福建莆田第六中学2025届高三考前演练卷(三)数学试题

福建莆田第六中学2025届高三考前演练卷（三）数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2
a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( ) A
B
C
D
2．若双曲线22214x y b -=
的离心率e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A
．B ．2 C
D ．1
3．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫-
⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=
是函数()f x 图象的一条对称轴； ②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
4．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩
，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A
B R =，则实数a 的值可以为（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．2- 6．双曲线
的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．
7．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ）
A ．m n mn m n ->>+
B ．m n m n mn ->+>
C ．m n mn m n +>>-
D ．m n m n mn +>->
8．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )
A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >
B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <
9．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 10．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）
A ．23+
B ．15+
C ．25
D ．6
11．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π
∠=∠=，且二面
角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）
A ．223π
B ．283π
C ．2π
D ．23
π 12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．113
B ．4
C ．133
D ．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．
14．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则点B 到平面ACD 的距离为_______，点O 到直线AD 的距离的最大值为_______.
15．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
16．在()()25
11ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为-64，则实数a 的值为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，
从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.
()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；
()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.
18．（12分）在本题中，我们把具体如下性质的函数()f x 叫做区间D 上的闭函数：①()f x 的定义域和值域都是D ；②()f x 在D 上是增函数或者减函数.
（1）若()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是闭函数，求常数ω的值；
（2）找出所有形如3()log f x a x b x =+的函数（,a b 都是常数），使其在区间[1,9]上是闭函数.
19．（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大
量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过
40（分钟）
，则称这个工人为优秀员工．
（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．
20．（12分）如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4
B ∠=.
（1）求AC 的长；
（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值.
21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形且AD ∥22BC AB BC AB BC AD ⊥===，，，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD .
（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；
（2）若(01)CQ CP λλ=，且直线BQ 与平面PDC 所成角为
3
π，求λ的值. 22．（10分）已知0a >，函数()()2
ln 12x x f x x a x =+--. （Ⅰ）若()f x 在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，求a 的值； （Ⅱ）若()Z,0a f x ∈>恒成立，求a 的最大值.（参考数据：12 1.6e ≈）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解题分析】
分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果. 详解：根据题意有213122a a a +=⋅，即210q q --=
，因为数列各项都是正数，所以12
q +=
，而34451a a a a q +===+ C. 点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是
1q
，代入即可得结果. 2、C
【解题分析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.
【题目详解】 双曲线22214x y b -=
的离心率e = 则2a =
，2c e a ==
，解得c =
()
，
所以b ===
则双曲线渐近线方程为2y x =±
20y ±=，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d
==，
故选：C.
【题目点拨】
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 3、C
【解题分析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为
()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭ 由222T ππωπ
=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-
⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，
所以()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
由此可得①错误，②正确，③当351212x π
π-≤≤时，0266
x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确
所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题． 4、A
【解题分析】
由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω
=
求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【题目详解】
根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，
所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T ππωπ
===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
， 由正弦函数和正切函数图象可知A 正确.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 5、D
【解题分析】
由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A
B R =，即可得出1a ≤-，从而求出结果．
【题目详解】 {|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥，且A B R =，1a ∴≤-，
∴a 的值可以为2-．
故选：D ．
【题目点拨】
考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．
6、A
【解题分析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：
因为渐近线方程为
，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程
求渐近线方程：
. 7、D
【解题分析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【题目详解】
解：因为ln 2m =，lg 2n =，则m n >，且(),0,1m n ∈，
所以m n mn +>，m n m n +>-， 又2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e
-=-=-=>=, 即
1m n mn
->,则m n mn ->， 即m n m n mn +>->， 故选：D.
【题目点拨】
