第九章：非劣解的解法
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k =1 n
(x1,L, xp ) ∈ X
加权法
• 权为负值情况的解释 （1）两个负权：变成极小化问题 （2）一个为负：无差异直线的斜率为正 • 约束为线性的情况 可能产生许多最优解
加权法
• 一般步骤 加权法常用于逼近非劣解，但不是一种准 确找出所有非劣解的有效方法 （1）令w1=(1,0,…,0),…wn=(0,0,…,1)找出 非劣集的端点 （2）设定权重的步长，从0到上限
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• K-T条件 条件
µi gi (x ) = 0, i =1,L, m
* m * * i=1
∇f (x ) − ∑µi∇gi (x ) = 0 x ∈X
*
其 µi ≥ 0 中
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• 它是最优解x*的一个必要条件，但不一 定充分。 • 如果f(x)是凹函数，可行空间X是凸域， 则K-T条件也是充分条件
加权法
• 如果有一个或多个wk=0，则纯量优化问 题找到的最优解有可能不是唯一的，在 这些最优解中，有的解可能是原来的向 量优化问题的劣解（见后面例题）
加权法
• 加权法的解释 例：一所高校（见陈廷《决策分析》P158） y1是招生人数，y2是研究生和本科生的比 例，两个目标在学校的人力、物力受限制 的条件下，相互矛盾。学校的意图是选择 一方案是两个目标同时达到极大。
y2E Biblioteka Dy1加权法• 所有目标加权
m y = ω1 y1 +ω2 y2 ax y∈ y ∈Y
上式可化为
ω2 m y = y1 + ax y2 ω1
y ∈Y
加权法
• 一般情况下的加权问题
m f (x) ={ f1(x),L, fn (x)} ax x∈ X
m f (x1,L, xp ,ω1,L n ) = ∑ωk fk (x1,L, xp ) ax ω
y2 C
y1
加权法
• 把轨线作为无差异曲线，在可行域内移 动
y1 +ωy2 = a
• 上图中C点即为决策人的最佳调和解 • W称为置换率 • 两个属性之间标定一个符合决策人愿望 的置换w，等价于决策人的偏好用一个斜 率为-1/w的无差异曲线去表示
加权法
• 一般情况下，置换率将随属性的值而变， 不是一根直线 • 看一下w变化时的一些情况
∑λ ∇f (x ) − ∑µ ∇g (x ) = 0
* * i=1 * i i i=1 i i
x ∈X 其 µi ≥ 0, λi ≥ 0 中
加权法
加权法
• 加权法 加权法：通过对目标函数的加权，直接 利用K-T条件推出非劣解
m ∑ωk fk (x) ax
k =1
n
g1(x) ≤ 0 M gm (x) ≤ 0
m y = {y1, y2} ax y ∈Y
加权法
期中Y是由约束条件所规定的目标空间的 可行域。 • 如果认为研究生和本科生的比例每增加 1%，等价于招生人数增加w个，则原问 题可化为
m y = y1 +ωy2 ax y ∈Y
加权法
• 可用非线性规划和线性规划的一般方法 求解上面的纯量优化问题，这个解将是 宣布w的人的最佳调和解
第九章 产生非劣解的方法
主要内容
• • • K-T条件 加权法 约束法
K-T条件
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• 非线性规划
m f (x) ax g1(x) ≤ 0 M gm (x) ≤ 0
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• 假设条件 （1）设x*满足约束条件，如果梯度向量对 于x*在下标集上（起作用约束）是线性 独立的，则称x*是正则点（对x*起作用的 约束条件的梯度是线性独立的）
约束法
• 一般情况
m f (x) ={ f1(x),L, fn (x)} ax x∈ X
m fh (x) ax x∈ X fk (x) ≥ ek , k =1,2,L, n, k ≠ h
约束法
• K-T条件 条件 大家证明（5分钟）
向量优化问题的K-T条件 条件 向量优化问题的
• 向量优化问题存在非劣解的必要条件
m { f1(x), f2 (x),L, fn (x)} ax g1(x) ≤ 0 M gm (x) ≤ 0
向量优化问题的K-T条件 条件 向量优化问题的
µi gi (x ) = 0, i =1,L, m
* n m
加权法
• K-T条件 条件
µi gi (x ) = 0, i =1,L, m
*
∇∑ωk fk (x ) − ∑µi∇gi (x ) = 0
* * k =1 i=1
n
m
x ∈X
*
其中 i ≥ 0 µ
加权法
• 可知
ωk∇fk (x*) − ∑µi∇gi (x*) = 0 ∑
k =1 i=1 n m
• 加权的纯量优化问题的最优解和原来的 向量优化问题的非劣解有相同的K-T必要 条件 • 可以证明 可以证明：只有当权wk都严格为正时， 才能保证加权的纯量问题的最优解是原 来的向量优化问题的非劣解
加权法
B
y2
A y1
加权法
• 几个权为 的解释 几个权为0的解释
y2
y1
约束法
约束法
• 可以由非劣解的K-T条件直接导出 • 在前面的加权法的例子中，假设研究生 和本科生的比例不得小于某个百分比e， 问题是，当这个比例不小于某一个百分 比时，学校能招生多少学生？
约束法
y2 A
y1
