云南省个旧市2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题
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云南省个旧市2013-2014学年高二上学期期末考试
数学(文)试题
满分150分,考试时间120分钟
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合2{|230}M x x x =--=,{|24}N x x =-<≤,则M
N =)( A .}31{≤≤-x x B .{|14}x x -<≤ C
.
{3,1}-
D .{1,3}- 【答案】D
【解析】2{|230}{1,3}M x x x =--==-,所以M
N ={1,3}-;故选D .
2.若0log 2<a ,1)2
1
(>b ,则)(
A .1>a ,0>b
B .1>a ,0<b
C .10<<a ,0>b
D .10<<a ,0<b
【答案】D 源
【解析】由100log 2<<⇒<a a ,由01)2
1
(<⇒>b b ,故选D .
3.设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根,
5S =)(
A .52
B .5
C .5
2
- D .5-
【答案】A .
【解析】2a 、4a 是方程220x x --=的两个根,2a +4a =1,5S =15()5522a a +⨯=.故选A .
4.设P 是ABC ∆所在平面内的一点,2=+,则)(
A .=+
B .=+
C .=+
D .=++ 【答案】B 【解析】∵2=+,∴2-=-+-,即=+.故选B .
5.已知函数11-=-x a y )10(≠>a a 且的图象过定点P ,角α的顶点在坐标原点,
始边与x 轴的正半轴重合,终边过点P ,则=αsin )(
A .22-
B .1
C .2
2
D .0
【答案】A .
【解析】由函数x a y =)10(≠>a a 且的图象过定点)1,0(得函数11-=-x a y )10(≠>a a 且图 象过定点)1,1(-P ,所以角α的终边过点)1,1(-P ,又2==OP r ,所以由三角函数的定 义得:2
2
sin -
=α;故选A . 6.已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,给出四个命题: ①若m =βα ,α⊂n ,m n ⊥,则βα⊥;②若α⊥m ,β⊥m ,则βα//; ③若α⊥m ,β⊥n ,m n ⊥,则βα⊥;④若α//m ,β//n ,n m //,则βα//. 其中正确的命题是)(
A .①②
B .②③
C .①④
D .②④
【答案】B .
【解析】由线面垂直、面面垂直和线面平行、面面平行的判定与性质知,①、④错;
故选B . 7.已知等比数列{}n a 的公比2=q ,其前4项和460S =,则2a 等于)(
A .8
B .6
C .8-
D .6-
【答案】A .
【解析】84602
1)
21(2,6021414=⇒=⇒=--⇒
==a a a q S .故选A . 8.右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象,此
函数的解析式可为)(
A .)3
2sin(2π
+
=x y
B .)3
22sin(2π+
=x y C .)32sin(2π-=x y D .)3
2sin(2π
-=x y
【答案】B .
【解析】由于最大值为2,所以2=A ;又22
)12(1252=⇒=⇒=--=ωππ
ππT T ∴2sin(2)y x ϕ=+,将12π-
=x 代入得1)6
sin(=-π
ϕ,
结合点的位置,知3
22
6
π
ϕπ
π
ϕ=
⇒=
-
,∴函数的解析式为可为)3
22sin(2π+
=x y . 故选B .
9. 若x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥-≤-≤+1131x y x y x y ,则目标函数y x z +=2的
最大值是)(
A .3-
B .2
3
C .2
D .3
【答案】C .
【解析】实数x ,y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥-≤-≤+1131x y x y x y ,则可行域如图,
作出x y 2-=,平移,当直线通过)0,1(A 时, y x z +=2的最大值是2.故选C . 10.与圆1C :0124622=++-+y x y x ,2C :01421422=+--+y x y x 都相切的直线有)(
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条 【答案】A .
【解析】已知圆化为标准方程形式:1C :1)2()3(22=++-y x ;2C :
36)1()7(22=-+-y x ;
两圆心距5)]2(1[)37(2221=--+-=C C 等于两圆半径差,故两圆内切;它们只有一条公切线.故选A .
11.阅读下面程序框图,则输出的数据=S )(
A .30
B .31
C .62
D .63 【答案】B .
【解析】1=S ,→<=51i 21+=S ,→<=52i ,2221++=S ,→<=53i ,
322221+++=S ,→<=54i ,43222221++++=S ,5=i ,此时,3112222215432=-=++++=S ;故选B .
