2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理

培优点四 恒成立问题
1．参变分离法
例1：已知函数()ln a
f x x x
=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是
_________． 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a
x x x x a x a x x x x
-
<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()
3max
ln a x x x >-．
令()3
ln g x x x x =-，()'
2
1ln 3g x x x =+-，()'
12g =-，()2
''
11660x g x x x x
-=-=<，
()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，
()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．
2．数形结合法
例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围
是___________．
【答案】π,14a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
的图像，
a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一
步可得只需
π
4
x =
时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444a a >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
3．最值分析法
例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________． 【答案】e 1a ≥-
【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，
∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -=
-=，令()'00a x
g x x a x
->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）
当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=
(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的）
，所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）
当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取） 若1e a <<，单调性如表所示
()()10
e 1e 0
g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．
（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．
（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意， 综上所述：e 1a ≥-．
一、选择题
1．已知函数()()2
ln 1,03,0
x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是
（ ） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-
C ．[]0,3
D ．[)3,+∞
【答案】B 【解析】
若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，
由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =， 由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件． 即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．
对点增分集训
2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,11- B ．()3,11
C ．[]3,11
D ．[]2,7
【答案】C
【解析】由题意可得：()()()2'344232f x x x x x =--+=-+-，
令()'0f x =可得：12x =-，223x =
，且：()33f -=-，()28f -=-，240327
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()333f =-， 据此可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值为33-， 结合恒成立的条件可得：21433m m -≤-，
求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是[]3,11．本题选择C 选项．
3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(],2-∞-
B ．()2,-+∞
C ．12,8⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
D ．1,8⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】()21212ax f x ax x x ='+=+，2210ax +>在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，所以2max 12a x ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭，
由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2112,28x ⎛⎫⎛
⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以18a ≥-，故选D ．
4．已知对任意21,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦不等式2e x
a x >恒成立（其中e 2.71828=L ，是自然对数的底数），
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,e
C ．(),2e -∞-
D ．24,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】由2e x a
x >得
2ln x x a >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x a x >
在21,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立．
令()2ln x f x x =
，21,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()()2
21ln 'x f x x -=， ∴当1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()'0f x >，()f x 单调递增，当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()'0f x <，()f x 单调递减． ∴()()max 2e e f x f ==，∴()12e e f a >=，∴e
02
a <<．
故实数a 的取值范围是e 0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
．故选A ．
5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．[)e,+∞
D ．()e,+∞
【答案】D
【解析】若()m f x >恒成立，则()max m f x >，()()'22e e 2e x x x f x x x x x =+=+，
所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增．()1
1e
f -=，()1e f =，所以e m >．
故选D ．
6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]5,3-- B ．96,8⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
C ．[]6,2--
D ．[]4,3--
【答案】C
【解析】[)2,0x ∈-时，恒成立不等式等价于2343
x x a x --≤，23
min
43x x a x ⎛⎫--∴≤ ⎪⎝⎭， 设()23
43x x f x x --=，()
()()()()3222'
644243439189x x x x x x x x x f x x x x -----+-++∴===-， [)2,0x ∈-Q ，()f x ∴在[]2,1--单调递减，在()1,0-单调递增，()()min 12f x f ∴=-=-，
当0x =时，可知无论a 为何值，不等式均成立，
当(]0,1x ∈时，恒成立不等式等价于2343
x x a x --≥，23
max
43x x a x ⎛⎫--∴≥ ⎪⎝⎭，
同理设()23
43x x f x x --=，()
()()'
491x x f x x -+∴=-，()f x ∴在()0,1单调递增， ()()max 16f x f ∴==-，6a ∴≥-，综上所述：[]6,2a ∈--．故选C ．
7．函数()2e 1x
f x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．()1,-+∞
C ．()1,+∞
D ．1e,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则在(]00,2x ∈内()min f x m <即可，
()2e 1x
f x x =-+，()()()()()
2
22222e 1e 2e 1011x x x x x x f x x x +--=-=-<++⋅'， 故()f x 在(]0,2上单调递减()()2min 1 2e 5f x f ==-，21
e 5
m ∴>-，故选A ．
8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）
A ．1,1e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．1,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C ．()1,-+∞
D ．1,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】()f x 的定义域是()0,+∞，()11ax
f x a x x
'+=
+=
， 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f a =≥， 故存在()00,x ∈+∞，使()00f x >；
当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-，令()0f x '<，解得1
x a
>-，
()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，
()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫
∴=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1e a >-．
综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．故选D ．
9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),e -∞
B ．(],e -∞-
C ．[)e,+∞
D ．()e,-+∞
【答案】D
【解析】Q 当0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，∴若0x =，a 为任意实数，()e 0x f x ax =+>恒成立，
若0x >时，()e 0x f x ax =+>恒成立，
即当0x >时，e x a x
>-恒成立，设()e x g x x =-，则()()221e
e e x
x x x x g x x x --=-=
'， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -．
则要使0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e,-+∞，故选D ．
10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),4-∞-
B ．()4,0-
C ．[)4,0-
D ．()4,-+∞
【答案】B
【解析】由()220x g x =-<，得1x <，故对1x ≥时，()0g x <不成立， 从而对任意1x ≥，()0f x <恒成立，
