重庆市名校2022届数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

重庆市名校2022届数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数为奇函数的是（ ） A ．122x
x
-
B ．3sin x x
C ．2cos 1x +
D ．22x x +
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，令()122x
x f x =-
，则()()11122(2)222x x x
x x x
f x f x --=-=-=--=-，所以函数()1
22x
x
f x =-
为奇函数，故选A ． 考点：函数奇偶性的判定．
2．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ） A ．-2 B ．0
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】
分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（
）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（
） ， 故答案为：2
点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题． 3．在一组数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，12,,,n x x x 不全相等）的散点图中，若这
组样本数据的相关系数为1-，则所有的样本点()(),1,2,,i i x y i n =满足的方程可以是（ ）
A ．1
12
y x =-
+ B ．1y x =- C ．1y x =+ D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据相关系数的概念即可作出判断. 【详解】
∵这组样本数据的相关系数为1-，
∴这一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y 线性相关，且是负相关， ∴ 可排除D ，B ，C ， 故选A 【点睛】
本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题． 4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.
由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为
A ．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析
B ．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析
C ．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品
D ．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发 【答案】B 【解析】 【分析】
根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。

【详解】
由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为
0.750.08 1.50.25 2.50.3240.35 2.635⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）
， 数据分析岗位的平均薪资为0.750.15 1.50.36 2.50.3240.17 2.1325⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据挖掘岗位的平均薪资为0.750.09 1.50.12 2.50.2840.51 2.9875⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据产品岗位的平均薪资为0.750.07 1.50.13 2.50.4140.35 2.6725⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）。

故选：B 。

【点睛】
本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能力与数据分析能力，属于中等题。

5．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A （3，2），P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△PAF 周长的最小值为（ ） A ．4
B ．5
C ．422+
D ．55+
【答案】C 【解析】 【分析】
求PAF ∆周长的最小值，即求PA PF +的最小值，设点P 在准线上的射影为点D ，则根据抛物线的定义，可知
PF PD =，因此问题转化为求PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当P 、A 、D 三
点共线时，PA PD
+最小，即可求出PA PF +的最小值，得到答案。

【详解】
由抛物线为2
4y x =可得焦点坐标(1,0)F ，准线方程为：1x =-， 由题可知求PAF ∆周长的最小值，即求PA PF +的最小值， 设点P 在准线上的射影为点D ，则根据抛物线的定义，可知PF PD =，
因此求PA PF +的最小值即求
PA PD
+的最小值，
根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD
+最小，
所以min ()(1)314A PA PD x +
=--=+=
又因为AF ==
所以PAF ∆周长的最小值为4+ 故答案选C 【点睛】
本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出P 、A 、D 三点共线时PA PD
+最小，是解题的关
键，属于中档题。

