碰撞

碰撞问题
一、碰撞与爆炸
1、碰撞与爆炸具有共同特点：即相互作用的力为变力，作用的时间极短，作用力很大，且远大于系统受的外力，故均可以用动量守恒定律来解决。

2、爆炸过程中，因有其它形式的能转化为动能，系统的动能会增加。

二、碰撞的特点
（1）按碰撞前后系统的动能损失分类，碰撞可分为弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞．
（2）弹性碰撞前后系统动能相等．其基本方程为 ① m 1v 1+m 2v 2=m 1 v 1'+m 2 v 2' ②
222211222211'2
1'212121v m v m v m v m +=+ ． （3）A 、B 两物体发生弹性碰撞，设碰前A 初速度为v 0，B 静止，则基本方程为 ① m A v 0=m A v A +m B v B ， ②
2
2202
12121B
B A A A v m v m v m += 可解出碰后速度0v m m m m v B A B A A +-=
，v B =02v m m m B
A A
+．若m A =m B ，则v A = 0 ，v B = v 0 ，即
质量相等的两物体发生弹性碰撞的前后，两物体速度互相交换（这一结论也适用于B 初速度不为零时）．
（4）完全非弹性碰撞有两个主要特征：①碰撞过程中系统的动能损失最大．②碰后两物体速度相等．
典例精析 碰撞问题
【例1】如图所示，光滑水平面上有大小相同的A 、B 两球在同一直线上运动。

两球质量关系为m B =2m A ，规定向右为正方向，A 、B 两球的动量均为6kg •m/s ，运动中两球发生碰撞，碰撞后A 球的动量增量为-4 kg •m/s ，则（ ）
A ．左方是A 球，碰撞后A 、
B 两球速度大小之比为2：5
B ．左方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为1：10
C ．右方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为2：5
D ．右方是A 球，碰撞后A 、B 两球速度大小之比为1：10
解析：由m B =2m A 、P B =P A 知V A =2V B 对两球发生碰撞的情况进行讨论：
10A 球在左方，都向右运动。

