2019届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
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2019届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学(理)试
题
一、单选题
1.设集合{}1,2,3A =,{}
2
20B x x x m =-+=,若{3}A B ⋂=,则B =( )
A .{}1,3-
B .{}2,3-
C .{}1,2,3--
D .{}3
【答案】A
【解析】依题意可知3是集合B 的元素,即23230m -⨯+=,解得3m =-,由
2230x x --=,解得1,3x =-.
2.复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A .1i + B .1i -
C .i
D .i -
【答案】C
【解析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可. 【详解】
由()11z z i -=+得:()()()
2
11111i i z i i i i ++=
==-+- 本题正确选项:C 【点睛】
本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.
3.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【解析】根据题意,确定函数()y f x =的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.
由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数,所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称,可知B ,D 符合;由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数,选项D 的图像的最小正周期是4,不符合,选项B 的图像的最小正周期是2,符合,故选B .
4.已知1cos ,,32πααπ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
,则()sin πα+= ( )
A .
3
B .3
-
C .3
±
D .
13
【答案】B
【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可. 【详解】
1cos 3α=-Q ,,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
sin 3
α∴===
()sin sin 3
παα∴+=-=-
本题正确选项:B 【点睛】
本题考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.
5.设0.2
0.321,log 3,22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
,则( ) A .b c a >> B .a b c >> C .b a c >> D .a c b >>
【答案】C
【解析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】
由题意可得:()0.210,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
,2log 31b =>,()0.3
0.3120,12c -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭, 指数函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减,故0.2
0.3
1122⎛⎫⎛⎫
> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,
综上可得:b a c >>. 故选:C. 【点睛】
对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.
6.在ABC ∆中,M 是BC 的中点,1AM =,点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u v u u u u v
,则
()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v
等于( )
A .
49
B .49
-
C .
43
D .43
-
【答案】B
【解析】由M 是BC 的中点,知AM 是BC 边上的中线,又由点P 在AM 上且满足
2AP PM =u u u r u u u u r
可得:P 是三角形ABC 的重心,根据重心的性质,即可求解.
【详解】
解:∵M 是BC 的中点,知AM 是BC 边上的中线,
又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r
∴P 是三角形ABC 的重心
∴()
PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
2||PA AP PA u u u r u u u r u u u r =⋅=-
又∵AM =1
∴2||3PA =u u u r
∴()
49
PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r
故选B . 【点睛】
判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:
0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 或222
AP BP CP ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值③坐标法:P 点坐标是三个顶点坐
标的平均数.
7.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根
据一组样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),用最小二乘法建立的回归方程为ˆy
=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 A .y 与x 具有正的线性相关关系 B .回归直线过样本点的中心(x ,y )
C .若该大学某女生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kg
D .若该大学某女生身高为170cm ,则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D
【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71,则 =0.85>0,y 与 x 具有正的线性相关关系,A 正确; 回归直线过样本点的中心(,x y ),B 正确;
该大学某女生身高增加 1cm ,预测其体重约增加 0.85kg ,C 正确;
该大学某女生身高为 170cm ,预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ,D 错误. 故选D .
8.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如:0
2213+=)
为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A .
2
15
B .
15
C .
415
D .
13
【答案】B
【解析】基本事件总数15n =,能表示为两个不同费马素数的和只有835=+,
20317=+,22517=+,共有3个,根据古典概型求出概率.
【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数,基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+,20317=+,22517=+,共有3个
则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155
P == 本题正确选项:B 【点睛】
本题考查概率的求法,考查列举法解决古典概型问题,是基础题.
9.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛
⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数
()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )
A .向左平移
8
π
个单位长度 B .向右平移
8
π
个单位长度 C .向左平移4
π
个单位长度 D .向右平移
4
π
个单位长度 【答案】A
【解析】【详解】
由()f x 的最小正周期是π,得2ω=, 即()sin(2)4
f x x π
=+
cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
cos 24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
cos 2()8
x π
=-, 因此它的图象向左平移
8
π
个单位可得到()cos2g x x =的图象.故选A . 【考点】函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质. 【名师点睛】
三角函数图象变换方法:
10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A .23
B .43
C .
23
D .
43
【答案】A
【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:
其中,底面为直角三角形,2AD =,3AE =2AB =.
∴该几何体的体积为1
232232
V =⨯= 故选A.
