新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示课时作业8平面向量的正交分解及坐标表

新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示课时作业8平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示新人教A版必修第二册课时作业8 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算
的坐标表示
知识点一平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
答案(－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析解法一：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
解法二：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个
单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①OA →＝2i ＋3j ；②OB →＝3i ＋4j ；③AB →
＝－5i ＋j ； ④BA →
＝5i －j . 答案 ①③④
解析 i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB →
＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →
＝5i －j ，故①③④正确.
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则A B →
可以
表示为( )
A ．2i ＋3j
B ．4i ＋2j
C ．2i －j
D ．－2i ＋j
答案 C
解析 记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →
＝2i －j . 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则B D →
等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4) 答案 B
解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →
＝(－3，－5)，故选B.
知识点三 平面向量加、减坐标运算的应用
6.设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且OA →
＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，O C →＝A B →
，则C 点的坐标为( )
A ．(－2,1)
B ．(1，－2)
C ．(2，－1)
D ．(－1,2)
答案 D
解析 由题意可知A (4,2)，B (3,4)，A B →＝O B →－O A →＝－i ＋2j .∵O C →＝A B →，∴O C →
＝－i
＋2j ，∴C (－1,2)．
7．已知平面上三个点的坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
解 设点D 的坐标为(x ，y )， ①当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →
， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝－1.∴D (0，－1)；
②当平行四边形为ABDC 时，同①可得D (2，－3)； ③当平行四边形为ADBC 时，同①可得D (6,15)．
综上所述，点D 的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
一、选择题
1．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则AB →
＝( ) A ．(0,5) B ．(4,2) C ．(2,5) D ．(2,1)
答案 B
解析 AB →＝MB →－MA →
＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，故选B. 2．已知AB →
＝(－2,4)，则下面说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是(－2,4) B ．B 点的坐标是(－2,4)
C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2,4)
D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2,4) 答案 D
解析 由任一向量的坐标的定义可知，当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2,4)．
3．若向量a ＝(x ＋3，x 2
－3x －4)与AB →
相等，已知A (1,2)和B (3,2)，则x 的值为( ) A ．－1 B ．－1或4 C ．4 D ．1或－4
答案 A
解析 AB →＝(2,0)，由于向量a 与A B →
相等， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋3＝2，x 2
－3x －4＝0，
解得x ＝－1.
4．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)
答案 A
解析 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →
＝(－4，－3)，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，y －1＝－3，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，
∴BC →
＝(－7，－4)．
5．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2
)，则a ＋b ( ) A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线 答案 C
解析 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2
)，所以a ＋b 平行于y 轴． 二、填空题
6．在平面直角坐标系内，已知i ，j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量
a 用坐标表示为________．
答案 (1，－2)
解析 不妨设i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)．
7．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠
xOA ＝60°，则OA →
的坐标为________． 答案 (23，6)
解析 设点A (x ，y )，则x ＝|OA →
|cos60°＝43cos60°＝2 3.y ＝|OA →
|sin60°＝43
sin60°＝6.
即A (23，6)，∴OA →
＝(23，6)．
8．如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →
＝________；OD →
＝________.
答案 (1，－1) (1,1) (－1,1)
解析 根据题意，知点A 与点B 关于y 轴对称，与点C 关于原点对称，与点D 关于x 轴对称，又OA →
＝(－1，－1)，O 为坐标原点，
∴A (－1，－1)，∴B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)， ∴OB →＝(1，－1)，OC →＝(1,1)，OD →
＝(－1,1)． 三、解答题
9．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，求a 和b . 解 设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋p ＝2，
n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，
n －q ＝16，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－3，
n ＝4，
p ＝5，
q ＝－12.
所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)．
10．已知点A (2,2)，B (－2,2)，C (4,6)，D (－5,6)，E (－2，－2)，F (－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量AC →，BD →，EF →，并求向量AC →，BD →，E F →
的坐标．
解 如图，描出点A (2,2)，B (－2,2)，C (4,6)，D (－5，6)，E (－2，－2)，F (－5，－6)，
分别作出向量AC →，BD →，EF →
.
易知AC →＝(2,4)，BD →＝(－3,4)，EF →
＝(－3，－4)．。