由动量守恒定律得： P A ′=2kg·m/s ，P B ′=10 kg·m/s 即V A ′/V B ′=2/5
20A 球在左方，且A 向右运动，B 向左运动，由题意知P A ′=2kg·m/s ，P B ′=-2 kg·m/s A 、B 两球碰后继续相向运动是不可能的． 30B 球在左方，A 球在右方，则此种情况下
△P A >O ，由以上分析知，只有一种情况成立．
故答案应选A
总结：1、系统动量守恒的原则
2
211202101v m v m v m v m +=+
2、物理情景可行性原则——位置不超越
3、不违背能量守恒的原则——动能不膨胀
2
222112202210121212121v m v m v m v m +≥+
【练习1】质量为3kg 的小球A 以5m/s 的速度与质量为2kg 、速度为3m/s 的小球B 在光滑的水平面上沿同一直线相向运动，发生正碰后的速度分别为v 1和v 2，则下面那些是可能的(取小球A 原来的运动方向为正方向)( )
A ．v 1=4m/s v 2=2m/s
B ．v 1=4m/s v 2=-1.5m/s
C ．v 1=-4m/s v 2=10.5m/s
D ．v 1=v 2=1.8m/s 答案：D
【例2】质量分别是m 和m'的两球发生正碰前后的位移跟时间t 的关系如图所示，由此可知，两球的质量之比m ∶m'为( )
A ．1∶3
B ．3∶1
C ．1∶1
D ．1∶2 答案：A
【练习2】甲、乙两球在水平光滑轨道上同方向运动，已知它们的动量分别是p 1=5 kg·m/s 、p 2=7 kg·m/s ，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙的动量为10 kg·m/s ，则两球的质量m 1与
m 2的关系可能是( )
A ．m 1=m 2
B ．2m 1=m 2
C ．4m 1=m 2
D ．6m 1=m 2 答案：C
【例3】如图所示，在水平光滑直导轨上，静止放着三个质量均为m ＝1 kg 的相同小球A 、B 、C ．现让A 球以v 0＝2 m/s 的速度向着B 球运动，A 、B 两球碰撞后粘在一起，两球继续向右运动并跟C 球碰撞，C 球的最终速度v C ＝1 m/s ．求：
(1)A 、B 两球跟C 球相碰前的共同速度为多大？
(2)两次碰撞过程中一共损失了多少动能？ 答案：（1）1 m/s （2） 1.25 J
【练习3】如图所示，在支架的圆孔上放着一个质量为M =1千克的木球，一质量为m =10g 的子弹以速度v =1000m/s 从下面很快击中木球并穿出.击穿后木球上升的最大高度为H =3.2m ，求子弹穿过木球后上升的高度.
答案：10m
【例4】如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h ，质量为m 1的小
物块A 从坡道顶端由静止滑下进入水平面，在坡道末端O 点无机械能损失．现将轻弹簧的一端固定在M 处的墙上，另一端与质量为m 2的物块B 相连．A 从坡道上滑下来后与B 碰撞的时间极短，碰后A 、B 结合在一起共同压缩弹簧．各处摩擦不计，重力加速度为g ，求：
(1)A 在与B 碰撞前瞬时速度v 的大小； (2)A 与B 碰后瞬间的速度v ′的大小； (3)弹簧被压缩到最短时的弹性势能E p . 答案 (1)2gh (2)m 1m 1＋m 22gh (3)m 12gh m 1＋m 2
解析 (1)由机械能守恒定律得m 1gh ＝1
2m 1v 2
v ＝2gh
(2)A 、B 在碰撞过程中，由动量守恒定律得 m 1v ＝(m 1＋m 2)v ′
v ′＝m 1
m 1＋m 2
2gh
(3)A 、B 速度v ′减为零时，弹簧被压缩到最短，由机械能守恒定律得 E p ＝12(m 1＋m 2)v ′2＝m 12gh m 1＋m 2
.
【练习4】如图所示，质量为m 的b 球用长h 的细绳悬挂于水平轨道BC 的出口C 处．质量也为m 的小球a ，从距BC 高h 的A 处由静止释放，沿光滑轨道ABC 下滑，在C 处与b 球正碰并与b 黏在一起．已知BC 轨道距地面的高度为0.5h ，悬挂b 球的细绳能承受的最大拉力为2.8mg .试问：
(1)a 球与b 球碰前瞬间的速度多大？
(2)a 、b 两球碰后，细绳是否会断裂？若细绳断裂，小球在DE 水平面上的落点距C 的水平距离是多少？若细绳不断裂，小球最高将摆多高？
答案 (1)2gh (2)断裂
2
2
h 解析 (1)设a 球经C 点时速度为v C ，则由机械能守恒得 mgh ＝1
2m v C 2，解得：v C ＝2gh
即a 球与b 球碰前的速度为2gh . (2)设碰后b 球的速度为v ，由动量守恒得 m v C ＝(m ＋m )v 故v ＝12v C ＝1
2
2gh
小球被细绳悬挂绕O 摆动时，若细绳拉力为F T ，则 F T －2mg ＝2m v 2
h
，解得F T ＝3mg
F T >2.8mg ，细绳会断裂，小球做平抛运动 设平抛的时间为t ，则0.5h ＝1
2gt 2
得t ＝
h g
故落点距C 的水平距离为 x ＝v t ＝122gh ·h g ＝2
2
h
小球最终落到地面距C 水平距离
2
2
h 处． 【练习5】如图所示，小球A 系在细线的一端，线的另一端固定在O 点，O 点到水平面的距离为h .物块B 质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O 点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ.现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰(碰撞时间极短)，反弹后上升至最高点时到水平面的距离为h 16.小球与物块均
视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g ，求物块在水平面上滑行的时间t .
答案
14μ
2h g
解析 设小球的质量为m ，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v 1，取小球运动到最低点重力势能为零，根据机械能守恒定律，有mgh ＝1
2
m v 12①
解得v 1＝2gh ②
设碰撞后小球反弹的速度大小为v 1′，同理有 mg h 16＝1
2m v 1′2③ 解得v 1′＝
gh 8
④ 设碰后物块的速度大小为v 2，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有 m v 1＝－m v 1′＋5m v 2⑤ 解得v 2＝
gh 8
⑥ 物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小F ＝5μmg ⑦ 设物块在水平面上滑行的时间为t ，根据动量定律有 －Ft ＝0－5m v 2⑧ 解得t ＝
14μ
2h g
⑨ 解法二：物块在水平面上滑行时做匀减速直线运动，从⑤式以后可以换为以下内容：加速度a ＝F
5m ＝－μg ，由运动学公式可得t ＝0－v 2a ＝
14μ2h
g
.
课外作业：
1．科学家试图模拟宇宙大爆炸初的情境，他们使两个带正电的不同重离子被加速后，沿同一条直线相向运动而发生猛烈碰撞．为了使碰撞前的动能尽可能多地转化为内能，关键是设法使这两个重离子在碰撞前的瞬间具有相同大小的( )
A ．速率
B ．质量
C ．动量
D ．动能
解析：尽量减小碰后粒子的动能，才能增大内能，所以设法使这两个重离子在碰撞前的瞬间具有相同大小的动量．
答案：C
2．如图所示，A 、B 两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A 和B 的质量分别是99m 和100m ，一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块A 内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( )
A ．m v 02
400
B ．m v 02200
C ．99m v 02200
D ．199m v 02400
解析：子弹打木块A ，动量守恒，mv 0＝100mv 1＝200mv 2，弹性势能的最大值E p ＝12
×100mv 12
－12×200mv 22
＝mv 02400
.
答案：A
3．质量为m 的小球A ，在光滑的水平面上以速度v 0与质量为2m 的静止小球B 发生正碰，碰撞后A 球的动能恰变为原来的1
9
，则B 球的速度大小可能是( )
A ．1
3v 0
B ．23v 0
C ．4
9
v 0
D ．89
v 0
解析：依题意，碰后A 的动能满足：12mv A 2＝19×12mv 02得v A ＝±1
3v 0，代入动量守恒定律
得mv 0＝±m ·13v 0＋2mv B ，解得v B ＝13v 0及v B ′＝2
3
v 0
答案：AB
4．质量m 2=9kg 的物体B ，静止在光滑的水平面上。