约束法
• 改变e的值，再找到y1的一个新的极大点， 它对应一个新的非劣解，由此可找到一 集非劣解
(x1,L, xp ) ∈ X
加权法
• 权为负值情况的解释 （1）两个负权：变成极小化问题 （2）一个为负：无差异直线的斜率为正 • 约束为线性的情况 可能产生许多最优解
加权法
• 一般步骤 加权法常用于逼近非劣解，但不是一种准 确找出所有非劣解的有效方法 （1）令w1=(1,0,…,0),…wn=(0,0,…,1)找出 非劣集的端点 （2）设定权重的步长，从0到上限
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• K-T条件 条件
µi gi (x ) = 0, i =1,L, m
* m * * i=1
∇f (x ) − ∑µi∇gi (x ) = 0 x ∈X
*
其 µi ≥ 0 中
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• 它是最优解x*的一个必要条件，但不一 定充分。 • 如果f(x)是凹函数，可行空间X是凸域， 则K-T条件也是充分条件
加权法
• 如果有一个或多个wk=0，则纯量优化问 题找到的最优解有可能不是唯一的，在 这些最优解中，有的解可能是原来的向 量优化问题的劣解（见后面例题）
加权法
• 加权法的解释 例：一所高校（见陈廷《决策分析》P158） y1是招生人数，y2是研究生和本科生的比 例，两个目标在学校的人力、物力受限制 的条件下，相互矛盾。学校的意图是选择 一方案是两个目标同时达到极大。
y2E Biblioteka Dy1加权法• 所有目标加权
m y = ω1 y1 +ω2 y2 ax y∈ y ∈Y
上式可化为
ω2 m y = y1 + ax y2 ω1
y ∈Y
加权法
• 一般情况下的加权问题
m f (x) ={ f1(x),L, fn (x)} ax x∈ X
m f (x1,L, xp ,ω1,L n ) = ∑ωk fk (x1,L, xp ) ax ω
y2 C
y1
加权法
• 把轨线作为无差异曲线，在可行域内移 动
y1 +ωy2 = a
• 上图中C点即为决策人的最佳调和解 • W称为置换率 • 两个属性之间标定一个符合决策人愿望 的置换w，等价于决策人的偏好用一个斜 率为-1/w的无差异曲线去表示
加权法
• 一般情况下，置换率将随属性的值而变， 不是一根直线 • 看一下w变化时的一些情况
∑λ ∇f (x ) − ∑µ ∇g (x ) = 0
* * i=1 * i i i=1 i i
x ∈X 其 µi ≥ 0, λi ≥ 0 中
加权法
加权法
• 加权法 加权法：通过对目标函数的加权，直接 利用K-T条件推出非劣解
m ∑ωk fk (x) ax
k =1
n
g1(x) ≤ 0 M gm (x) ≤ 0
m y = {y1, y2} ax y ∈Y
加权法
期中Y是由约束条件所规定的目标空间的 可行域。 • 如果认为研究生和本科生的比例每增加 1%，等价于招生人数增加w个，则原问 题可化为
m y = y1 +ωy2 ax y ∈Y
加权法
• 可用非线性规划和线性规划的一般方法 求解上面的纯量优化问题，这个解将是 宣布w的人的最佳调和解
第九章 产生非劣解的方法
主要内容
• • • K-T条件 加权法 约束法
K-T条件
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• 非线性规划
m f (x) ax g1(x) ≤ 0 M gm (x) ≤ 0
纯量优化问题的K-T条件 条件 纯量优化问题的
• 假设条件 （1）设x*满足约束条件，如果梯度向量对 于x*在下标集上（起作用约束）是线性 独立的，则称x*是正则点（对x*起作用的 约束条件的梯度是线性独立的）
约束法
• 一般情况
m f (x) ={ f1(x),L, fn (x)} ax x∈ X
m fh (x) ax x∈ X fk (x) ≥ ek , k =1,2,L, n, k ≠ h
约束法
• K-T条件 条件 大家证明（5分钟）
向量优化问题的K-T条件 条件 向量优化问题的
• 向量优化问题存在非劣解的必要条件
m { f1(x), f2 (x),L, fn (x)} ax g1(x) ≤ 0 M gm (x) ≤ 0
向量优化问题的K-T条件 条件 向量优化问题的
µi gi (x ) = 0, i =1,L, m
* n m
加权法
• K-T条件 条件
µi gi (x ) = 0, i =1,L, m
*
∇∑ωk fk (x ) − ∑µi∇gi (x ) = 0
* * k =1 i=1
n
m
x ∈X
*
其中 i ≥ 0 µ
加权法
• 可知
ωk∇fk (x*) − ∑µi∇gi (x*) = 0 ∑
k =1 i=1 n m
• 加权的纯量优化问题的最优解和原来的 向量优化问题的非劣解有相同的K-T必要 条件 • 可以证明 可以证明：只有当权wk都严格为正时， 才能保证加权的纯量问题的最优解是原 来的向量优化问题的非劣解
加权法
B
y2
A y1
加权法
• 几个权为 的解释 几个权为0的解释
y2
y1
约束法
约束法
• 可以由非劣解的K-T条件直接导出 • 在前面的加权法的例子中，假设研究生 和本科生的比例不得小于某个百分比e， 问题是，当这个比例不小于某一个百分 比时，学校能招生多少学生？
约束法
y2 A
y1
约束法
• 改变e的值，再找到y1的一个新的极大点， 它对应一个新的非劣解，由此可找到一 集非劣解