12.若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点,则k 的取值范围是
)(
A .2±=k
B .),2[]2,(+∞--∞∈ k
C .)2,2(-∈k
D .2-=k 或]1,1(-∈k 【答案】D .
【解析】已知曲线21y x -=为y 轴右侧的半个单位圆,由数形结合可知,直线k x y +=过)0,1(点时,直线与曲线有两个公共点,即1-=k 时,直线与曲线有两个公共点;将直线作向下平移至直线与半圆相切时,直线与曲线恰有一个公共点;向上平移至直线过点)1,0(时,都只有一个公共点;所以,k 的取值范围是2-=k 或]1,1(-∈k 故选D
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分).
13.某市有A 、B 、C 三所学校共有高二学生1500人,且A 、B 、C 三所学校的高二学生人
数成等差数列,在进行全市联考后,准备用分层抽样的方法从所有高二学生
中抽取容量为120的样本进行成绩分析,则应从B 校学生中抽取________人.
【答案】40
【解析】分层抽样所抽取样本的数量与总体数量成比例,既然A 、B 、C 三所学校的高二学生人数成等差数列,那么分别所抽取的样本的容量也成等差数列,由等差中项易得应从B 校学生中抽取40人.
14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=)
1(96)1(2
)(2x x x x x f x
,则不等式)1()(f x f >的解集
是 。
【答案】}21{><x x x 或
【解析】∵4)1(=f ,若1>x ,则242>⇒>x x ; 若1≤x ,则1514962<⇒><⇒>+-x x x x x 或 ∴ 不等式)1()(f x f >的解集是}21{><x x x 或
15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若222a b bc -=,sin 3sin C B =,则A = 【答案】
3
π
【解析】由正弦定理:b c B C 3sin 3sin =⇒= ,代入bc b a 222=-得:
b a b b b a 73222=⇒⨯=-,由余弦定理
2132792cos 222222=⨯-+=-+=b b b b b bc a c b A ,∵),0(π∈A , ∴3
π
=A
16.给出下列命题: ①若0ab >,a b >,则
11
a b
< ; ②若已知直线m x =与函数x x f sin )(=,)2
sin()(x x g -=π
的图像分别交于点
M ,N ,则MN 的最大值为2;
③ 若数列n n a n λ+=2)(*∈N λ为单调递增数列,则λ取值范围是2-<λ; ④若直线l 的斜率1<k ,则直线l 的倾斜角4
2
π
απ
<
<-;
其中真命题的序号是:_________.
【答案】①②
【解析】对于①,因为0ab >,a b > 对于②,2)4
sin(2cos sin )2
sin(sin ≤-
=-=--=π
π
x x x x x MN ,故②
正确;
对于③,1210n n a a n λ+-=++>恒成立max (21)3n λ⇒>-+=-,故③不正确; 对于④,由倾斜角),0[πα∈,故④不成立,故正确的有①②.
三.解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明.证明过程或
演算步骤). 17.(本题10分)已知向量),(b c a m +=,),(a b c a n --=,且0=⋅n m ,其中A 、
B 、
C 是ABC ∆的内角,c b a ,,分别是角A ,B ,C 的对边. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求B A sin sin +的最大值.
【解析】(Ⅰ)由0=⋅得ab c b a a b b c a c a =-+⇒=-+-+2220)())(( (2分)
由余弦定理2
1
22cos 222==-+=
ab ab ab c b a C 又π<<C 0,则3
π
=
C
(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得3
π
=C ,则32π
=
+B A
(6
分)
)6s i n (3c o s 23s i n 23)3
2s i n (s i n s i n s i n
ππ
+=+=-+=+A A A A A B A
(8分)
320π<<A ∴6566πππ<+<A ∴1)6sin(21≤+<πA ∴
3)6
sin(323≤+<π
A
即B A sin sin +最大值3
(10分)
18.(本题12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其
数学成绩(均为整数)分成六组)100,90[,)110,100[,…,]150,140[后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题.
(Ⅰ)求分数在)130,120[内的频率; (Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段为
)130,110[的学生中抽取一个容量为6
的样本,将该样本看成一个总体,从 中任取2人,求至多有1人在分数 段)130,120[的概率.