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
8、C
【解题分析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.
【题目详解】
13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()12116123
C P X C ===，所以()121832333
E X =⨯+⨯=. 23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11422268315
C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()242266415
C P X C ===，所以()2816103241515153
E X =⨯
+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
9、A
【解题分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．
【题目详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩
得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，
易知过点A 时直线在y 上截距最小，
所以3114min z =⨯+=．
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 10、B
【解题分析】
设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-22(2)(1)a b =++-，利用复数几何意义计算.
【题目详解】
设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上， 而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-22(2)(1)a b ++-22(2)(1)a b ++-(,)a b 到(2,1)-的距离，故222(2)11z i +-≤-+=15+.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.
11、B
【解题分析】
分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【题目详解】
如下图所示，
分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，
由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，
2CBD π
∠=，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C
--的平面角为23
AMN π∠=， 2AB AD ==，则222BD AB AD =+=，且2BC =，所以，112AM BD ==，112
MN BC ==， ABD ∆是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ， 分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，
由图形可知，2326
OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt OMN ∆中，3cos MN OMN OM =∠=，2333OM ∴==， 所以，22213OA OM AM =+=
，
所以，球O 的半径为213R =，因此，球O 的表面积为2
221284433R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.
【题目点拨】 本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．
12、B
【解题分析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可.
【题目详解】
如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积
11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体
12121242222422222423232
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选:B.
【题目点拨】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、310
【解题分析】
由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.
【题目详解】
满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有12
26C C 种情况；②有
两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有2126C C 种情况，又从中任意摸取3个小球，有3
10C 种情况，所以
取出的3个小球中数字最大的为4的概率12212626310310C C C C P C +==. 故答案为：310
【题目点拨】
本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
14
2 【解题分析】
三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，所以B 在平面ACD 的投影为ACD ∆的重心，利用解直角三角形，即可求出点B 到平面ACD 的距离；OB OC ⊥，可得点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到直线AD 的距离为以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，
最大距离为分别过BC 和AD 的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.
【题目详解】
ACD ∆边长为4
，则中线长为42
⨯， 点B 到平面ACD
= 点O 是以BC 为直径的球面上的点，
所以O 到直线AD 的距离为以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，
最大距离为分别过BC 和AD 的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，
以下求过BC 和AD 的两个平行平面间距离，
分别取,BC AD 中点,E F ，连,,BF CF EF ，
则,BF CF EF BC =∴⊥，同理EF AD ⊥，
分别过,E F 做//,//EM AD FN BC ，
直线,BC EM 确定平面α，直线,AD FN 确定平面β，
则,,EF FN FN AD F EF β⊥=∴⊥，同理EF α⊥，
//,EF αβ∴
为所求，16CF ==
12422
EF
∴=-=，
所以O到直线AD最大距离为222
+.
故答案为:4
6
3
；222
+.
【题目点拨】
本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.
15、.
【解题分析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【题目详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.
【题目点拨】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
16、3或-1
【解题分析】
设()()25
2345670123456711ax x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++，分别令1x =、1x =-，两式相减即可得()()251357221a a a a a +++=--，即可得解.
【题目详解】
设()()252345670123456711ax x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++，
令1x =，则012345670a a a a a a a a +++++++=①，
令1x =-，则()250123456721a a a a a a a a a -+-+-+-=-②，
则①-②得()()251357221a a a a a +++=--，
则()2521642a --=-⨯，解得3a =或1a =-.
故答案为：3或-1.
【题目点拨】
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解题分析】
()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ
==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，进而确定sin θ的取值范围；
()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-
++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ
--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值.
【题目详解】 解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ
==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，
则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+，
又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-
++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()
2cos 2cos 1sin f θθθθ
--'=
故3θ=时，()min 33
f θ=+ 所以当3π
θ=时，栈道总长度最短.
【题目点拨】
本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.
18、（1）4
π±；（2）3()3log f x x =+. 【解题分析】
（1）依据新定义，()f x 的定义域和值域都是[1,1]-，且()f x 在[1,1]-上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨
论()f x 的单调性，列出方程求解即可。