因为()()30a x a x a ⋅-⋅++<，对任意1x ≥恒成立，
如图所示，则必有0
1
31a a a <<-<⎧⎪
⎨⎪⎩
-，计算得出40a -<<．故选B ．
11．已知函数()e x
f x ax x
=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞
C ．e ,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．e ,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】D 【解析】不等式
()()122
1
0f x f x x x -<，即
()()
112212
0x f x x f x x x -<，
结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2e x g x xf x ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，
故()'e 20x
g x ax =-≥恒成立，即e 2x
a x ≤恒成立，
令()()e 02x
h x x x
=>，则()()2e 1'2x x h x x -=，
当01x <<时，()'0h x <，()h x 单调递减；当1x >时，()'0h x >，()h x 单调递增；
则()h x 的最小值为()1e e 1212h ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为e ,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦．本题选择D 选
项．
12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（ ）
A ．23,e 4⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】设()()e 31x g x x =-，()h x ax a =-，则()()e 3+2x g x x '=，
∴当2,3x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减；
当2,3x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增，
∴当23x =-时，()g x 取得最小值2
323e 3g -⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
．
如下图所示．
又()()112e 0g h -=>，故()()11g h >； ()()0010g h a -=-+<，故()()00g h <．
故当00x =时，满足()0g 在直线()h x ax a =-的下方．
∵直线()h x ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，∴要使得有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，
只需()()1114e 20g h a ----=-+>，∴2
e
a >
， 又1a <，∴实数a 的取值范围2,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭．故选C ．
二、填空题
13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)1,-+∞ 【解析】法一：如图，
因为()()f x g x ≥恒成立，则()y f x =的图像在()y g x =的上方（可以有公共点）， 所以1a -≤即1a ≥-，填[)1,-+∞．
法2：由题设有1x a x +≥-． 当1x ≤时，a ∈R ；
当1x >时，有1x a x +≥-恒成立或1x a x +≤-+恒成立， 故1a ≥-或a φ∈即1a ≥-，填[)1,-+∞．
14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】](,1 -∞
【解析】对任意正数x 都有()0f x ≥，即不等式1ln a x x ⎛
⎫≤+ ⎪⎝⎭对于()0,x ∈+∞恒成立．
设()1ln g x x x =+
，则()22111
'x g x x x x
-=-=． 故()g x 在()0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，
所以()g x 的最小值是()11g =，所以a 的取值范围是](,1 -∞．
15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】(],1-∞-
【解析】根据函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()1'20f x ax x =--≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 即2120ax x x --≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立，所以2120ax x --≥恒成立， 即2
212111a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以1a ≤-， 故实数a 的取值范围是(],1-∞-．
16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝
⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．
【答案】153,,282⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 【解析】①当01m <<时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭外层单调递减， 内层二次函数： 当112m <，即112
m <<时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， ()()min 32log 402m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝
⎭，解得1528m <<； 当112m
=，即12m =时，()1f 无意义； 当1122m <
<，即1142m ≤<时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减， 则需()10f <，()20f <，无解；
当122m ≥，即104
m <≤时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增， ()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝
⎭，无解． ②当1m >时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭外层单调递增， 1122
m <，二次函数单调递增，函数单调递增， 所以()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝
⎭，解得：32m >． 综上所述：
1528m <<或32
m >．
三、解答题
17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，
（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；
（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）01a ≤≤．
【解析】（1）()()()2ln 1f x x a x x =++-，定义域为()1,-+∞， ()()()()2211112121111
a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++， 设()221g x ax ax a =++-，
当0a =时，()1g x =，()101
f x x '=>+，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点． 当0a >时，()228198Δa a a a a =--=-， 若809a <≤
时0Δ≤，()0g x ≥，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点． 若89
a >时0Δ>，设()0g x =的两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而()110g -=>，则12114
x x -<<-<， 所以当()11,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；
当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；
当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增．
因此此时函数()f x 有两个极值点；
当0a <时0Δ>，但()110g -=>，11x <-，
所以当()21,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；
当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．
所以函数只有一个极值点．
综上可知，当0a <时()f x 有一个极值点；当809a ≤≤
时()f x 的无极值点；当89
a >时，()f x 的有两个极值点． （2）由（1）可知当809
a ≤≤时()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =， 则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意； 当
819
a <≤时，()00g ≥，20x ≤，()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =，
则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；
当1a >时，()00g <，20x >，所以函数()f x 在()20,x 单调递减，而()00f =， 则当()20,x x ∈时，()0f x <，不符合题意；
当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，当()0,x ∈+∞时()11011x h x x x '=-=>++， ()h x 在()0,+∞单调递增，因此当()0,x ∈+∞时()()00h x h >=，()ln 1x x +<， 于是()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a
>-
时()210ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意．
综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．
18．设函数()2e mx f x x mx =+-， （1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；
（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）[]1,1m ∈-．
【解析】()'e 2mx f x m x m =+-，注意到()'00f =，于是再求导得，()2e 2mx f x m ''=+，由于()0f x ''>，于是()f x '为单调递增函数，
(),0x ∴∈-∞时，()'0f x <，()0,x ∈+∞时，()'0f x >，
()f x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增．
（2）若不等式()()12e 1f x f x -≤-恒成立，
则()()12max e 1f x f x -≤-，()f x Q 在[]1,1-连续，
()f x ∴在[]1,1-有最大最小值，
()()()()12max min max f x f x f x f x ∴-=-，
由（1）可知()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增，
()()min 01f x f ∴==，()()(){}{}max 1,1e 1,e 1m m f x f f m m -=-=+-++，
()()()()10e 1e e 110e 1e e 1m m f f m f f m -⎧-≤-⎧-≤-⎪⎪∴⇒⎨⎨--≤-+≤-⎪⎪⎩⎩
， 设()e e 1x h x x =--+，
()'e 1x h x =-，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增
()10h =，()112e 0e
h -=+-<，故当[]1,1x ∈-时，()0h x ≤， 当[]1,1m ∈-时，()0h m ≤，()0h m -≤，则上式e e 1e e 1m m m m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩
成立． 当1m >时，由()h x 的单调性，()0h m >，即e e 1m m ->-，
当1m <-时，()0h m ->，即e e 1m m -+>-，
综上，m 的取值范围为[]1,1-．。