11.抛物线2
4y x =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点,若点(1,0)A -,则
PF PA
的最小值为( )
A .
12
B .
22
C .
3 D .
22
3
【答案】B
【解析】通过抛物线的定义,转化PF PN =,要使||
||
PF PA 有最小值,只需APN ∠最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值. 【详解】
解:由题意可知,抛物线2
4y x =的准线方程为1x =-,(1,0)A -,
过P 作PN 垂直直线1x =-于N ,
由抛物线的定义可知PF PN =,连结PA ,当PA 是抛物线的切线时,||
||
PF PA 有最小值,
则APN ∠最大,即PAF ∠最大,就是直线PA 的斜率最大,
设在PA 的方程为:(1)y k x =+,所以2(1)
4y k x y x =+⎧⎨=⎩
,
解得:22
22(24)0k
x k x k -++=,
所以2
2
4
()2440k k ∆=--=,解得1k =±, 所以45NPA ∠=︒,
||2
cos ||2
PF NPA PA =∠=
. 故选:B .
【点睛】
本题考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系,转化思想的应用,属于基础题. 12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为23,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正
切值为( ) A .
34
B .
7 C .
377
D .
7 【答案】C
【解析】设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ,得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论. 【详解】
设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =I
PA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥
ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥
又PA AB A =I
CD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角
ABC ∆Q 是边长为23
3CD AE ∴==,2
23
AF AE =
=且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA 221OF OA AF ∴=-=
PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+=37
tan 77
CD CPD PD ∴∠=
==
本题正确选项:C 【点睛】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题,关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角,再利用球心位置来求解出线段长,属于中档题.
二、填空题
13.已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线为2y x =,则焦点到这条渐近线的距离
为_____. 【答案】2.
【解析】由双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线为2y x =,解得b .求出双曲线的
右焦点(),0c ,利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】
Q 双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线为2y x = 21b ∴=
解得:2b = c ∴==
∴双曲线的右焦点为
)
∴
2=
本题正确结果:2 【点睛】
本题考查了双曲线和的标准方程及其性质,涉及到点到直线距离公式的考查,属于基础题.
14.函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____. 【答案】1.
【解析】求函数的导数,根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可. 【详解】
Q 函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-垂直,
∴函数x y axe =的图象在0x =的切线斜率1k =
()x x f x ae axe '=+Q ()01f a '∴==
本题正确结果:1 【点睛】
本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义,根据条件建立方程关系是解决本题
的关键.
15.ABC ∆内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 2c B a b =+,则
C ∠=__________.
【答案】120︒
【解析】∵2cos 2c B a b =+,∴222
222a c b c a b ac +-⨯=+,即222a b c ab +-=-,
∴2221
cos 22
a b c C ab +-==-,∴120C =︒.
16.已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,1对称,()()3
11g x x =-+,若函数
()f x 图象与函数()g x 图象的交点为112220192019,,,,()()(),,x y x y x y ⋯,则
()20191
i
j
i x y =+=∑_____.
【答案】4038.
【解析】由函数图象的对称性得:函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称,则120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==,
120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==,即()2019
1
4038i j i x y =+=∑,得解.
【详解】
由()()3
11g x x =-+知:()()22g x g x +-=
得函数()y g x =的图象关于点()1,1对称 又函数()f x 的图象关于点()1,1对称
则函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称 则120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==
120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==
故12201820192019x x x x ++⋅⋅⋅++=,12201820192019y y y y ++⋅⋅⋅++=
即
()2019
1
4038i
j
i x y =+=∑
本题正确结果:4038
【点睛】
本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题,关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心,属中档题.
三、解答题
17.已知等比数列{}n a ,其公比1q >,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是10. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若n n b na =,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使1
2140n n T n +-⋅+=成立的正整数n 的
值.
【答案】(Ⅰ) 2n
n a =.(Ⅱ) 3n =.
【解析】(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可
得所求通项公式;(Ⅱ)2n
n n b na n ==⋅,由数列的错位相减法求和可得n T ,解方程可得
所求值. 【详解】
(Ⅰ)等比数列{}n a ,其公比1>q ,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是10
即有21112a q a q +=,3
241120a a a q a q =+=+
解得:12a q == 2n
n a ∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知:2n
n n b na n ==⋅ 则231222322n
n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
相减可得:()231121222222212
n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-
化简可得:()1
212
n n T n +=+-⋅
12140n n T n +-⋅+=,即为11620n +-=
解得:3n = 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.
