中考数学压轴题 易错题提高题学能测试试卷

一、中考数学压轴题
1．已知：菱形ABCD，点E 在线段BC 上，连接DE，点F 在线段AB 上，连接CF、DF， CF 与DE 交于点G，将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上．
（1）求证：CD=CF；
（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求y 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当x=45°时，以CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部，连接GK，若GK∥CD，CD=4 时，求线段KG 的长．
2．已知，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB=EF=6，如图1，D是斜边AB的中点，将等腰Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N．
（1）如图1，当α=60°时，求证：DM=BN；
（2）在上述旋转过程中，DN
DM
的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明；
（3）如图3，在上述旋转过程中，当点C落在斜边EF上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN的面积．
3．综合与实践
A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是4
2:1的矩形纸片称为“标准纸”．
操作判断：
()1如图1所示，矩形纸片2
=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点
()
ABCD AD AB
AB=求CF的
B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,
长，
()2如图2，在()1的基础上，连接,
BE判断四边形
BD折痕EF交BD于点O，连接,
BFDE的形状，并说明理由．
探究发现：
()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点,N交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．
4．（1）阅读理解：
如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，100BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．
5．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
6．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC 、BC ，已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点，如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 的坐标；
（3）如图2，若点M 是AOC △内一动点，且满足AM AO =，过点M 作MN OA ⊥，垂足为N ，设AMN 的内心为I ，试求CI 的最小值．
7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．
①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；
(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段
FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；
(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．
8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，
，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a ≤3时，
①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；
②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；
（2）已知函数()10Z x x x
=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．
9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．
已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．
（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；
（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；
（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝
12
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =-
+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线3,2
x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、
两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图1，抛物线2
3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .
（1）求顶点D 的坐标；
（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N .
①若直线CM 将BCD ∆分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标；
②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；
（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；
（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．
13．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-
与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）； （3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接OA ，OB ，AB ．
（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，请直接写出P ∠的度数；
（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=︒，求OAB OCB
∠∠；
（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ∆内一点，点M ，N 分别是线段OA ，OB 上一点，满足：1902
APB AOB ∠=︒+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=︒．
以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；
④AM BN AB +=．
正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．
15．如图，抛物线214
y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52
-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．
(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.
①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;
