新教材高中数学必修第一册第4章 4.3.1对数的概念

4．3对数
4．3.1对数的概念
学习目标
1.了解对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值．
知识点一 对数的有关概念 对数的概念：
一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N . 知识点二 对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数恒等式：log a N
a
＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．
知识点三 对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数．
1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )
2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ ) 3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × ) 4．若ln N ＝1
2
，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )
一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－
2＝14；(2)102＝100；
(3)e a
＝16；(4)13
64-＝1
4
；
(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)． 解 (1)log 21
4
＝－2.
(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－1
3.
(5)32＝9. (6)x z ＝y .
反思感悟 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13
log 27＝－3；
(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2
＝16.
解 (1)由log 216＝4，可得24＝16. (2)由13
log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3
＝27.
(3)由43＝64，可得log 464＝3. (4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14
log 16＝－2.
二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值：
(1)log 64x ＝－2
3；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x .
考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 解 (1)223
3
3
64
(4)x --
==＝4－2＝1
16.
(2)因为
x 6＝8，所以1111636662
()8(2)2x x =====
(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.
反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练2 (1)计算log 927；
的值； (2)求下列各式中x 的值： ①log 27x ＝－2
3
；②log x 16＝－4.
解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33， ∴2x ＝3，x ＝3
2.
设
81x =，则
x
＝81,4
3
x ＝34，∴x
4
＝4，x ＝16.
(2)①∵log 27x ＝－2
3，
∴223
3
3
27
(3)x --
==＝3－2＝1
9.
②∵log x 16＝－4，
∴x －4＝16，即x 4＝1
16＝⎝⎛⎭⎫124，
∴x ＝12
.
三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值：
(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 5
7.x －＝
考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式
解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5
log 57
7
7775.5
x ÷÷－＝＝＝＝
反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a N
N a a N a N ＝，＝
跟踪训练3 (1)设3(log 21)
327x ＋＝，则x ＝ .
答案 13
(2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 A
解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.
1．将⎝⎛⎭⎫13－2
＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 91
3＝－2
B ．13
log 9＝－2
C ．13
log (2)-＝9
D ．log 9(－2)＝1
3
答案 B
解析 根据对数的定义，得13
log 9＝－2，故选B.
2．若log a x ＝1，则( )
A ．x ＝1
B ．a ＝1
C ．x ＝a
D ．x ＝10 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 C 3．方程3log 2
x
＝1
4
的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝3
3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9
考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式与指数式的互化 答案 A 解析 ∵3log 2
x
＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝1
9
.
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0
B．
1
3
8 ＝1
2与log8
1
2＝－
1
3
C．log39＝2与
1
2
9＝3
D．log77＝1与71＝7
考点对数式与指数式的互化
题点对数式与指数式的互化
答案 C
5．已知log x16＝2，则x＝.
答案 4
解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，
又因为x>0且x≠1，所以x＝4.
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：
(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．
(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确说法的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
考点对数的概念
题点对数的概念
答案 C
解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()
A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案 B
解析因为－ln e2＝x，
所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.
3．若log a 5
b＝c，则下列等式正确的是()
A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B
解析由log a 5
b＝c，得a c＝
5
b，
所以b＝a5c.
4．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()
A．①③B．②④C．①②D．③④
考点对数式与指数式的互化
题点对数式化为指数式
答案 C
解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；
③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.
故只有①②正确．
5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()
A．15 B．75 C．45 D．225
考点对数式与指数式的互化
题点对数式化为指数式
答案 C
解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，
∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.
6．
＝.
考点对数式与指数式的互化
题点对数式化为指数式
答案8
解析
设81＝t ，则(3)t ＝81,2
3t ＝34，t
2＝4，t ＝8. 7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么1
2
x -＝ .
考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案
24
解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ， ∴12
x
-＝()
132
2
-＝
18＝122＝24
. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫
32，2∪(2，＋∞) 解析 由⎩⎪⎨⎪
⎧ x －1>0，
x －1≠1，
2x －3>0，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x >1，x ≠2，x >32，
得x >3
2
且x ≠2.
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－
2＝116；
(3)12
log 8＝－3；
(4)log 3
1
27
＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 41
16＝－2.
(3)∵12
log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3
＝8.
(4)∵log 3
127＝－3，∴3－3＝1
27
.
10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．
①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13
. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．
①log 68；②log 62；③log 26.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝5
82
. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .
②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3
. ③由36a ＝2得32a
＝6，所以log 26＝3a .
11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )
A ．－3
B ．3
C ．－1或3
D ．1或－3
答案 B
解析 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，
得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，
解得x ＝－1或x ＝3.
经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )
A ．6 B.72 C ．8 D.37
答案 C
解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.
13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案 －3
解析 由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，
∴x ＝0或x ＝－3.
注意到⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .
答案 8或12
解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0， 解得t ＝3或t ＝－1，
所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，
所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.
15．若a >0，23
a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B
解析 因为23a ＝49
，a >0， 所以a ＝32
49⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233， 设23
log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .
所以x ＝3.
16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解 因为12
log x ＝m ，
所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14
log y ＝m ＋2，
所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭
⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭
⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。