【题目详解】
（1）当0>ω时，由复合函数单调性知，()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是增函数，即有[],,22tan()1tan 1ππωωωω⎧⎛⎫-⊆- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩
，解得=4
πω ； 同理，当0ω<时，有[],,22tan()1tan 1ππωωωω⎧⎛⎫-⊆- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得=4πω-，综上，=4πω±。

（2）若()f x 在[1,9]上是闭函数，则()f x 在[1,9]上是单调函数，
①当()f x 在[1,9]上是单调增函数，则(1)1
(9)239
f b f a b ==⎧⎨=+=⎩ ，解得31a b =⎧⎨=⎩，检验符合； ②当()f x 在[1,9]上是单调减函数，则(1)9(9)231f b f a b ==⎧⎨=+=⎩，解得139a b =-⎧⎨=⎩
，
3()13log f x x =-+[1,9]上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间[1,9]
上是闭函数只有3()3log f x x =+。

【题目点拨】
本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。

19、（1）43，47；（2）分布列见解析，()43E x =
. 【解题分析】
（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数；
（2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为
13，故14,3x B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
～，写出分布列即可得解. 【题目详解】
（1）中位数为43，众数为47．
（2）被调查的4名工人中优秀员工的数量0,1,2,3,4x =，
任取一名优秀员工的概率为
13，故14,3x B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～， ()4411133k k
k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =，
x 的分布列如下：
故()13222438414813
E x ⨯+⨯+⨯+⨯== 【题目点拨】
此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.
20、 (1) AC =
(2) 9sin sin 22CAB ACB ∠⋅∠= 【解题分析】
（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得.
【题目详解】
解：（1）由题可知21cos cos212sin 8D B B ∠=∠=-∠=-. 在ACD ∆中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-⋅∠=，
所以AC =（2）1sin 62ABC S AB BC B ∆=
⋅=，则16AB BC ⋅=.
又sin sin sin 3
BC AB AC CAB ACB B ===∠∠∠， 所以29sin sin 16
22CAB ACB ∠⋅∠=⨯=. 【题目点拨】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.
21、（1）4
π；（2.
【解题分析】
（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，易得OP OE OB ，，两两垂直，以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，易得(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，只需求出平面PDC 的法向量为n ，再利用||cos |cos |||||
n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>=计算即可； （2）求出BQ ，利用|cos ,|sin 3n BQ π<>=
计算即可.
【题目详解】 （1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，连结PO EO ，.
因为AD ∥BC ，所以OE ∥BC .
因为AB BC ⊥，所以AB OE ⊥.
因为侧面PAB 为等边三角形，
所以AB OP ⊥
又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，
平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ，
所以OP ⊥平面ABCD ，
所以OP OE OB ，，两两垂直.
以O 为空间坐标系的原点，分别以OE OB
OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 2 2AB BC AD ===，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),
(1,1,0),O A B C D P --，
()1,2,0DC =，(2,1,PC =.
设平面PDC 的法向量为(, , )n x y z
=，则00
n DC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x
y x y +=⎧⎪⎨+=⎪
⎩. 取1y =，则2,x z =-=(2,1,n =-.
又(1,0,0)AD =为平面PAB
的法向量，设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为θ，则
||cos |cos |||||(n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>===- 所以平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为4
π.
（2）由（1）得，平面PDC 的法向量为(2,1,3),(2,1,3)n PC =--=-，
所以成(22,3)(01)BQ BC CP λλλλλ=+=-+-.
又直线BQ 与平面PDC 所成角为3
π， 所以|cos ,|sin 3n BQ π<>=，即||32
||||n BQ n BQ ⋅=， 2222223(2)1(3)(22)()(3)λλλ=-++-⨯-++-+ 化简得26610λλ-+=，所以33λ±=
. 【题目点拨】 本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
22、（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）3.
【解题分析】
（Ⅰ）先求导，得()ln 1f x x x a '=++-，已知导函数单调递增，又()f x 在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，故ln 10222a a a f ⎛⎫'=-+≥ ⎪⎝⎭
，令()ln 122a a g a =-+，求得()22a g a a -'=，讨论得()()20g a g ≤=，而()0g a ≥，故()0g a =，进而得解；
（Ⅱ）可通过必要性探路，当2x =时，由()22ln 220f a =+->知2ln224a <+<，又由于Z a ∈，则max 3a =，当
()()2
3ln 312x a f x x x x ==+--，，()ln 2f x x x '=+-，结合零点存在定理可判断必存在()01,1.6x ∈使得()00f x '=，
得00ln 2x x =-，()()()200000min
ln 312x f x f x x x x ==+--，化简得()200min 32
x f x x =--，再由二次函数性质即可求证； 【题目详解】 （Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,ln 1f x x x a '+∞=++-，.
易知()f x '单调递增，由题意有ln 10222a a a f ⎛⎫'=-+≥ ⎪⎝⎭
. 令()ln 122a a g a =-+，则()22a g a a
-'=. 令()0g a '=得2a =.
所以当02a <<时，()()0g a g a '>，单调递增；当2a >时，()()0g a g a '<，单调递减. 所以()()20g a g ≤=，而又有()0g a ≥，因此()0g a =，所以2a =.
（Ⅱ）由()22ln 220f a =+->知2ln224a <+<，又由于Z a ∈，则max 3a =. 下面证明3a =符合条件.
若()()2
3ln 312
x a f x x x x ==+--，.所以()ln 2f x x x '=+-. 易知()f x '单调递增，而()110f '=-<，()1.60.5 1.620.10f '≈+-=>，
因此必存在()01,1.6x ∈使得()00f x '=，即00ln 2x x =-.
且当()00,x x ∈时，()()0f x f x '<，单调递减；
当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；
则()()()200000min ln 312
x f x f x x x x ==+-- ()()222
000000 1.623133 1.60.120222
x x x x x x =-+--=-->--=>. 综上，a 的最大值为3.
【题目点拨】
本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题。