6．已知()*111()123
f n n N n =+
+++
∈，用数学归纳法证明()*2,2
n
n f n N >∈时，从假设n k =推证1n k =+成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（ ）
A ．21k -
B ．2k
C ．21k +
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
分别计算n k =和1n k =+时的项数，相减得到答案. 【详解】
()*11
1
()123
f n n N n
=+
+++
∈
n k =时，()1112
122
3k
k
f =++++，共有2k 项. 1n k =+时，()11111
2132
2k k f ++=++++，共有12k +项.
需在左边的表达式上多加的项数为：1222k k k +-= 故答案选B 【点睛】
本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.8，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是（ ） A ． 1.8 2.3y x =+ B ． 1.8 2.3y x =-
C ． 1.8 2.2y x =+
D ． 1.8 2.2y x =-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据回归直线必过样本点的中心可构造方程求得结果. 【详解】
回归直线斜率的估计值为1.8，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，
∴()ˆ5 1.84y
x -=-，即ˆ 1.8 2.2y x =-. 故选：D . 【点睛】
本题考查回归直线的求解问题，关键是明确回归直线必过样本点的中心，属于基础题.
8．已知21n
x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．40
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据二项展开式的各项系数和012
232n n n n n n C C C C +++
==，求得5n =，再根据二项展开式的
通项为211()()r r
n r
r n T C x x
-+=，求得2r
，再求二项展开式中x 的系数.
【详解】
因为二项展开式的各项系数和012
232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，
又二项展开式的通项为211()()
r r
n r
r n T C x x
-+==3r r n n C x -，351r -=，2r
所以二项展开式中x 的系数为2
510C =．答案选择B ．
【点睛】
本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．
9．已知随机变量ξ和η，其中127ηξ=+，且34E η=，若ξ的分布列如下表，则m 的值为（ ）
A ．
3
B ．
4 C ．
6 D ．
8
【答案】A 【解析】 【分析】
根据随机变量ξ和η的关系得到E ξ，概率和为1，联立方程组解得答案. 【详解】
127ηξ=+且34E η=，则94
E ξ=
即119
12344124
E m n ξ=⨯+++⨯
= 11
1412
m n +++= 解得13
m =
故答案选A 【点睛】
本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量ξ和η的关系得到E ξ是解题的关键. 10．抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的最短距离为( )
A B C ．D ．1
【答案】B 【解析】
分析：设抛物线上点(
)2
,A m m ，由点到直线距离公式，得点A 到直线20x y --=的距离，由二次函数的性质，可求最小距离.
详解：设抛物线上的任意一点(
)2
,A m m
，由抛物线的性质m R ∈
点A 到直线20x y --=的距离22
2
2172
24
2
m m d m --⎛⎫=
=-+ ⎪
⎝⎭
易得2
1770244m ⎛⎫-+≥> ⎪⎝
⎭
2
2172
228
d m ⎛⎫∴=-+
⎪⎝⎭ 由二次函数的性质可知，当12m =时，最小距离72
d =
. 故选B.
点睛：本题考查抛物线的基本性质，点到直线距离公式，考查学生转化能力和计算能力. 11．已知4
cos 25
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．
725
B ．725
-
C ．
2425
D ．2425
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合诱导公式可得：4
sin cos 25
παα⎛⎫=-=
⎪⎝⎭， 则2
2
47cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么（ ）
A ．1x =-是函数()f x 的极小值点
B ．1x =是函数()f x 的极大值点
C ．2x =是函数()f x 的极大值点
D ．函数()f x 有两个极值点 【答案】C 【解析】 【分析】
通过导函数的图象可知；当x 在(,1),(1,2)-∞--时，'
()0f x >；当x 在(2,)+∞时，'
()0f x <，这样就
可以判断有关极值点的情况. 【详解】
由导函数的图象可知：当x 在(,1),(1,2)-∞--时，'
()0f x >，函数()f x 单调递增；当x 在(2,)+∞时，
'()0f x <，函数()f x 单调递减，根据极值点的定义，可以判断2x =是函数()f x 的极大值点，故本题
选C. 【点睛】
本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.
二、填空题：本题共4小题 13．复数32i
z i
-+=
+的共轭复数z =________.（其中i 为虚数单位） 【答案】1i -- 【解析】 【分析】
根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成z a bi =+的形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可． 【详解】
3(3)(2)551
2(2)(2)5
i i i i
z i i i i -+-+--+=
===-+++-， ∴复数32i
z i
-+=
+的共轭复数是1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算、共轭复数的定义，考查基本运算求解能力，属于基础题．
14．已知函数()()2
11f x f x x '=++，则()1
0f x dx =⎰_____
【答案】76
【解析】
分析：求出f′（1）=﹣1，再根据定积分法则计算即可． 详解：∵f （x ）=f'（1）x 2+x+1， ∴f′（x ）=2f'（1）x+1， ∴f′（1）=2f'（1）+1， ∴f′（1）=﹣1， ∴f （x ）=﹣x 2+x+1， ∴
()1
f x dx ⎰=（﹣13x 3+12x 2+x ）1
0|=76. 故答案为
7
6
. 点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.
15．若()12n
x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则()12n
x +的展开式中含3x 项的系数为__________． 【答案】160 【解析】
分析：根据题意，结合二项式定理可得2
15n C =，再利用二项式通项公式即可.
详解：由二项式定理，()12n
x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为2
n C ，
∴有2
15n C =，解得6n =.
则有162r r r r T C x +=，当3r =时，得33
62160C =，
∴()6
12x + 的展开式中含3x 项的系数为160.
故答案为：160.
点睛：本题考查二项式系数的性质，要注意区分某一项的系数与某一项的二项式系数的区别. 16．(432)n x y -+(n ∈N*)展开式中不含y 的项的系数和为 ________ . 【答案】1 【解析】 【分析】
先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和． 【详解】
要求()432n
x y -+ (n ∈N ∗)展开式中不含y 的项，
只需令y=0，()432n x y -+(n ∈N*)展开式中不含y 的项的系数和即为()43n
x -展开式的系数和， 令x=1得()43n
x -展开式的各项系数和为()431n
-=； 故答案为：1. 【点睛】
因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， 22PA AD AB ===，E 是PB 的中点.
（1）求三棱锥P ABC -的体积；
（2）求异面直线EC 和AD 所成的角（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）23；（2）5
arctan
. 【解析】 【分析】
（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（2）由于//BC AD ，可得ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，由PA ⊥平面ABCD ，可得BC PB ⊥，再利用直角三角形的边角关系即可得出 【详解】
（1）
PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高2PA =，2BC AD ==，1AB =，
12112ABC
S
∴=⨯⨯=，故11212333
P ABC ABC V S PA -=⨯⨯=⨯⨯= （2）//BC AD ，ECB ∴∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，
又
PA ⊥平面ABCD ，PA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，于是在Rt CEB
中，2BC =，122
BE PB =
=
， tan 4BE BC θ==，
∴异面直线EC 和AD 所成的角是arctan 【点睛】
本题考查三棱锥体积公式的计算，异面直线所成的夹角，属于基础题 18．已知函数()2
ln f x a x x bx =++在()()
1,1f 处的切线方程为0y =.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间：
（Ⅱ）关于x 的方程()0f x m -=在1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
范围内有两个解，求m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）函数()f x 单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（Ⅱ）2
11
01m e e
<≤+-. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据()110f b =+=，()1210f a '=+-=，可解出()2
ln f x x x x =-+-，
再求导判断即可．
（Ⅱ）由（I ）可知()f x 在1,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
单调递减，在[
)1,+∞单调递增. ()10f =， 2111
1f e e e
⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，画出草图即可得出答案． 【详解】
解：（I ）函数()2
ln f x a x x bx =++，则()2a
f x x b x
'=
++且0x >. 因为函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为0y =，
所以()110f b =+=则1b =-，()1210f a '=+-=则1a =-.()2
ln f x x x x =-+-
所以，()121f x x x -'=+-=()()221121x x x x x x
+---=. 当01x <<时()0f x '<故()f x 为单调递减，当1x <时()0f x '>故()f x 为单调递增. 所以函数()f x 单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.
（II ）因为方程()0f x m -=在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
范围内有两个解，
所以()y f x =与y m =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
又两个交点
由（I ）可知()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在[
)1,+∞单调递增.
所以()f x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
有极小值为()10f =，且21111f e e e
⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭
. 又因为当x 趋于正无穷大时，()f x 也趋于正无穷大.所以21101m e e
<≤+-. 【点睛】
本题考查根据函数的切线方程求函数的单调区间，根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题． 19．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；
(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】 (1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+. 【解析】 【分析】
（1）实系数方程2
0x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.
(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解. 【详解】
（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈
()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=
又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知函数()ln f x x ax =+.
(1)若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线与直线41y x =+平行，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）3；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数a 的值即可；
（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论a 大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数()f x 的单调性。

