
3, 14；；11. 6 ；12.(1) 1[,3]2 (2) [2,1)(1,2]--- (3) (,1)(1,0)-∞--；13.(1) [0,2] (2){ 2y ≠} (3) 5(,1)[,)2
-∞+∞ (4) (,4](1,)-∞-+∞ (5) 3(,]8
-∞ ； 14. a φ∈； 15. C ；16. C ；17. A ；18. 2x +1 ； 19. 1[0,]3
；20. (1)2483x x ++， (2) 243(1)x x x ++≥-，(3) 2()2f x x x =---； 21. (1)2,048,48
,242,812x x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<<⎩
(2)略 ；22.略； 23. D ；24. 当1m =时，定义域为{0}；当112m ≤<时，定义域为[0,1]m -；当102
m <<时，定义域为1[0,]2；25. 2()1f x x x =++ ；26.（1）10,045.2 1.2,418,1.8 5.6,18x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩
（2）30.4。