第5讲一元二次方程-根与系数关系

第一章
根与系数的关系
一、填空题
1、已知1x ，2x 是一元二次方程04432=--x x 的两根，则21x x +的值是( ) A. -4 B. 3
C. 34-
D. 3
4
2、若1x ，2x 是一元二次方程032=--x x 的两个根，则21x x 的值是( ) A. 2 B. −2 C. 3 D. −3
3、已知1x ，2x 是一元二次方程x x 2632-=的两根,则2211x x x x +-的值是( )
A. 34-
B. 38
C. 38-
D. 3
4
4、下列一元二次方程两实数根和为4的是( ) A. 0422=-+x x B. 0442=+-x x C. 01042=++x x D. 0542=-+x x
4、已知关于x 的一元二次方程02=+-c bx x 的两根分别为11=x ,22-=x ,则b 与c 的值分别为( )
A. b=-1，c=2
B. b=1，c=−2
C. b=1，c=2
D. b=−1，c=−2
5、已知一元二次方程062=+-c x x 有一个根为2,则另一根为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
6、已知关于x 的一元二次方程082=-+mx x 的一个实数根为2,则另一实数根及m 的值分别为( )
A. 4，−2
B. −4，−2
C. 4， 2
D. −4，2
7、设1x ，2x 是方程0222=-+kx x 两个根，且21212x x x x -=+，则k 的值为( ) A. =k −2 B. =k 2 C. 21-=k D. =k 2
1
8、已知一元二次方程0362=--x x 的两根为α与β,则β
α
1
1
+
的值的相反数为( )
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
9、已知实数1x ，2x 满足721=+x x ,1221=x x ,则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A. 01272=+-x x B. 01272=++x x C. 01272=-+x x D. 01272=--x x
10、如果关于y 的方程()09122=--+y m y 的两实数根互为相反数,那么m 的值是( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1
11、设1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两根，则2
221x x +的值为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
12、已知m ,n 是方程012=--x x 的两实数根,则
n
m 1
1+的值为( ) A. 1- B. 2
1
-
C. 2
1
D. 1 13、设1x 、2x 是方程0332=--x x 的两个实数根，则
2
1
12x x x x +的值为( )
A. 5
B. -5
C. 1
D. -1
14、已知：1x 、2x 是一元二次方程022=+-b ax x 的两根,且321=+x x ,121=x x ,则a 、b 的值分别是( )
A. 3-=a ，1=b
B. 3=a ，1=b
C. 23-=a ，1-=b
D. 2
3
=a ，1=b
15、若关于x 的一元二次方程03422=-++k kx x 的两个实数根分别为1x 、2x ，且满足
2121x x x x =+，则k 的值为( )
A.-1或43
B.-1
C.4
3
D.不存在 16、已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为( ) A. −1 B. 9 C. 23 D. 27
17、如果a ,b 为质数,且0132=+-m a a ,0132=+-m b b ,那么b
a
a b +的值为( )
A. 22123
B. 22125或2
C. 22125
D. 22
123或2
18、已知一元二次方程：0132=--x x 的两个根分别是1x 、2x ,则2
21221x x x x +的值为( )
A. -3
B. 3
C. -6
D. 6
19、关于x 的一元二次方程()01222=+-+m x m x 的两个实数根分别为1x 、2x ,且021>+x x ,
021>x x ,则m 的取值范围是( )
A. 12≤m
B. 12≤m 且0≠m
C. 1<m
D. 1<m 且0≠m
20、关于x 的一元二次方程()01422=++-+k x k x 的两实数根互为相反数,则k 的值( ) A. 2 B. 0 C. ±2 D. −2
21、已知1x 、2x 是一元二次方程x x 2632-=的两根,则2211x x x x +-的值是( ) A. 34- B. 38
C. 38-
D. 3
4
22、已知关于x 的一元二次方程082=-+mx x 的一个实数根为2,则另一实数根及m 的值分别为( )
A. 4，-2
B. -4，-2
C. 4，2
D. -4，2
23、关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正,关于y 的一元二次方程
0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论：①这两个方程的根都负根;
②()()2112
2≥-+-n m ;③1221≤-≤-n m ,其中正确结论的个数是( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
24、定义新运算，a ★b ()b a -=1，若a 、b 是方程04
1
2=+-m x x （1<m ）的两根，则b ★a
b -★a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.与m 有关 二、填空题
1、已知一元二次方程022=-+mx x 的两个实数根分别为1x ，2x ，则=21x x ______.
2、若α、β是一元二次方程0622=-+x x 的两根,则=+22βα______.
3、若关于x 的方程()0122=+-+a x a x 的两根互为倒数，则=a ______.
4、已知一元二次方程的两根为32+和32-，则这个方程为______.
5、已知1x ，2x 是方程0161422=-+x x 的两实数根，那么
2
1
12x x x x +的值为______. 6、方程012222=+-++k k kx x 的两个实数根1x ，2x 满足42
221=+x x ，则k 的值为______. 7、关于x 的方程()011222=-+--m x m x 的两实数根为1x ，2x ,且32
221=+x x ，则=m ______.
8、已知关于x 的一元二次方程()021222=-+++k x k x 的两根为1x 和2x ,且()()02211=--x x x ，则k 的值是______.
9、若关于x 的方程()022=+-+k x k x 的两根互为相反数，则=k ______.
10、设1x ，2x 是方程020152=--x x 的两实数根,则=-+2015201623
1x x ______.
11、已知m ,n 是方程0522=-+x x 的两个实数根,则=++-n m mn m 32______. 12、如果m ,n 是两个不相等的实数,且满足32=-m m ,32=-n n ,那么代数式
=++-2015222m mn n ______.
13、已知α，β是方程0242=++x x 的两个实数根，则=++50143βα_______.
14、已知关于x 的一元二次方程()01222=+--m x m x .若方程的两根互为倒数，则=m ______. 15、已知关于x 的一元二次方程()021222=-+++k x k x 的两根为1x 和2x ,且()()02211=--x x x ，则k 的值是_______.
16、已知m 、n 是关于x 的一元二次方程032=+-a x x 的两个解，若()()611-=--n m ，则a 的值为______.
17、关于x 的方程()()012132=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ,且有
a x x x x -=+-12211，则a 的值是______.
18、已知方程0101002=++x x 的两根分别为1x ,2x ,则2121x x x x --的值等于______.
19、已知关于x 的一元二次方程0162=++-k x x 的两个实数根是1x ,2x ,且242
221=+x x ，则k 的
值是______.
20、设1x ,2x 是方程020132=--x x 的两实数根,则=-+2013201423
1x x ______.
21、设α,β是一元二次方程0732=-+x x 的两个根,则=++βαα42______.
22、如果α、β是一元二次方程0232=-+x x 的两个根,则201622+-+βαα的值是______. 23、若a 、b 是一元二次方程020102=-+x x 的两个实数根，则b a a ++22的值为______． 24、若矩形的长和宽是方程()32001622≤≤=+-x m x x 的两根，则矩形的周长为______.
三、解答题
1、已知关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx mx . （1）若该方程有两个实数根，求m 的取值范围；
（2）设该方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足121=-x x ，求m 的值.
2、若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x ，2x ,且满足213x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值。

