北师大版九年级上册数学《矩形的性质与判定》特殊平行四边形研讨说课复习课件 (2)

∴∠ADE =∠DEC，∴∠DEC =∠AED.
又∵DF⊥AE，∴∠DFE =∠C = 90°.
又∵DE = DE，∴△DFE ≌ △DCE，∴DF = DC.
1.2.1 矩形的性质
3.如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′交
AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求 △BED 的面积. 解：∵四边形 ABCD 是矩形，
1.2.2 矩形的判定
针对训练
1. 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，△ABO 是等边三 角形，AB = 4，求 ▱ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4.
1.2.2 矩形的判定
例1 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且OA = OD，
∠OAD = 50°．求 ∠OAB 的度数．
D
C
O
A
B
1.2.2 矩形的判定
解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
D
C
∴OA = AC，OB = BD.
又∵OA = OD，
O
∴AC = BD，
解：∵E、F 分别是 AB、AC 的中点，AB = 10，AC = 8
∴ AE = 1 AB = 5，AF = 1 AC= 4，
2
2
∵AD 是 △ABC 的高，
∴DE= 1 AB=5，DF= 1 AC=4 ( 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
2
2
半 )，
∴四边形 AEDF 的周长 = AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
C
C
D
C
D
D
A
B
A
B
A
B
有一个角是直角 有二个角是直角 有三个角是直角
我猜测有三个角是直角的四边形是矩形.
1.2.2 矩形的判定
探究
如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°，
A
D
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°， B
∴四边形 ABCD 是平行四边形(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵∠ABC = 90°，
A
D
∴平行四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ( 矩形的对角线相等 )，
∴BO = 1 BD = 1 AC.
2
2
O
B
C
1.2.1 矩形的性质
例4 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点. 若 AB = 10，AC = 8，求四边形 AEDF 的周长；
A
D
又∵∠ABC=90°， ∴∠BCD=90°.
B
C
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
1.2.1 矩形的性质
求证：（2）AC = DB.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC （矩形的对边相等），
A
D
在 △ABC 和 △DCB 中，
O
B
C
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
和小唯唯一 起来学习吧
1.2.2 矩形的判定 新知学习
下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边 形的形状会发生变化.
α
α
α
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能 得到一个怎样的猜想？
1.2.2 矩形的判定
AB = 2.5，求矩形对角线的长.
A
D
解： ∵四边形 ABCD 是矩形，
O
∴∠DAB = 90°（矩形的四个角都是直角）， B
C
AC = BD（矩形的对角线相等），
OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD（矩形的对角线互相平分），
2
2
∴OA = OD.
1.2.1 矩形的性质
∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA = ∠OAD = 1 (180° - 120°) = 30°
∟
自己试一试哦
∟
1.2.2 矩形的判定
证明：在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC， ∴∠DAC = ∠BAC ( 等腰三角形三线合一 ).
又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠CAE= ∠CAM . ∴∠DAE =∠DAC＋∠CAE = (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形 ADCE 为矩形 ( 三个角是直角的四边形是矩形 )．
A
D
O
B
C
你能证明这 个定理吗？
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.2.1 矩形的性质
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线. 求证：BO = 1 AC ?
2
证明: 延长 BO 至点 D，使 OD = BO，连接 AD、DC.
∵AO = OC，BO = OD，
A
B
∴四边形 ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 )，
∴∠BAD = 90° ( 矩形的四个角都是直角 )，
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 90°-∠OAD = 40°.
1.2.2 矩形的判定
思考
我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角 是直角时，这个四边形就是矩形呢？
∴AD∥BC，∠A = 90°，∴∠2 =∠3.
又由折叠知∠1 =∠2，∴∠1 =∠3，∴BE = DE.
设 BE = DE = x，则 AE = 8－x.
∵在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2 = BE2，
∴42＋(8－x)2 = x2，解得 x = 5，即 DE = 5.
∴S△BED
=
1 2
DE·AB
A
D
60°
O
B
C
1.2.2 矩形的判定
∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
A
D
60°
∴▱ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 ).
O
∴∠ABC = 90° ( 矩形的四个角都是直角 ).
B
C
在 Rt△ABC 中，BC =
=
1.2.2 矩形的判定
学习目标
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.
2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 难点
重点
1.2.2 矩形的判定 新课引入
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带 了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解 决问题，这是为什么呢？
D
C
∵AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°，
∴ ∠ABC =∠DCB = ×180° = 90°，
∴▱ABCD 是矩形（矩形的定义）.
1.2.2 矩形的判定
归纳
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
D
C
在平行四边形 ABCD 中， ∵AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形.
1.2.1 矩形的性质 新课引入 观察下面图形，长方形在生活中无处不在.
课件
课件
课件
课件
Байду номын сангаас
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
c
课件
思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
1.2.1 矩形的性质 新知学习 利用活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同 学们注意观察.
1.2.1 矩形的性质
如图，四边形 ABCD 是矩形,∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB（矩形的对角线相等），
AB∥DC（矩形的对边平行），
∴∠ABC +∠BCD=180°.
∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线，
∴ ∠BAE+ ∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. ∴∠AFB = 90°，即∠GFE = 90°.
A G
F
同理可证∠AED =∠EHG = 90°，
B
E
∴四边形 EFGH 是矩形 ( 三个角是直角的四边形是矩形 )．
D H
C
1.2.2 矩形的判定 3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形ADCE 为矩 形．
∴△ABC ≌ △DCB.
∴AC = DB.
1.2.1 矩形的性质
归纳
矩形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平 行四边形所没有的特殊性质.
定理 矩形的四个角都是直角. 定理 矩形的对角线相等.
1.2.1 矩形的性质
针对训练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，
=.
∴S▱ABCD = AB·BC = 4×4 = 16 .
1.2.2 矩形的判定
2. 如图， ▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证： 四边形 EFGH 为矩形．
A
D
G
F
H
B
E C
1.2.2 矩形的判定
证明：在 ▱ABCD 中，AD∥BC,
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
1.2.2 矩形的判定
课堂小结
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的判定
对角线相等的平行四边形是矩形. 判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
=
1 2
×5×4＝10.
1.2.1 矩形的性质
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴 对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形的性质：
轴对称性：轴对称图形 .
对称轴： 2条
.
1.2.1 矩形的性质
探究
如图，四边形矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E，那么 BE 是 Rt△ABC 中一条怎样的特殊线段？它与 AC 有什么大小关系？由此你能 得到怎样的结论？
C
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠A = 90°
∴四边形 ABCD 是矩形 ( 一个角是直角的平行四边形是矩形 ).
1.2.2 矩形的判定
归纳
定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
A
D
B
C
在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A =∠B =∠C = 90°, ∴四边形 ABCD 是矩形.
1.2.1 矩形的性质
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
具有平行四边形的一切性质
矩形的相关 概念及性质
四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
北师大版九年级上册数学同步课件
矩形的性质与判定
第2课时
课件
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
2
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
1.2.1 矩形的性质
2.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE = AD，DF⊥AE，垂足
为 F. 求证：DF = DC.
A
D
证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
O
B
C
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠C = 90°.
北师大版九年级上册数学同步课件
矩形的性质与判定
第1课时
课件
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
1.2.1 矩形的性质 学习目标
1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 难点 3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. 重点
探究
如下图，在 ▱ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC = DB， 求证：▱ABCD 是矩形.
A
B
D
C
1.2.2 矩形的判定
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
A
B
∴ △ABC ≌ △DCB， ∴∠ABC =∠DCB.
矩形
1.2.1 矩形的性质
归纳
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形.
1.2.1 矩形的性质
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它 有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质 呢？