七星关区九中九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段第2课时比例的性质及黄金分割教案新版沪科版4

第2课时比例的性质及黄金分割
【知识与技能】
1.理解比例的基本性质.
2.能根据比例的基本性质求比值.
3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
【过程与方法】
经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.
【教学重点】
比例的基本性质.
【教学难点】
比例的基本性质及运用.
一、情景导入，初步认知
1.举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形.
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等.
3.如何求两个数的比值？
【教学说明】说明学习本章节内容的重要意义.
二、思考探究，获取新知
1.阅读与思考题
(1)什么是两个数的比？2与-3的比；-4与6 的比.如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
(2)什么叫做两条线段的比？
（3）比与比例有什么区别？
【归纳结论】用同一长度单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作a/b或a∶b.
/b=2.0/1.5=4/3.
在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比等于另外两条线段c、d的
比，即a/b=c/d（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比例线段.简称比例线段．其中a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项.
如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a、b、c之间有a∶b=b∶c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.
2.思考：
（1）如果四条线段a、b、c、d成比例，即a/b=c/d，那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a、b、c、d成比例吗？
（2）如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d吗？
（3）如果a1/b1=a2/b2=…=a n/b n，且b1+b2+…+b n≠0,那么(a1+a2+…a n)/(b1+b2+…+b n)=a1/b1吗？
你能证明上面的三个问题吗？
【归纳结论】比例的性质：
（1）基本性质：如果a/b=c/d，那么ad＝bc.（b、d≠0）
（2）合比性质：如果a/b=d/c，那么(a+b)/b=(c+d)/c.（b、d≠0）
（3）等比性质：a1/b1=a2/b2=…=a n/b n，且b1+b2+…+b n≠0,那么(a1+a2+…a n)/(b1+b2+…+b n)=a1/b1
【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.
3.如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP=AP∶PB，求线段AP 的长和AP∶AB的值.
【教学说明】引导学生用方程的思想求解.
【归纳结论】把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中
项，这样的线段分割叫做黄金分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值51
2
叫做
黄金数.
三、运用新知，深化理解
1.教材P67例1、例
2.
2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
答案：B
3.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（）
答案：D
4. 若2x－5y=0，求y∶x与(x+y) ∶x的值.
解：∵2x-5y=0,∴2x=5y,∴y∶x=2∶5.设x=5k,y=2k,∴(x+y) ∶x=(5k+2k) ∶2k=72.
5.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.
（1）a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;
（2）a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.
解：（1）a/b=2，d/c=2，则a/b=d/c，所以a、b、d、c成比例.
（2）由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.
6.已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，求线段d的长.
解：因为a、b、c、d是成比例线段，所以有a/b=c/d，即3/2=6/d，解得：d=4,所以线段d的长为4 cm.
7.已知k=(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b，求k的值．
【分析】解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.
解：当a+b+c=0时，a+b=-c，所以k=-c/c=-1；当a+b+c≠0时，可以用等比性质
k=
()
2a b c
a b c
++
++
=2；∴k=-1或k=2.
【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这
一点.
8.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c;（2）求4a－3b+c的值.
解：（1）设a=4k,b=3k,c=2k.
∵a+3b－3c=14,
∴4k+9k－6k=14,
∴7k=14,∴k=2,
∴a=8,b=6,c=4.
（2）4a-3b+c=32-18+4=18.
9.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5 cm，则AB两地间的实际距离为多少米？
解：设两地之间的实际距离为x，
则：1/2000=5/x,x=5×2000=10000 cm=100 m.
解：设她应选择高跟鞋的高度是x cm，
则102
168
x
x
+
+
=0.618,解得：x≈4.8cm.
答：她应选择约4.8cm高的高跟鞋看起来更美。

