全概率公式的不足与改进

1 2
由改进型全概率公式得 P(A )=
i= 1
%
2
P ( B i ) P( A / B i )
= P ( B 1 ) P( A / B 1 ) + P( B 2 ) P( A / B 2 ) = 2 1 ( 0 . 96+ ( 0. 93 ) 0. 95. 3 3
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结束语
全概率公式及其证明 . 实践表明 , 本文所给出的改进型全概率公式有着易于理解、 便于掌握和应用等优点 . [ 关键词 ] 样本空间 ; 完备事件组 ; 条件概率 ; 全概率公式 ; 复合试验 [ 中图分类号 ] O 211 [ 文献标识码 ] C [ 文章编号 ] 1672 1454( 2011) 02 0173 04
需要说明的是, 当一个试验不是( 或不明显是 ) 由相继进行的两个试验复合而成时, 可以人为地将其 化分为有先后逻辑关系的两个试验来对待和处理 , 如下例. 例 3 两台机床加工同样的零件 , 第一台的废品率为 0. 04, 第二台的废品率为 0 . 07, 加工出来的零 件混放在一起, 并设第一台加工的零件是第二台加工零件的 2 倍 , 现任取一零件 , 问取到合格品的概率 为多少? 解 设选取零件的试验为先行试验 E 1 , 其样本空间记作
i= 1
%
n
P( B i ) P( A / B i ) .
很多&概率论∋教科书上, 都有定理 1 的证明, 这里不再赘述 . 稍作分析便不难发现, 定理 1 的证明是 没问题的, 但在具体应用该定理时却存在以下两个问题 : ( i) 该定理难以使用 , 即难以对号入座; ( ii) 该定 理易于误导初学者. 第一 , 该定理要求 B 1 , B 2 , ∀, B n 是试验 E 样本空间
( i) B i B j = ( ii) i = ∃1 B i =
[ 1]
则称 B 1 , B 2 , ∀, B n 为样本空间 本空间
定理 1 ( 全概率公式 , 下称传统全概率公式)
的一个完备事件组, 且 P( B i ) > 0( i= 1, 2, ∀, n) , 则对任一事件 A , 有 P( A ) =
[ 1] [ 2]
考
文
献]
茆诗松 , 程依明 , 濮晓龙 . 概率论与数理统计教程 [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 2004. 陈焕然 . 从全概率公式的教学看整体性原理 [ J] . 湖南商学院学报 : 2003, 10( 1) : 130- 131.
Deficiency of Formula of Total Probability and Its Modification
3 3
是难以成立
下面给出的是关于前面引言中提到的那个问题的经典解答方法 , 从解答过程中不难发现所述问题
,
( 1)
的一个完备事件组, 从而有 A = A = A i= ∃1B i = i ∃ ( A Bi ) . = 1 ( 2)
故由全概率公式 , 得 P( A ) = =
i= 1 1 C2 4 C2 3 C2 2 C1 3 C4 C2 3 C2 4 ( 2= 8 . 2+ 2 ( 2+ 2 2 ( 5 7 5 7 C C5 35 C7 C C C
1 1
,
2
的一个划分) , 因而定理的内容便于理解 . 这种描述 , 有利于把
握整个试验的基本结构与内在联系 , 有利于避免某些误解和误导等现象的发生 . 根据定理 2 及其证明过程 , 可归结出改进型全概率公式的解题步骤: ( i) 指出先行试验 E 1 样本空间 机事件 A ; ( ii) 计算概率 P ( A ) =
i= 1 1
的一个完备事件组 B 1 , B 2 , ∀, B n , 指出后继试验 E 2 中的一个随
%
n
P ( B i ) P( A / B i ) .
