(学习指导) 1013 两角和与差的正切Word版含解析

10.1.3两角和与差的正切
学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角
和与差的正切公式．(重点)
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点) 通过对两角和与差的正切公式的推导和应用，提升学生的数学运算素养和培养逻辑推理核心素养.
根据同角三角函数的商数关系tan θ＝sin θ
cos θ，怎样由sin(α＋β)以及cos(α＋β)
的公式将tan(α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan(α－β)用tan α，tan β来表示？
T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β
.
T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
.
思考：公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？
提示：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
1．tan 15°＝________；tan 75°＝________.
2－32＋3[tan 15°＝tan(45°－30°)＝
tan 45°－tan 30°
1＋tan 45° tan 30°
＝
1－
3
3
1＋
3
3
＝
3－3
3＋3
＝
2－ 3.
tan 75°＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°
＝1＋33
1－33
＝2＋ 3.]
2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.
1[tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝1
6. tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan α·tan β
＝1.]
3.
1－tan 15°
1＋tan 15°
＝________.
3
3[原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°) ＝tan 30°＝33.]
条件求值问题
【例1】 已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π4.
[思路点拨] 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan
2α表示出来．
[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝
tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)
＝
5＋31－5×3
＝－4
7，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝tan (α＋β)－tan (α－β)
1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝5－3
1＋5×3＝1
8，
tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α
＝1－47
1＋47
＝
311. 求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值．倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂．
[跟进训练]
1．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4的值；
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan(α＋β)的大小．
[解](1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35
－4
5＝－34，
故tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－3
4＋11－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－34×1
＝
17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝1
2，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋1
2
1－13×1
2
＝1.
给值求角
【例2】 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，
求α＋β.
[思路点拨] 利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．
[解]因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，
所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，
所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，所以－π＜α＋β＜0.
又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝－331－4
＝3，
所以α＋β＝－2π
3. 1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，选正、
余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，选正弦较
好．
[跟进训练]
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，25
5.
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解] 由已知得cos α＝210，cos β＝25
5，又α，β是锐角， 则sin α＝1－cos 2α＝72
10，
sin β＝
1－cos 2β＝5
5.
所以tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝1
2.
(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
7＋
1
2
1－7×
1
2
＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝tan(α＋β)＋tan β
1－tan(α＋β)tan β
＝
－3＋
1
2
1＋3×
1
2
＝－1，
又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜3π2，
所以α＋2β＝3π
4.
T(α±β)公式的变形及应用
1．你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝______________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________. tan αtan β＝____________.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝______________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________. tan αtan β＝______________.
[提示](1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，
tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan (α＋β)
；
(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)， tan αtan β＝
tan α－tan βtan (α－β)
－1.
2．结合T (α±β)公式想一想下列式子如何化简？ (1)1－tan α
1＋tan α＝________；(2)3＋tan α
1－3tan α
＝________.
[提示](1)1－tan α1＋tan α＝tan π
4－tan α
1＋tan π4tan α
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α； (2)3＋tan α1－3tan α＝tan π
3＋tan α1－tan π3
tan α
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋α. 【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．
[思路点拨] 充分结合T (α±β)的公式及变形求解． [解]∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴
tan A ＋tan B
1－tan A tan B ＝－3
3，
∴tan(A ＋B )＝－3
3.
又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π
6. ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，
tan C＝
3 3，
∴tan B＋
3
3＋tan B＝3，tan B＝
3
3，
∴B＝π
6，∴A＝2π3，
∴△ABC为等腰三角形．
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
[跟进训练]
3．(1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．
[解](1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3；
(2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)
＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝ 3.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°.
1．本节课的重点是两角和与差的正切公式，难点是公式的灵活运用．2．要掌握两角和与差的正切公式的三个应用
(1)解决给角求值问题；
(2)解决给值(式)求角问题； (3)解决条件求值问题．
3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误．
1.
tan 51°－tan 6°
1＋tan 51°tan 6°
＝( )
A ．tan 57°
B ．－tan 57°
C ．1
D ．－1
C [原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1.]
2．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝__________
A ．13
B ．12
C ．2
3 D ．1 C [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α
1－tan α
＝2，得tan α＝13，
∴1
2sin αcos α＋cos 2α
＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α
＝
tan 2α＋12tan α＋1
＝2
3.]
3．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________.
1[tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.]
4．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求2α－β的值．
[解](1)∵cos β＝－72
10，β∈(0，π)， ∴sin β＝
1－cos 2β＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
72102
＝210
，
∴tan β＝sin βcos β＝210－7210
＝－1
7.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝
2－171＋27＝139.
(2)由(1)知tan α＝2，tan β＝－1
7， ∴tan 2α＝
2tan α
1－tan 2α＝2×21－22＝－43. ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2α·tan β＝－43－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－171＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17＝－1.
∵tan α＝2，α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∵tan β＝－17＜0，且β∈(0，π)， ∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，
∴2α－β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－π，π2，
∵tan(2α－β)＝－1 ∴2α－β＝－π
4.。