故答案为4.8.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题22.1”中第1 、3题.
在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现了数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.
这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外，学生对黄金分割点的证明理解还不到位.
检测内容：28.2
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(广州中考)如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是
∠BAC ，若tan ∠BAC ＝25 ，则此斜坡的水平距离AC 为(A ) A ．75 m B ．50 m C ．30 m D ．12 m
第1题图 第2题图 第3题图
2．(黔西南州中考)如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A ′B ′的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA ′＝α，则栏杆A 端升高的高度为(B )
A ．4sin α 米
B ．4sin α米
C ．4cos α 米
D ．44cos α
米 3．(金华中考)如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为(B )
A ．tan αtan β
B ．sin βsin α
C ．sin αsin β
D ．cos βcos α
4．如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，则B 点到河岸AD 的距离为(B )
A ．100米
B ．503 米
C ．20033
米 D ．50米
第4题图 第6题图
5．(济宁中考)一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上．则海岛B 到灯塔C 的距离是(C )
A ．15海里
B ．20海里
C ．30海里
D ．60海里
6．(重庆中考)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i ＝1∶2.4的山坡AB 上发现有一棵古树C D.测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°(古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直)，则古树CD 的高度约为(参考数据：sin 48°≈0.73，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11)(C )
A ．17.0米
B ．21.9米
C ．23.3米
D ．33.3米
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(东营中考)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度，如图，在A 处测得塔顶的仰角为α，在B 处测得塔顶的仰角为β，又测量出A ，B 两点的距离为s 米，则
塔高为__tan α·tan βtan β－tan α ·s __米．
第7题图 第8题图
8．(自贡中考)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB .BC 长6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 长为__62 __米(结果保留根号).
9．(易错题)(荆州中考)如图，灯塔A 在测绘船的正北方向，灯塔B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B 的正南方向，此时测得灯塔A 在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A ，B 间的距离为___22__海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5°≈0.45，cos 26.5°≈0.90，tan 26.5°≈0.50，5 ≈2.24)
第9题图
第10题图 10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AC 边上一点，∠ABD ＝45°，tan ∠A ＝
34 ，若BC ＝21，则DC 的长为__3__． 三、解答题(共50分)
11．(12分)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .
(1)已知a ＝6，b ＝23 ，解这个直角三角形；
(2)已知sin A ＝
22
，c ＝6，解这个直角三角形． 解：(1)∵tan A ＝a b ＝623 ＝3 ，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝30°，c ＝2b ＝43 (2)∵sin A ＝22 ，∴∠A ＝45°，∴∠B ＝45°，∴a ＝b ＝c ·sin A ＝6×22
＝32 12．(12分)(安徽中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图②，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 长为6米，∠OAB ＝41.3°，若点C 为运行轨道的最高点(C ，O 的连线垂直于AB )，求点C 到弦AB 所在直线的距离．(参考数据：sin 41.3°≈0.66，cos 41.3°≈0.75，tan 41.3°≈0.88)
解：连接CO 并延长，与AB 交于点D ，∵CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12 AB ＝3(米)，在Rt △AOD 中，∠OAB ＝41.3°，∴cos 41.3°＝AD OA ，即OA ＝3cos 41.3° ≈30.75
＝4(米)，tan 41.3°＝OD AD
，即OD ＝AD ·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64(米)，则CD ＝CO ＋OD ＝4＋2.64＝
6.64(米)
13．(12分)(黄冈中考)如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE ＝30°，楼高AB ＝60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A ，C ，E 在同一直线上．
(1)求坡底C 点到大楼距离AC 的值；
(2)求斜坡CD 的长度．
解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠BCA ＝60°，AB ＝60米，则AC ＝AB tan60° ＝60
3 ＝203 (米).答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是203 米 (2)设CD ＝2x ，则DE ＝x ，CE ＝3 x ，在Rt △BDF 中，∵∠BDF ＝45°，∴BF ＝DF ，∴60－x ＝203 ＋3 x ，∴x ＝403 －60.∴CD 的长为(803 －120)米
14．(14分)(株洲中考)如图为某区域部分交通线路图，其中直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 与直线l 1，l 2，l 3都垂直，垂足分别为点A 、点B 和点C (高速路右侧边缘)，l 2上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝3 千米，l 3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且cos α＝1313
，MN ＝213 千米，点A 和点N 是城际线L 上的两个相邻的站点． (1)求l 2和l 3之间的距离；
(2)若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要多少小时？(结果用分数表示)
解：(1)如图，过点M 作MD ⊥NC 于点D ，∵cos α＝DM MN
，∴DM ＝MN ·cos α＝213
×
13
13
＝2(千米).答：l2和l3之间的距离为2千米
(2)∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝3千米，∴tan 30°＝
BM
AB
＝
3
AB
＝
3
3
，解得AB＝3千米，则AC＝3＋2＝5(千米).∵MN＝213千米，DM＝2千米，∴DN
＝（213）2－22＝43(千米)，则NC＝DN＋BM＝53(千米)，∴AN＝AC2＋CN2＝（53）2＋52＝10(千米).∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际
火车从站点A到站点N需要10
150＝
1
15
小时
一元二次方程
我说课的题目北师版九年级（上）第二章《一元二次方程》. 下面我就从以下几个方面对一元二次方程进行说课⑴说教材⑵说目标⑶说教学方法、学法⑷说教学程序⑸说评价
一、说教材教材分析
本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式.一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。

本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。

二、说目标
⑴教学目标
1.知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式.
2.能力目标：经历抽象一元二次方程的过程, 使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型; 经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力.
3.情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神.
⑵教学重点
建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

⑶教学难点
由实际问题抽象出方程模型的能力
三、说教学方法和学生的学法
⑴教法分析
本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法.
⑵学法指导
本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，最后抽象出有价值。

让时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。

⑶教学手段
采用电脑多媒体辅助教学，利用实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息
四、说教学程序
⑴知识回顾导入新课⑵自主探索归纳新知⑶巩固练习深化知识⑷归纳小结反思提高⑸布置作业分层落实⑴知识回顾导入新课什么是一元一次方程?（请学生举例）
请同学们阅读教材的“问题1”和"问题2"，进一步明确列方程解实际问题的思路和方法. （培养学生的自学能力）
设计意图：方程模型的建立为下一环节的教学做好铺垫。

⑵自主探索归纳新知比较一：
与一元一次方程作纵向比较得一元二次方程的概念：
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

比较二：
方程之间作横向比较得
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中a叫做二次项系数、b是一次项系数；c常数项.
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的设计意图：由学生自己探索发现的知识，更容易使学生接受。

而且通过对比归纳的学习方法，让学生对知识树有更明确的理解。

想一想
（1）关于x的方程(1)2x2-7x+3=0（2）x2-6x+10=0(3)x2-50x=100(4)(x+3）x=9(5)x+y-3=0（6）-x2=0是一元二次方程吗？（2）关于x的方程（k-2）x2+(2k-1)x+(k-1)=0 是一元二次方程的条件是什么？（注意方程成立的条件！）⑶巩固练习深化知识
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项
5x2-1=4x 4x2=81 4x（x+2）=25 （x-2）(x-2)=（2x+3）（x+3）⑷归纳小结反思提高
小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？请谈一谈体会和收获. ⑸布置作业分层落实作业：
基本题：教材习题1、2、3；附板书设计：
五、说评价
课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响，为了达到最佳的教学效果，我在实际的教学过程中，一方面根据课堂实施状况和学生反馈的信息而作出一种即时性评价，并顺势从教学内部进行调节；另一方面根据课堂练习的反馈，了解学生掌握知识的程度，灵活安排教学细节，从而达到教学的预期效果.。