②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．
16．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．
（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；
（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．
17．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
18．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．
（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积； （2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．
19．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．
（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；
（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．
20．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
（1）当m＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；
②点（1
2
，﹣
9
8
）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求
a的值．
（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣1
2
m2关于点P（m，0）的相关函数的最大
值为6，求m的值．
21．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ；②DQ=PQ．
22．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）
A．180° B．270° C．360° D．540°
（1）请写出这道题的正确选项；
（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．
（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
23．如图，在ABC 中，3
5,7,tan 4
AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒
5
3
个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为
邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．
（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示） （2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；
（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值． （4）设:PDE APE S S m =△△，当
1
12
m 时，直接写出t 的取值范围．
24．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且
PC PM =， 连接PA ．
()1如图①，求证：PA PM =；
()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ︒∠=求证 =PC AM ；
()3连接AM ，当 90ADC ︒∠=时，PC 与AM 的数量关系是
25．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在ABC ∆与AED ∆中，,BA BC EA ED == ，且
,ABC
AED ∆∆所以称ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接
,EB DC ，则称
DC
EB
会为“关联比"． 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： [特例感知]
()1当ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”，且90α︒
=时，
①在图1中，若点E 落在AB 上，则“关联比”
DC
EB
=
②在图2中，探究ABE ∆与ACD ∆的关系，并求出“关联比”
DC
EB
的值．
[类比探究]
()2如图3，
①当ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”，且120a ︒=时，“关联比”
DC
EB
= ②猜想：当ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”，且n α=︒时，“关联比”DC
EB
= (直接写出结果，用含n 的式子表示) [迁移运用]
()3如图4， ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”．若90,4,ABC AED AC ︒∠=∠==点
P 为AC 边上一点，且1PA =，点E 为PB 上一动点，求点E 自点B 运动至点P 时，点
D 所经过的路径长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考数学压轴题 1．D
解析：（1）见解析；（2）y=1
603
x +；（2）232 【解析】 【分析】
（1）根据翻折的性质得△DFG ≌△DFA ，从而推导得出∠FDC=∠DFG ，进而得到CF=DC ； （2）在等腰△DGC 和等腰△CFD 中，可用y 表示出∠GDC 、∠FDC 的值，从而求出∠ADF ，根据∠ADE=∠DEC ，得出y 与x 的关系式；
（3）先证△KCD 是等腰直角三角形，根据CD 的长得到KC 的值，然后再△KGC 中求得KG 的值. 【详解】
（1）∵将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上 ∴△DFG ≌△DFA ，∠AFD=∠FDC ∴∠AFD=∠DFG ∴∠FDC=∠DFG
∴CF=DC ；
（2）∵AD=DG=DC=FC ，∠DCF=y ∴在△DGC 中，∠DGC=y ，∠GDC=180－2y 在△CFD 中，∠CFD=∠CDF=902
y - ∴∠FDG=∠FDC －∠GDC=3902
y
- ∴∠ADF=∠FDG=3902
y
-，∴∠ADE=3y －180 ∵AD ∥BC
∴∠ADE=∠DEC ，即3y －180=x 化简得：y=
1
603
x +； （3）如下图，过点K 作CD 的垂线，交CD 于点I ，延长KG 交BC 于点L ，过点C 作GL 的垂线，交GL 于点Q ，过点C 作GD 的垂线，交GD 于点N ，
∵x=45°，
∴y=75°，∠ADE=x=45° ∴∠DGC=∠DCG=75°， ∴∠NDC=30°， ∴∠ADC=45°+30°=75°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B=75°， ∵KG ∥DC ，
∴KG ∥AB ，∠KGD=∠NDC=30°， ∴∠GLC=∠B=75°，∠KGC=30°+75°=105°， ∴∠LGC=75°， ∴∠CGL=∠CGN ， ∴GC 是∠LGN 的角平分线， ∴CQ=CN ，
∵CD=4，∠CDE=30°， ∴在Rt △CND 中，CN=2， ∴CQ=2， ∵KG ∥CD ， ∴∠QKI=∠KIC=90° ∵CQ ⊥KL
∴四边形CQKI 是矩形， ∵CK=KD ，KI ⊥CD ， ∴CI=ID=2， ∴CI=CQ=2， ∴矩形CQKI 是正方形 ∴IK=CQ=2，
∴在Rt △KIC 中，CK=22，
如下图，过点G 作CK 的垂线，交CK 于点M ，
∴△KGM 是等腰直角三角形，△GMC 是直角三角形，且∠C=30°， 设GM=x ，
则在Rt △GKM 中，KM=GM=x ， 在Rt △GMC 中，CG=2x ，3x ， ∴322 解得：62 ∴2=232x . 【点睛】
本题考查菱形的性质和翻折的性质，需要注意，翻折后的图形和翻折前的图形时完全相等的，这个条件不可忽略.