18.每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X . 【答案】(Ⅰ)
199
204
. (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)18人中很幸福的有12人,可以先计算其逆事件,即3人都认为不很幸福的概率,再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根据题意,随机变量
23,3X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
:,列出分布列,根据公式求出期望即可.
【详解】
(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的},则A 表示3人都认为不很幸福
()()363185199
111204204
C P A P A C ∴=-=-=-=
(Ⅱ)根据题意,随机变量23,3X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
:,X 的可能的取值为0,1,2,3
()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭;()2
1
32121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭; ()2
23
2142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭;()3
33283327
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ 所以随机变量X 的分布列为:
X
1
2
3
P
127
29
49
827
所以X 的期望()124801232279927
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列,数学期望的求解,概率分布中的二项分布问题,属于常规题型.
19.已知ABC ∆是等腰直角三角形,,22
ACB AC π
∠=
=.,D E 分别为,AC AB 的中
点,沿DE 将ADE ∆折起,得到如图所示的四棱锥1A BCDE -.
(Ⅰ)求证:平面1A DC ⊥平面1A BC .
(Ⅱ)当三棱锥1C A BE -的体积取最大值时,求平面1A CD 与平面1A BE 所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析. (Ⅱ)
63
. 【解析】(I)证明DE ⊥平面1A CD 得出BC ⊥平面1A CD ,根据面面垂直的判定定理得到结论;(II)当1A D ⊥平面BCDE 时,棱锥体积最大,建立空间坐标系,计算两平面的法向量,计算法向量的夹角得出答案. 【详解】
(I)证明:2
ACB π
∠=
Q AC BC ∴⊥
,D E Q 分别为,AC AB 的中点 //DE BC ∴ DE AC ∴⊥
DE CD ∴⊥,1DE A D ⊥,又1A D CD D =I
DE ∴⊥平面1A CD
BC ∴⊥平面1A CD ,又BC ⊂平面1A BC
∴平面1A DC ⊥平面1A BC
(II)11C A BE A BCE V V --=Q ,BCE S V 为定值
∴当1A D ⊥平面BCDE 时,三棱锥1C A BE -的体积取最大值
以D 为原点,以1,,DC DE DA 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -
则()()()11,2,0,0,1,0,0,0,1B E A
()1,1,0BE ∴=--u u u v ,()10,1,1EA =-u u u v
设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =v
,则100
m BE m EA u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00
x y y z --=⎧⎨-+=⎩,令1x =可得()1,1,1n =--v
DE ⊥Q 平面1A CD ()0,1,0n ∴=v
是平面1A CD 的一个法向量 3cos ,31
m n m n m n ⋅∴<===⨯>r r r r r
r ∴平面1A CD 与平面1A BE 2
36133⎛⎫
--= ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定,二面角的计算,关键是能够根据体积的最值确定垂直关系,从而可以建立起空间直角坐标系,利用空间向量法求得二面角,属于中档题.
20.已知定点()30A -,
,()3,0B ,直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为1
9
-
,记动点M 的轨迹为曲线C 。
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点,是否存在定点()0,0S x ,使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值,若存在,求出S 坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1) ()2
2139
x y x +=≠± ;(2) 存在定点()3,0S ±,见解析
【解析】(1)设动点(,)M x y ,则,(3)33MA MB y y k k x x x ==≠±+-,利用1
9
MA MB k k =-,求出曲线C 的方程.
(2)由已知直线l 过点(1,0)T ,设l 的方程为1x my =+,则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨
+=⎩
, 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=,设1(P x ,1)y ,2(x Q ,2)y 利用韦达定理求解直线的斜率,然后求解指向性方程,推出结果. 【详解】
解:(1)设动点(),M x y ,则()33
MA y
k x x =
≠-+, ()33
MB y
k x x =
≠-, 19MA MB k k ⋅=-Q ,即1
339y y x x ⋅=-+-,
化简得:2
219
x y +=。
由已知3x ≠±,故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。
(2)由已知直线l 过点()1,0T ,设l 的方程为1x my =+,
则联立方程组22
1,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得()22
9280m y my ++-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则1221222,9
8.