【解析】(Ⅰ)分数在)130,120[内的频率为:
3
.010)005.0025.0015.0015.0010.0(1=⨯++++-
(5分)
(Ⅱ)由题意,)120,110[分数段内的人数为915.060=⨯人;
)
130,120[分数段内的人数为183.060=⨯人,
(7分)
用分层抽样的方法在分数段)130,110[的学生中抽取一个容量为6的样本,需在)120,110[ 分数段内抽取2人,并记为n m ,;在)130,120[分数段内抽取4人,并记为d c b a ,,,;(9分)
设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段)130,120[内”为事件A ,则基本
事件共有:
),(n m ,),(a m ,),(b m ,),(c m ,),(d m ,),(a n ,),(b n ,),(c n ,),(d n ,),(b a ,
),(c a ,),(d a ,),(c b ,
),(d b ,),(d c 共15个;其中至多有1人在分数段)130,120[内的基本事件数有:),(n m ,),(a m ,),(b m ,),(c m ,),(d m ,),(a n ,),(b n ,
),(c n ,),(d n 共9个;
∴
3
9 (12分)
19.(本题12分)如图,直棱柱111C B A ABC -中,D ,E
分别是AB ,1BB 的中点,22
2
1====AB CB AC AA . (Ⅰ)证明:DE DC ⊥; (Ⅱ)求三棱锥DE A C 1-的体积.
【解析】(Ⅰ)证明:由CB AC =,D 是AB 的中点,知AB CD ⊥, (2分)
又1AA CD ⊥,故11ABB A CD 平面⊥, ∵1
1ABB A DE 平面⊂,故DE CD ⊥
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)11ABB A CD 平面⊥, ∴CD S V DE A DE A C ⨯=
∆-1
131
(8分)
22
31222121212221222111111=
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=---=∆∆∆∆E
B A EBD AD A ABB A DE A S S S S S 矩形
(10分)
又
2=CD ,所以
13
1
11=⨯=∆-CD S V DE A DE A C
(12分)
20.(本题12分)已知}{n a 是正数组成的数列,11=a ,且点),(1+n n a a )
(*∈N n 在函数12+=x y 的图象上. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)若数列}{n b 满足11=b ,n a n n b b 21+=+,求证:212++<⋅n n n b b b ;
【解析】(Ⅰ)将点),(1+n n a a 代入12+=x y ,
得11+=+n n a a ,即11=-+n n a a (2
分)
又∵11=a ,所以数列}{n a 是以1为首项,公差为1的等差数列. 故n n a n =⨯-+=1)1(1. (5
分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:n a n =,又n a n n b b 21+=+,从而n n n b b 21=-+,
∴11223211)()()()(b b b b b b b b b b n n n n n +-+-++-+-=---
122221++++=-- n n
122
121-=--=n n
. (8分)
因为212
212)12()12
)(12(----=-⋅++++n n n n n n b b b )1222()1222(122222+⋅--+--=++++n n n n n
022425<-=⋅+⋅-=n n n ,
所以212++<⋅n n n b b b . (12
分)
21.(本题12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总
成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为
8000485
2
+-=x x y ,已知此生产线年产量最大为210吨.
(Ⅰ)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【解析】(Ⅰ)每吨平均成本为
x
y
(万元), (2分)
则
32488000524880005=-⋅≥-+=x
x x x x y (4分) 当且仅当
x
x 8000
5=
,即200=x 时取等号 (5分) ∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元 (6分) (Ⅱ)设年获利润为)(x R 万元 (7分)
则80004854040)(2
-+-=-=x x x y x x R (8分) 1680)220(5
1
800088522+--=-+-=x x x )2100(≤≤x ∵)(x R 在]210,0[上是增函数. (10分)
∴当210=x 时,)(x R 有最大值16601680)220210(5
1
)210(2=--=R
∴年产量为210吨时,可以获得最大利润1660万元. (12分)
22.(本题12分)已知定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数.
(Ⅰ)求a ,b 的值;
(Ⅱ)若对任意的R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的取值范围.
(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知121
212
212)(1++-=++-=+x x x x f
由上式易知)(x f 在R 上为减函数。
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又因为)(x f 为奇函数,从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f , 等价于)2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-
(8分)。