2．A
解析：（1）详见解析；（2）3DN
DM =3）92
【解析】 【分析】
（1）利用ASA 证ADM DBN △≌△，从而得出DM BN =；
（2）如下图，先证NDQ MDP △∽△，得出DN DQ
DM DP
=，然后在Rt BDQ △，利用tan ∠B 得出
DQ BQ 的值，最后得出DN
DM
的值； （3）如下图，先证点C 是EF 的中点，然后利用CD 平分EDF ∠可推导出四边形CGDH 为正方形，从而得出CHN CGM △≌△，进而得出面积． 【详解】
解：（1）由题意，∵
60α=︒，90EDF ∠=︒，∴30BDN ∠=︒，
∴BDN A ∠=∠，B EDA ∠=∠， ∵点D 是斜边AB 的中点，∴AD BD =， ∴ADM DBN △≌△，∴DM BN =． （2）
3DN
DM
=，是一个定值． 证明：如图1，作DP AC ⊥于点P ，DQ BC ⊥于点Q ，∴90NQD MPD ∠=∠=︒，
又∵90MDN PDQ ∠=∠=︒，∴NDQ MDP ∠=∠， ∴NDQ MDP △∽△，∴
DN DQ
DM DP
=， 在Rt BDQ △中，60B ∠=︒，∴tan ∠B 3DQ
BQ
== 又由（1）可知：DP BQ =，
∴
3DQ
DP =， ∴
3DN
DM
=． （3）连接CD ，作CG DE ⊥于点G ，CH DF ⊥于点H ，
在Rt ABC 中，点D 是AB 的中点，∴1
32
CD AB ==， ∵AB EF =，∴1
2
CD EF =
，∵90EDF ∠=︒，∴C 是EF 中点，
∴CD 平分EDF ∠，45CDE ∠=︒， ∵CG DE ⊥，CH DF ⊥，∴CG CH =， ∵90CGD CHD EDF ∠=∠=∠=︒， ∴四边形CGDH 为正方形，90GCH ∠=︒， ∴GCM HCN ∠=∠，∴CHN CGM △≌△， ∴S 四边形CMDN S =正方形21922
CGDH CD ==． 【点睛】
本题综合考查了全等三角形和相似三角形的证明和性质，解题关键是找出两个全等(相似)三角形，根据三角形全等(相似)的性质推出结论．
3．(1) CF 长为4
；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）1AB =，则AD =
ABCD 是矩形，得到
1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则
FB FD x ==，在Rt DCF △中，2
2
2
+=CD CF DF ，可得)
22
2
1x x +=
即
可求解．
（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，
90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在
BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得
BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．
（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边
形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE
DAB ，再根据AD =，可得
2OE AB OD AD ===，进而得到2OE OD =，2EF BD =
，同理可得，
2
MN AC =
，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形
ENFM 是矩形，90EMF ∠=，MF OD
tan FEM ME OE
∠=
==MF =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"． 【详解】
解：()
11,AB =则AD AB ==四边形ABCD 是矩形
1,2CD AB BC AD ∴==-=
由折叠得FB FD = 设CF
x =，则2FB FD x ==- 在Rt DCF △中，222+=CD CF DF
(
)
2
2
2
12x x +=-
24
x =
答：CF 长为
24
()2四边形BFDE 是菱形.
理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BD
OB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=
在矩形ABCD 中，//,AD BC
OBF ODE ∴∠=∠
在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,
BOF DOE ∴≅
OE OF ∴= OB OD =
∴四边形BFDE 是平行四边形
EF BD ⊥
平行四边形BFDE 是菱形.
()3纸片ENFM 是“标准纸”
理由如下：由()2可知，,OE OF =
同理可知，,OM ON =
∴四边形ENFM 是平行四边形
90DOE DAB ∠=∠=︒ DOE
DAB ∴
2AD =
2
22
OE AB OD AD ∴
===
2
2
OE OD ∴=
2
EF BD ∴=
同理可得，2
2
MN AC =
四边形ABCD 是矩形，
AC BD ∴=，
EF MN ∴=
∴四边形ENFM 是矩形.
90EMF ∴∠=.
2,MF OD
tan FEM ME OE
∴∠=
== 2MF ME ∴=.
∴纸片ENFM 是“标准纸".
