2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试(2)数学(理)

2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（2）
数学（理）
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i 是虚数单位，20172i
3i 1i
z =-+，且z
的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ） A ．3
B ．5
C ．5
D ．3
2．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，
则()A B =R I ð
（ ）
A ．[3,2]-
B ．[3,6)-
C ．[3,0][2,+)-∞U
D ．[3,0][2,6)-U
3．已知函数1,0
()2 , 0
x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,3)-∞
B ．(,2)-∞
C ．(1,2)
D ．(0,3)
4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直
B ．方向相同
C ．方向相反
D ．成120︒角
5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则
4
6
a a = （ ）
A ．7
2
-
B ．
73
C ．213
-
D ．137
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A ．
9182
π
+ B ．
9362
π
+ C ．1818π+ D ．1836π+
7．已知α满足2
sin()4π
α+=，则2tan 12tan αα+=
（ ）
A ．
9
8 B ．98
-
C ．3
D ．3-
8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（ ）
A ．20
B ．10
C ．0
D ．10-
9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ） A ．3840
B ．5040
C ．6020
D ．7200
10．若不等式组20
200
x y kx y y +-⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是
（ ）
A ．2
[2,]
5-
B ．12[2,
]5
-
C ．12
(,0][
,)5
-∞+∞U D ．12
(,2][
,)5
-∞-+∞U 11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M
的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=, 260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3，则该双曲线的方程为 （ ）
A ．22
142x y -=
B ．22
144x y -=
C ．22
182
x y -=
D ．22
184
x y -=
12．已知函数3|2|1,0()3+1,0
x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1
()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，
若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．3
(ln2,)2
B ．(ln2,4)
C ．(ln3,2)
D ．(ln31,1)-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如
22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦
数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .
14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .
15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422
191
a b a b +++
的最小值 为 .
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得
02
0(6)(1)4
n m n a --≥，则实数m 的取值范围 是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角． （1）求cos A 的值；
（2）当22
3a b bc
+取得最小值时，求cos B 的值．
18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ， CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<． （1）求证:PE AD ⊥；
（2）若二面角P BE D --的余弦值为1
3
，求λ的值．
19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.
（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量； （2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.
20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2
2且P 在椭圆C 上
运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时， 12PF F △22
. （1）求椭圆C 的方程； （2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.
21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.
（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值； （2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；
②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)
ln[(2)!]5
n n n +<
.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为122x y ⎧=--
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）若2AB =，求实数m 的值；
（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围. 23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数).
（1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围； （2）求证：22223614
()()(1)(3)a b f f a b
++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.
理科数学答案
1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】145 14．【答案】24 15．【答案】17
16．【答案】11
[,]44
-
17．【解析】
（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得
23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，
由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4
cos 5
A =.（5分）
（2）由余弦定理可得222228
2cos 5
a b c bc A b c bc =+-=+-，
则
222222
8
434855b c bc a b b c bc bc bc +-++==-481255
bc bc -=≥， 当且仅当2c b =时，2
a
bc
取得最小值125.（9分）
此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以355
b
a =，
∴2
22
2229+425
5cos 2535225
b b b a
c b B ac b
b
-+-===⨯⨯.（12分）
18．【解析】
（1）ABCD Q 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥Q 平面ABCD ,AD PD ∴⊥， 而,,PD CD D PD CD =⊂I 平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ， 又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）
（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
设1AB =，则1CE =,PD λ=.则(0,0,0),(0,0,),(1,1,0),(0,1,1)D P B E λ，
(1,0,1)BE =-u u u r ,(1,1,0)DB =u u u r ,(1,1,)BP λ=--u u u r
.
设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n .
由条件可得110
BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
n n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n . 同理可得2(1,1,1)=-n .
由条件可得1212212||1
|cos ,|||||3
1(1)13λ⋅<>=
==⋅+-+⋅n n n n n n ，
即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ分） 19．【解析】 （1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量
为：
0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分） （2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3,
则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，
属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）
从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3.
则
3
7
3
10
7
(0)
24
C
P
C
ξ===,
12
37
3
10
21
(1)
40
C C
P
C
ξ===,
21
37
3
10
7
(2)
40
C C
P
C
ξ===,
3
3
3
10
1
(3)
120
C
P
C
ξ===.