在运用改进型全概率公式解题时, 只要把先行试验 E 1 和后继试验 E 2 的逻辑关系以及它们的构成 要素描述清楚, 问题就能迎刃而解 , 从根本上降低了思考此类问题的难度. 例 2 ( 内容同例 1) 解 设从甲袋中取球的试验为先行试验 E 1 , 其样本空间记作
1
) 发生的条件下的概率, 即 P ( A ) = P( A /
1
),
) 是一种特殊的条件概率, 即全条件下的概率 , 亦即通常所说的全概率, 这就是全概
第2期 P( A /
李全忠, 等: 全概率公式的不足与改进 P( A 1 ) P ( A 1 ) ) = P( 1 ) = 1 = P( A = P[ A i ∃ B i ] = P[ i = ∃1( A B i ) ] = = 1 =
2 1
, 检测零件质量的试验为后继试验 E 2 ,
其样本空间记作
( 其逻辑关系是 , 先选取零件 , 再进行质量检测 ) . 令 B 1 = { 取得第一台机床生产的 1 B 1 ∃ B2 = , A ,
个零件} , B 2 = { 取得第二台机床生产的 1 个零件} ; A = { 任取一零件为合格品 } . 则
[ 收稿日期 ] 2008 06 03; [ 修改日期 ] 2009 02 03
的一个完备事件组 , 即
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学 ∃ Bi = i= 1
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这在一些实际问题当中是难以做到的, 也是没必要的, 这是该定理难用的一个重要原因; 第二 , 在该定理的证明过程中 A 作为 的子事件 , 有等式 A= A 成立是没问题的 , 但在实际问题中 , 这个 往往不是整个试验 E 的样本空间 , 因而 A = A 的, 这是易对初学者造成误导的一个重要原因 . 的存在. 例1 解 设甲袋中有 3 个白球 4 个红球, 乙袋中有 1 个白球 2 个红球, 现从甲袋中任取 2 球放入乙袋, 令 B 1 = { 从甲袋中任取 2 个白球放入乙袋} , B 2 = { 从甲袋中任取 1 个白球和 1 个红球放入乙 再从乙袋中任取 2 球 , 问从乙袋取出 2 个红球的概率? 袋} , B 3 = { 从甲袋中任取 2 个红球放入乙袋} ; A = { 从乙袋中任取 2 个球为红球} . 因为 B 1 , B 2 , B 3 两两互不相容, 且 B1 ∃ B2 ∃ B3 = 所以 B 1 , B 2 , B 3 为样本空间
2 1
, 从乙袋中取球的试验为后继试验
E 2 , 其样本空间记作 则 B1 ∃ B 2 ∃ B 3 =
. 令 B 1 = { 从甲袋中任取 2 个白球放入乙袋 } , B 2 = { 从甲袋中任取 1 个白球和 1 , 由改进型全概率公式, 得
个红球放入乙袋 } , B 3 = { 从甲袋中任取 2 个红球放入乙袋} ; A = { 从乙袋中任取 2 个球为红球} .
1
引
言
全概率公式是概率论中最基本和最重要的公式之一, 通过它可以大大降低思考问题的难度, 进而达 到 复杂的问题简单化!的目的 . 全概率公式所解决的问题可归结为 , 复合试验中随机事件的概率计算问题. 复合试验是指, 该试验 E 由相继进行的两个试验 E 1 , E 2 复合而成 , 其中 E 1 为先行试验, 为 E 2 提供试验的条件 ; E 2 是后继试 验, 是在 E 1 完成的基础上进行的试验 . 例如, 设甲袋中有 3 个白球 4 个红球, 乙袋中有 1 个白球 2 个红 球, 现从甲袋中任取 2 球放入乙袋 , 再从乙袋中任取 2 球, 问从乙袋取出 2 个红球的概率 . 在该例中 , 从 甲袋中任取 2 球放入乙袋! 即为先行试验 E 1 , 从乙袋中任取 2 球! 即为后继试验 E 2 , 整个试验 E 便可 看作是由 E 1 , E 2 复合而成的. 计算后继试验 E 2 中某事件的概率, 就是全概率公式的意义所在. 众所周知, 全概率公式是教学上与认识上的一个难点 , 分析与实践都表明 , 其难点归根结底主要表 现在其本身存在的不足上 .