【点睛】
此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．
4．F
解析：（1）28AD <<；（2）见详解；（3）EF BE DF =+，理由见详解 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质可证明ADC EDB ≅，6,AC BE AD ED ===，在ABE △中
根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，可得出CF BM =，根据垂直平分线的性质可得出EF EM =，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，可得NBC D ∠=∠，证明NBC FDC ≅，得出,CN CF NCB FCD =∠=∠，利用角的和差关系可推出50ECN ECF ∠=︒=，再证明NCE FCE ≅，得出EN EF =，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵,,AD ED CD BD ADC BDE ==∠=∠
∴ADC EDB ≅
∴6,AC BE AD ED ===
在ABE △中根据三角形三边关系可得出：
AB BE AE AB BE -<<+，即4216AD <<
∴28AD <<
故答案为：28AD <<；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，
同（1）可得出CF BM =，
∵,FD MD FD DE =⊥
∴EF EM =
在BEM △中，BE BM EM +>
∴BE CF EF +>；
（3）EF BE DF =+，理由如下：
延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，
∵180,180ABC D ABC NBC ∠+∠=︒∠+∠=︒
∴NBC D ∠=∠
∴NBC FDC ≅
∴,CF CN NCB FCD =∠=∠
∵100,50BCD FCE ∠=︒∠=︒
∴50ECN ECF ∠=︒=
∴NCE FCE ≅（SAS ）
∴EN EF =
∴EF EN BE BN BE DF ==+=+
∴EF BE DF =+．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
5．B
解析：（1）12；（2）3）
【解析】
【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.
【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
4AB =
222232BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点， PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点， 90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，
1110522
OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222
DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+
=，
222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，
E 为OA 上的点，
F 为OB 上的点
PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
6．C
解析：（1）26y x x =--；（2）Q 的坐标为()2,0或()4,0；（3）CI 的最小值为42【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式；
（2）根据//CP BQ 即点C 坐标，可以求出P 点坐标，算出CP 长，即可写出Q 点坐标; （3）利用AIM AIO ≌△△可判断出I 的运动轨迹是圆弧，设I 运动轨迹所在的圆心为G 计算出圆心G 的坐标及半径为，当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短.
【详解】
（1）由题意得：A 点坐标为()2,0-，C 点坐标为()0,6-带入2y x bx c =++中
得：4206b c c -+=⎧⎨=-⎩
， 解得：16b c =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线的解析式为26y x x =--．
（2）∵点Q 在x 轴上，又点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形
∴//CP BQ ，由对称性可知，P 点的坐标为()1,6-
∴1PC =，∴1BQ =．
∴Q 的坐标为()2,0或()4,0．
（3）连接AI ，MI ，OI
∵I 为AMN 的内心
∴AI 、MI 分别平分MAN ∠，AMN ∠
∴MAI OAI ∠=∠
又∵MN AN ⊥，∴90ANM ∠=︒
∴135AIM ︒∠=．
又∵MA OA =，AI AI =
∴AIM AIO ≌△△
∴135AIO AIM ∠=∠=︒
∴I 的运动轨迹是圆弧．
设I 运动轨迹所在的圆心为G
∵135AIO ∠=︒，∴90AGO ∠=︒
又∵AG OG =，2AO =
∴圆心G 的坐标为()1,1-2
当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短
∵()()2210165052CG =--++== 2GI =
∴CI 的最小值为52242=
综上所述：CI 的最小值为42
【点睛】
此题为二次函数的综合应用，第一问利用待定系数法求解属基本题型；第二问判断出//CP BQ 是解题关键；第三问判断出I 的运动轨迹是解题关键.