9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-,
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-,
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。
当03x =时,m R ∀∈,()
2
0829
91SP SQ k k x -⋅=
=--;
当03x =-时,m R ∀∈,()
2
08118
91SP SQ k k x -⋅=
=-
-。
所以存在定点()3,0S ±,使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力,属于中档题.
21.已知函数()ln x
f x x
=
. (Ⅰ)求函数()f x 的极值;
(Ⅱ)若0m n >>,且n m m n =,求证:2mn e >. 【答案】(Ⅰ)极大值为:
1
e
,无极小值;(Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可求出函数()f x 的极值;(Ⅱ)得到()()f m f n =,根据函数的单调性问题转化为证明
2e m e n
>>,即证()2
2ln ln n n n n e -<,令()()222
ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<,根据函数的单调性证明即可. 【详解】 (Ⅰ)()ln x
f x x Q =
()f x ∴的定义域为()0,∞+且()2
1ln x f x x -'= 令()0f x '>,得0x e <<;令()0f x '<,得x e >
()f x ∴在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减
∴函数()f x 的极大值为()ln 1
e f e e e
=
=,无极小值 (Ⅱ)0m n >>Q ,n m m n = ln ln n m m n ∴=
l ln n m m n
n
∴
=,即()()f m f n = 由(Ⅰ)知()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减 且()10f =,则1n e m <<<
要证2mn e >,即证2
e
m e n >>,即证()2e f m f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即证()2e f n f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭
即证
()22ln ln n n n n e
-< 由于1n e <<,即0ln 1n <<,即证222ln 2ln e n n n n <- 令()()2
2
2
ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<
则
()()()()()
2
242ln 2ln 12ln 1e x e x e e G x x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫'=-++=-+-=+- ⎪⎝⎭
1x e <<Q ()0G x '∴>恒成立 ()G x ∴在()1,e 递增 ()()0G x G e ∴<=在()1,x e ∈恒成立
2mn e ∴>
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查不等式的证明,考查运算求解能力及化归与转化思想,关键是能够构造出合适的函数,将问题转化为函数最值的求解问题,属于难题.
22.在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已
知直线l
的参数方程为12
2x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=;
(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 交点分别为A ,B ,点()1,0P ,求
11
||||
PA PB +的值. 【答案】(Ⅰ):10l x y +-=,曲线2
2
:40C x y x +-= (Ⅱ
【解析】试题分析:(1)消去参数t 可得直线l 的直角坐标系方程,由
222 cos x y x ρρθ+==,可得曲线C 的直角坐标方程;
(2
)将12
2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)代入曲线C
的方程得:230t +-=,
121212
1111
t t PA PB t t t t -+=+=,利用韦达定理求解即可. 试题解析:
(1):10l x y +-=,曲线22
:40C x y x +-=,
(2
)将12
2x t y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)代入曲线C
的方程得:230t +-=.
所以12123t t t t +==-.
所以1212121111t t PA PB t t t t -+=+===
23.设函数2()||||()f x x a x a a a =++--∈R . (1)当1a =时,求不等式()5f x ≤的解集;
(2)若存在[1,0]a ∈-,使得不等式()f x b ≥对一切x ∈R 恒成立,求实数b 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) {|23}x x -≤≤.(Ⅱ)(]
,0-∞.
【解析】(Ⅰ)1a =时,根据绝对值不等式的定义去掉绝对值,求不等式()5f x ≤的解集即可;(Ⅱ)不等式()f x b ≥的解集为R ,等价于()min f x b ≥,求出()f x 在
[]1,0a ∈-的最小值即可.
【详解】
(Ⅰ)当1a =时,()21,1
123,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++-=-<<⎨⎪-≥⎩
1x ≤-时,不等式()5f x ≤化为215x -+≤,解得2x ≥-,即21x -≤≤ 12x -<<时,不等式()5f x ≤化为35≤,不等式恒成立,即12x -<< 2x ≥时,不等式()5f x ≤化为215x -≤,解得3x ≤,即23x ≤≤
综上所述,不等式()5f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤ (Ⅱ)不等式()f x b ≥的解集为R ()min f x b ∴≥
()()()
2222f x x a x a a x a x a a a a =++--≥+---=+Q ()2min 2f x a a b ∴=+≥对任意[]1,0a ∈-恒成立
()2
2211a a a +=+-Q
∴当0a =时,22a a +取得最小值为0 ∴实数b 的取值范围是(],0-∞
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题,也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题,属于常规题型.。