%
3
P( B i ) P ( A / B i )
简要分析: 该题的计算结果是正确的, 但解题过程是有问题的. 第一, ( 1 ) 式中的 B 1 ∃ B 2 ∃ B 3 =1 Fra bibliotek 3,
似乎没问题, 其实不然. 这里的 B , B , B 不是对整个试验 E 样本空间的一个划分, 而是对先行试验 E 1 样本空间的一个划分 ; 第二, ( 2 ) 式中的 A = A , 只是 形式! 上正确 , 而逻辑上不通, 因为这个 A 并不是 上述那个 ( B 1 ∃ B 2 ∃ B 3 ) 的子事件. 显然 , 这两条都与定理 1 的条件不相符 . 定理的条件不相符 , 定理 还能使用吗? 这就是一些现行教科书和学习指导之类的参考资料解答此类问题时的一些通病 . 然而, 因最终计算 结果正确 , 又让人浑然不觉这其中被掩盖了的逻辑错误. 话又说回来 , 用传统的全概率公式解答此类问 题, 或者说依照传统全概率公式证明过程来解答此类问题时 , 好像也只能这样 凑合! , 这就充分反映出 传统全概率公式内在的不足了 .
第 27 卷第 2 期 2011 年 4 月
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V ol. 27,
.2
COL LEGE M AT H EM AT ICS
Apr . 2011
全概率公式的不足与改进
李全忠, 刘长文, 王希超
( 山东农业大学 信息学院 , 泰安 271000) [摘 要 ] 指出了全概率公式存在的不足 , 主要表现为不便于应用与易于误导等问题 , 进而给出了改进型
n n
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1
)
i= 1
%
n
P( A B i )
i= 1
%
n
P( B i ) P( A / B i ) ,
从而得 P( A ) =
i= 1
%
n
P( B i ) P( A / B i ) . 的隶属关系, 强调了 B 1 , B 2 , ∀, B n 角
改进型全概率公式的特点十分明显 : 第一 , 该定理完全是按照其解决实际问题的逻辑过程描述的, 因而便于应用 ; 第二 , 定理明确了试验 E 1 , E 2 各自样本空间 色的意义 ( 是对先行试验 E 1 样本空间
2
全概率公式及其存在的问题
定义 1
n
设随机试验 E 的样本空间为 , B 1 , B 2 , ∀, B n 为一组事件, 如果 , , 的一个划分, 或称 B 1 , B 2 , ∀, B n 为完备事件组. 设 为随机试验 E 的样本空间, B 1 , B 2 , ∀, B n 为样 i # j , i , j = 1, 2, ∀, n;
1
,A
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P( A ) =
%
3
P( B i ) P( A / B i )
i= 1
= P( B 1 ) P( A / B 1 ) + P( B 2 ) P( A / B 2 ) + P( B 3 ) P ( A / B 3 )
1 C2 4 C2 3 C2 2 C1 3 C4 C2 3 C2 4 8 ( + ( + ( = . = 2 C7 C2 5 C2 7 C2 5 C2 7 C2 5 35
3
改进型全概率公式及其证明
定理 2( 改进型全概率公式)
1 2
设试验 E 为 E 1 , E 2 的复合试验, 其中, 先行试验 E 1 的样本空间为
, B 1 , B 2 , ∀, B n 为
1
的一个完备事件组, 且 P ( B i ) > 0 ( i = 1, 2, ∀, n) , 后继试验 E 2 的样本空间为
改进型全概率公式及其证明定理2改进型全概率公式设试验e2的复合试验其中先行试验e1的样本空间为后继试验e2的样本空间为那么对于e2的任一事件a证显然后继试验e2的任一事件a发生的前提是先行试验e1已经完成故e2的事件a发生的概率p是一种特殊的条件概率即全条件下的概率亦即通常所说的全概率这就是全概率的涵义
, 那么, 对于 E 2 的任一事件 A , 有 P( A ) = 证
i= 1
%
n
P( B i ) P( A / B i ) .
显然 , 后继试验 E 2 的任一事件 A 发生的前提是先行试验 E 1 已经完成 , 故 E 2 的事件 A 发生的
1
概率 P ( A ) 就是 E 1 ( 即 注意这里的 P( A / 率的涵义 . 由条件概率得
全概率公式是概率论中最基本和最重要的公式之一, 也是教学上公认的难点之一, 因而成为不少教
师关注和讨论的焦点 . 其中有一些讨论
[ 2]
把精力集中在 A = A i ∃ B i 的 合理性! 解释上 , 试图回避传统全 = 1
n
概率公式存在的不足 , 其结果几乎都有牵强附会之嫌 , 最终使读者感到似是而非 , 不得要领. 实践表明, 改进型全概率公式从根本上避免了这些问题 , 使学生在学习、 理解、 掌握和运用时变得易如反掌. [参