另一个质量为m 1=1kg 、速度为v 的物体A 与其发生正碰，碰撞后B 的速度为2m/s ，则碰撞前A 的速度v 不可能是（ ）
A ．8m/s
B ．10m/s
C ．15m/s
D ．20m/s
答案：A
5．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面
上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m 的小球从槽高h 处开始自由下滑( )
A ．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒
B ．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C ．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D ．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h 处
解析：小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒，由于小球与槽质量相等，分离后小球和槽的速率大小相等，小球与弹簧接触后，由能量守恒可知，它将以原速率被反向弹回，故C 项正确．
答案：C
6．如图所示，质量为0.5 kg 的小球在距离车底面高20 m 处以一定的初速度向左平抛，落在以7.5 m/s 速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，车底涂有一层油泥，车与油泥的总质量为4 kg ，设小球在落到车底前瞬时速度是25 m/s ，取g ＝10 m/s 2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度是( )
A ．5 m/s
B ．4 m/s
C ．8.5 m/s
D ．9.5 m/s
解析：对小球落入小车前的过程，平抛的初速度设为v 0，落入车中的速度设为v ，下落的高度设为h ，由机械能守恒得：12mv 02＋mgh ＝1
2mv 2，解得v 0＝15 m/s ，车的速度在小球落
入前为v 1＝7.5 m/s ，落入后相对静止时的速度为v 2，车的质量为M ，设向左为正方向，由水平方向动量守恒得：mv 0－Mv 1＝(m ＋M )v 2，代入数据可得：v 2＝－5 m/s ，说明小车最后以5 m/s 的速度向右运动．
答案：A
7．如图所示，竖直平面内的光滑水平轨道的左边与墙壁对接，右边与一个足够高的1
4光
滑圆弧轨道平滑相连，木块A 、B 静置于光滑水平轨道上，A 、B 的质量分别为1.5 kg 和0.5 kg.现让A 以6 m /s 的速度水平向左运动，之后与墙壁碰撞，碰撞的时间为0.3 s ，碰后的速度大小变为4 m/s.当A 与B 碰撞后会立即粘在一起运动，g 取10 m/s 2，求：
(1)在A 与墙壁碰撞的过程中，墙壁对A 的平均作用力的大小； (2)A 、B 滑上圆弧轨道的最大高度． 答案 (1)50 N (2)0.45 m
解析 (1)设水平向右为正方向，当A 与墙壁碰撞时根据动量定理有 Ft ＝m A v 1′－m A (－v 1) 解得F ＝50 N
(2)设碰撞后A 、B 的共同速度为v ，根据动量守恒定律有m A v 1′＝(m A ＋m B )v A 、B 在光滑圆形轨道上滑动时，机械能守恒，由机械能守恒定律得 1
2
(m A ＋m B )v 2＝(m A ＋m B )gh 解得h ＝0.45 m.
8．如图，A 、B 、C 三个木块的质量均为m 。

置于光滑的水平面上，B 、C 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触可不固连。

将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B 和C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于B 、C 可视为一个整体。

现A 以初速v 0沿B 、C 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起。

以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离。

已知C 离开弹簧后的速度恰为v 0。

求弹簧释放的势能。

答案：2
013
mv
9．如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A 和B 分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。