3、已知关于x 的一元二次方程022=--mx x ①
(1)若1-=x 是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； (2)对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由。

4、已知关于x 的一元二次方程()01262=++-m x x 有实数根。

(1)求m 的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为1x ，2x ,且2022121≥++x x x x ，求m 的取值范围。

5、已知关于x 的方程()01222=+-+m x m x 有实数根， (1)求m 的取值范围；
(2)若方程的一个根为1，求m 的值；
(3)设α、β是方程的两个实数根,是否存在实数m 使得622=-+αββα成立?如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由。

6、已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m x x 有两个实数根1x ,1x . (1)求m 的取值范围；
(2)当212
2216x x x x =+时，求m 的值。

7、关于x 的方程()02212=++-kx x k . (1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根。

(2)设1x ,2x 是方程()02212=++-kx x k 的两个根,记212
1
12x x x x x x S +++=，S 的值能为2吗?若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由。

8、已知1x ,2x 是关于x 的一元二次方程()051222=+++-m x m x 的两实数根。

(1)若()()281121=--x x ，求m 的值；
(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若1x ,2x 恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长。

9、已知关于x 的一元二次方程()03222=+-+m x m x 的两个不相等的实数根α、β满足
11
1=+β
α，求m 的值。

10、关于x 的一元二次方程0132=++-k x x 的两根的平方和小于5，求k 的取值范围。

11、关于x 的一元二次方程0222=++m x x 有两个不相等的实数根。

(1)求m 的取值范围；
(2)若1x ,2x 是一元二次方程0222=++m x x 的两个根,且82
221=+x x ，求m 的值。

12、已知关于x 的一元二次方程()023222=+++-m x m x . (1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足21222131x x x x +=+，求实数m 的值。

13、已知关于x 的一元二次方程0222=+-m x x 有两个不相等的实数根。

(1)求实数m 的最大整数值；
(2)在(1)的条下，方程的实数根是1x ,2x ，求代数式212
221x x x x -+的值。

14、若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x ,2x ,且满足213x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值。

15、关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 的两个实数根分别为1x ,2x . (1)求m 的取值范围；
(2)若()01022121=+++x x x x ，求m 的值。

16、关于x 的方程()04
22=+++k
x k kx 有两个不相等的实数根； (1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

17、已知关于x 的一元二次方程()021222=+++-k k x k x 有两个实数根1x ，2x ．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k 使得0222121≥--x x x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说
明理由．
18、关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是1x 和2x .
(1)求k 的取值范围；
(2)如果12121-<-+x x x x 且k 为整数，求k 的值。

19、已知关于x 的一元二次方程()2212m x m x --=的两实数根为1x ,2x
(1)求m 的取值范围；
(2)设21x x y +=，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值。

20、已知关于x 的一元二次方程0622=--k x x (k 为常数).
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设1x ,2x 为方程的两个实数根,且14221=+x x ，试求出方程的两个实数根和k 的值。

21、已知关于x 的一元二次方程()0222=+--k x k x .
(1)若1=x 是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；
(2)当1-=k 时,求2213x x -的值。

22、已知m 、n 是关于x 的方程()03222=+-+k x k x 的两个实数根,且mn n m =+,求mn mn n m -+22的值.
23、已知关于x 的方程()0471222=--+-+a a x a x 的两根1x ,2x 且满足02332121=---⨯x x x x ，
求a a a 24412+⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+的值。

()212
2122212)1(x x x x x x -+=+ ()()212
212214)2(x x x x x x -+=- ()()()111)3(212121+++=++x x x x x x
2
1212111)4(x x x x x x +=+ ()2
12122
121222112212)5(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+ ()()21221221214)6(x x x x x x x x -+=-=-。