【详解】
（1）因为1
()f x a x
'=+
，所以(1)1f a '=+ ，即切线的斜率1k a =+， 又切线与直线41y x =+平行，所以14a +=，即3a = ； （2）由（1）得 11()ax f x a x x
+'=+=，()f x 的定义域为(0,)+∞ ， 若0a =，则1
()0f x x '=
> ，此时函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数； 若0a >，则1
()0ax f x x
+'=>，此时函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数； 若0a <，则 当10ax +> 即1
0x a
<<- 时，()0f x '>，
当10ax +<即1x a >-时，()0f x '<，此时函数()f x 在1
(0,)a
-上为单调递增函数，
在1
(,)a
-+∞ 上为单调递减函数．
综上所述：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数； 当0a <时，函数()f x 在1
(0,)a -上为单调递增函数，在1
(,)a
-+∞ 上为单调递减函数. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题。

21．已知：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边长，cos b B 是cos a C 和cos c A 的等差中项． （Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）若ABC 的面积ABC S B =△，且b =ABC 的周长．
【答案】（Ⅰ）3
B π
=；（Ⅱ）3．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理得到sin()2sin cos A C B B +=，即1
cos 2
B =
，解得答案. （Ⅱ）根据面积公式得到2ac =，根据余弦定理得到3a c +=，得到周长. 【详解】
（Ⅰ）由已知得cos cos 2cos a C c A b B +=，
由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即sin()2sin cos A C B B +=． ∵A C B π+=-，∴sin()sin A C B +=，∴sin 2sin cos B B B =． 由于sin 0B >，∴1
cos 2
B =
．∵(0,)B π∈，∴3B π=．
（Ⅱ）由3cos ABC S B =△得
1
sin 3cos 2
ac B B =，3B π=，代入上式得2ac =．
由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-=，
∴2
()339a c ac +=+=，∴3a c +=，∴ABC 的周长为33+． 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，等差中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了111名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于41分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为"体育迷"与性别有关． 性别 非体育迷 体育迷 总计 男 女 11 44 总计
下面的临界值表供参考：
(参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b a -=++++，其中n a b c d =+++)
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列､期望()E X 和方差()D X ．
【答案】（1）2×2列联表答案见解析， 在犯错误的概率不超过010．的前提下认为“体育迷”与性别有关． （2）分布列见解析，3()4E X =，9
()16
D X =． 【解析】 【分析】
（1）先根据频率分布直方图计算出“体育迷”的人数，结合2×2列联表中的数据可得表中其他数据，最后根据公式计算出2K 的观测值，再依据临界值表给出判断. （2）利用二项分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的111人中“体育迷”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=(人)．由独立性检验的知识得2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算， 得2K
的观测值
2100(30104515)100
3.03027525455533
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．所以在犯错误的概率不超过0.10的前提
下认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
1
4
． 由题意知13,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，∴3313()(0,1,2,3)44i
i
i P X i C i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
从而X 的分布列为：
由二项分布的期望与方差公式得13()344
E X np ==⨯
=， 139
()(1)34416
D X np p =-=⨯⨯=.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用、独立性检验，还考查了离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，在计算离散型随机变量的分布列时，要借助于常见分布如二项分布、超几何分布等来简化计算，本题属于中档题.。