所以，ξ的分布列为：
则ξ的期望值为：
7
01230.9
244040120
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分）
20．【解析】
（1）由
22
22
1
2
x y
a b
y x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
可得
22
2
2
2
4
a b
x
a b
=
+
,
22
2
22
4
4
a b
y
a b
=
+
.
根据对称性，不妨设点P在第一象限，则点P
，
设椭圆的焦距为2c，由条件可得1
2
2
c
⨯=
，由椭圆的离心率可得
c
，所以，
2
2
1
2
c
a
=,
22
2
1
2
a b
a
-
=，所以，a,c b
=，∴，解之得1
b=，故a故椭圆C的方程为
2
21
2
x
y
+=.（6分）
（2）设直线
1
l的方程为2
y x m
=+(0)
m≠.由
2
21
2
2
x
y
y x m
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
可得22
98220
x mx m
++-=，由条件可得22
6436(22)0
m m
∆=-->，即33
m
-<<，所以，30
m
-<<，或03
m
<<.
设
112200
(,),(,),(,)
A x y
B x y M x y，则
2
1212
822
,
99
m m
x x x x
-
+=-=.
则12
4
29
x x m
x
+
==-,
00
2
9
m
y x m
=+=.则00
12
00
,
11
y y
k k
x x
==
+-
，
∴00
12
00
11
y y
k k
x x
+=+
+-
00
2
2
1
x y
x
=
-2
4
2
99
16
1
81
m m
m
-⨯⨯
=
-
2
2
8
8116
m
m
=
-
.
当0
m≠时，
12
2
8
81
16
k k
m
+=
-
，且
12
k k
+在(3,0)
m∈-和(0,3)
m∈上的取值范围相同，
故只需求
12
k k
+在(0,3)
m∈上的取值范围.
而
12
k k
+在
9
(0,)
4
m∈和
9
(,3)
4
m∈上随m的增大而增大.
∴
12
k k
+的取值范围是
8
(,)(0,)
7
-∞-+∞
U.（12分）
21．【解析】
（1）由()ln(21)(21)1
f x x m x
=---+可得
2
'()2
21
f x m
x
=-
-
，
由条件可得
21
'(2)2
33
f m
=-=-，即
1
2
m=.
则
3
()ln(21)
2
f x x x
=--+,
2(23)
'()1=
2121
x
f x
x x
--
=-
--
1
()
2
x>，
令'()0
f x=可得
3
2
x=，当
3
2
x>时，'()<0
f x，当
13
22
x
<<时，'()>0
f x.
∴()
f x在
3
(,+)
2
∞上单调递减，在
13
(,)
22
上单调递增，
∴()
f x的极大值为
333
()ln2ln2
222
f=-+=，无极小值.（4分）
（2）①由条件可知：只需()1
f x<，即ln(21)(21)0
x m x
---<在
1
(,+)
2
∞上恒成立.
即(21)ln(21)
m x x
->-，而
1
2
x>,∴210
x->,∴
ln(21)
21
x
m
x
-
>
-
恒成立.
令ln(21)()21x g x x -=
-，则2
22ln(21)
'()(21)x g x x --=-，令'()0
g x =可得12e x +=. 当11
22
e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，
∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1
(,)2
e ++∞上单调递减，
故()g x 的最大值为11
(
)2e g e
+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分） ②由①可知,25m =时，ln(21)2
<215
x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.
令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5m
m <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325
n n ++++<++++（）L L ，
即212ln1ln 2ln3ln(2)5
n n n +++++<（）
L ,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】
（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，
化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.
直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l
的距离为d =
由条件可得||2AB =，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）
（2）显然点P 在直线l 上,
把12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得
2
(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为1
,t t .
则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得1m <-1m .
则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或1
4
m <.
而0m >,∴实数m 的取值范围是9
(,)4
+∞.（10分）
23．【解析】
（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，
①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，1
02
m -<≤；
②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤；
③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，5
22m <≤.
综上可知，实数m 的取值范围是15
[,]22
-．（5分）
（2）Q (1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,
∴363609(1)(3)4
f f <=-+≤，而22
2214()()a b a b ++22224559b a a b =+++≥，
∴
22223614
()()(1)(3)a b f f a b
++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。