7．C
解析：（1）①32，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】
【分析】 （1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．
（2）直线3y x b =
+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解
即可．
（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【详解】
（1）①如图1中，
∵D （-1，0），E(03，
∴OD=1，3OE =
∴3OE tan EDO OD
∠== ∴∠EDO=60°，
当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3
当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=
当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，
3332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，
故点O 与线段DE 满足限距关系．
故答案为O ．
（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），
当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1-b），
解得
1
3 b≥，
∴b的取值范围为1
3
1
b
≤＜．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1
2
1
b-，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴
1
121
2
b b
⎛⎫
+≥-
⎪
⎝⎭
，
而
1
121
2
b b
⎛⎫
+≥-
⎪
⎝⎭
总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为
1
3 b≥．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
8．A
解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②2232m -+≤≤；（2）最小值为2．
【解析】
【分析】
（1）①根据“特征点”的定义判断即可；
②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(22,0)W -，当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，2(32,0)W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特
征点．
（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x
+的值最小（如图3中）．
【详解】
解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，
又∵2≤a ≤3，
∴A ，C 是特征点，
故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ；
②如图1，∵2≤a ≤3，
∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，
当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，设切点为M ，
此时2OP =，1MW MP ⊥，145MPW ∠=︒，则1MPW 为等腰直角三角形，
∵⊙W 1半径为1，即11MW =，
∴12PW =1122OW OP PW =-=-
∴1(22,0)W ，
当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，设切点为N ，
此时3OQ =，2NW NQ ⊥，245NQW ∠=︒，则2NQW 为等腰直角三角形，
同理得：22QW =，则2232OW OQ QW =+=+，
∴2(32,0)W +， 观察图象可知满足条件的m 取值范围为：2232m -≤≤+；
（2）根据0x >，在第一象限画出1y x
=的图象， ∴在此坐标系中图象上的点就是1x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∵特征点满足x y a +=（x ≥0，a 为常数），
∴在此图象上对应的就是1x a x
+=， ∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数1y x =
的图象第一次有交点时，1x x +出现最小值，
如图2，由x >0可将1x a x
+=整理得：210x ax -+=， ∴2()40a ∆=--=，解得：12a =，22a =-（舍去），
∴2a =，
∴12Z x x =+=，即()10Z x x x
=+>的最小值为2．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．
9．C
解析：（1）C ；（2）﹣12≤x k 22﹣1≤x k 2；（3）m≤3﹣10或10
【解析】
【分析】
（1）由题意可知当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；
（2）根据题意由两点的距离公式可得2，分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：K 1、K 2、K 3、K 4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；
（3）由题意先根据直线y=
1
2
x+3，当x=0和y=0计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线y=1
2
x+3相切时m 的值，从而根据图形可得结论． 【详解】
解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，
故答案为：C ；
（2）∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）． ∴AP ＝BP ＝22(20)(11)--+--＝22，
如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，
∵OP ＝OG ＝1，OE ∥AB ， ∴PE ＝AE 2， ∴OE ＝
1
2
AG ＝1， ∴K 1（﹣12，0），k 2（120），k 32﹣1，0），k 4（2，0）， ∵点K 为点P 与线段AB 的共圆点， ∴﹣12≤x k ≤122﹣1≤x k 2； （3）分两种情况：
①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝
1
2
x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，
当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，y ＝1
2
x+3＝0，x ＝﹣6， ∴ON ＝3，OH ＝6， ∵tan ∠EHF ＝
ON EF OH FH =＝36＝1
2
， 设EF ＝a ，则FH ＝2a ，EH ＝5a ， ∴OE ＝6﹣5a ，
Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ， 由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2， ∴2221(65)a a =+-， 解得：a ＝
3522+（舍去）或3522
-， ∴QG ＝2OE ＝2（6﹣5a ）＝﹣3+210， ∴m≤3﹣210；
②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝
1
2
x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，
同理得QG ＝10，
∴
综上，m 的取值范围是m≤3﹣或． 【点睛】
本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M 为点P 与线段AB 的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.
10．B
解析：（1）213222y x x =-
++；（2）3
(,0)2
；（3）存在；(0,2)N 或(3,2)N 或(2,3)--N 或(5,18)--N
【解析】 【分析】
（1）由直线1
22
y x =-+可得B 、C 两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A 点坐标，可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-，将C 点坐标代入可求得a ，即可得抛物线
的解析式；
（2）根据绝对值的性质得出BM CM -的值最小时，点M 为BC 的垂直平分线与直线
32x =
的交点，求得BC 垂直平分线的解析式，联立直线3
2
x =即可求得点M ； （3）分四种情况进行讨论，设出N 的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N 的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】 解：∵直线1
22
y x =-
+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴当y =0时，即1
022
x =-
+，解得：x =4，则点B 的坐标为(4,0)， 当x =0时，10222
=-⨯+=y ，则点C 的坐标为(0,2)， 由二次函数的对称性可知：点A 与点B 关于直线3
2
x =对称， ∴点A 的坐标为(1,0)-，
∵抛物线与x 轴的交点为点(1,0),(4,0)A B -， ∴可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-， 又∵抛物线过点(0,2)C ， ∴2(01)(04)a =+-，解得：12
a =-
，。