现将A 无初速度释放，A 与B 碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。

已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2 m ；A 和B 的质量相等；A 和B 整体与桌面之间的动摩擦因数μ=0.2。

重力加速度g 取10 m/s 2。

求:
(1)碰撞前瞬间A 的速率v ；
(2)碰撞后瞬间A 和B 整体的速率v'； (3)A 和B 整体在桌面上滑动的距离l 。

答案：(1)2 m/s (2)1 m/s (3)0.25 m
10．如图所示，一个半径R ＝1.00 m 的粗糙1
4圆弧轨道，固定在竖直平面内，其下端切
线是水平的，距地面高度h ＝1.25 m ．在轨道末端放有质量m B ＝0.30 kg 的小球B (视为质点)，B 左侧装有微型传感器，另一质量m A ＝0.10 kg 的小球A (也视为质点)由轨道上端点从静止开始释放，运动到轨道最低处时，传感器显示示数为2.6 N ，A 与B 发生正碰，碰后B 小球水平飞出，落到地面时的水平位移x ＝0.80 m ，不计空气阻力，重力加速度取g ＝10 m/s 2.求：
(1)小球A 在碰前克服摩擦力所做的功； (2)A 与B 碰撞过程中，系统损失的机械能． 答案 (1)0.20 J
(2)0.384 J
解析 (1)在最低点，对A 球由牛顿第二定律有 F A －m A g ＝m A v A 2
R
得v A ＝4.00 m/s
在A 下落过程中，由动能定理有： m A gR －W f ＝1
2
m A v A 2
A 球在碰前克服摩擦力所做的功W f ＝0.20 J. (2)碰后
B 球做平抛运动，在水平方向有x ＝v B ′t 在竖直方向有h ＝1
2
gt 2
联立以上两式可得碰后B 的速度v B ′＝1.6 m/s 对A 、B 碰撞过程，由动量守恒定律有 m A v A ＝m A v A ′＋m B v B ′
碰后A 球的速度v A ′＝－0.80 m/s ，负号表示碰后A 球运动方向向左 由能量守恒得，碰撞过程中系统损失的机械能： ΔE 损＝12m A v A 2－12m A v A ′2－1
2m B v B ′2
故ΔE 损＝0.384 J
在A 与B 碰撞的过程中，系统损失的机械能为0.384 J.
11．如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B 上，另一端与滑块C 接触但未连接，该整体静止放在离地面高为H 的光滑水平桌面上。

现有一滑块A 从光滑曲面上离桌面h 高处由静止开始下滑下，与滑块B 发生碰撞（时间极短）并粘在一起压缩弹簧推动滑块C 向前运动，经一段时间，滑块C 脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动一段时间后从桌面边缘飞出。

已知,3,,m m m m m m C B A ===求：
（1）滑块A 与滑块B 碰撞结束瞬间的速度； （2）被压缩弹簧的最大弹性势能；
（3）滑块C 落地点与桌面边缘的水平距离。

解：（1）滑块A 从光滑曲面上h 高处由静止开始
滑下的过程中，机械能守恒，设其滑到底面的速度为v 1，由机械能守恒定律有
212
1
v m gh m A A = ①
解得：gh v 21=
②
滑块A 与B 碰撞的过程，A 、B 系统的动量守恒，碰撞结束瞬间具有共同速度设为v 2，
由动量守恒定律有
21)(v m m v m B A A +=
③ 解得：gh v v 22
12112==
④
（2）滑块A 、B 发生碰撞后与滑块C 一起压缩弹簧，压缩的过程机械能定恒，被压
缩弹簧的弹性势能最大时，滑块A 、B 、C 速度相等，设为速度v 3，由动量定恒定律有：
31)(v m m m v m C B A A ++= ⑤ gh v v 25
15113==
⑥
由机械能定恒定律有：
2
3
22)(2
1)(21v m m m v m m E C B A B A pm ++-+=
⑦ （3）被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C 脱离弹簧，设滑块A 、B 速度为v 4，
滑块C 的速度为v 5，分别由动量定恒定律和机械能定恒定律有：
542)()(v m v m m v m m C B A B A ++=+
⑨
2
5
24222
1)(21)(21v m v m m v m m C B A B A ++=+ ⑩ 解之得：gh v gh v 25
2
,210154=-=（另一组解舍去）⑾
滑块C 从桌面边缘飞出后做平抛运动：
t v S 5=
⑿ 2
2
1gt H =
⒀ 解得之：Hh S 5
4
= ⒁。