【高中数学】事件的关系和运算 高一数学(人教版2019必修第二册)

10.1.2事件的关系和运算
温故知新
1. 随机试验 可重复性、可预知性、随机性
2. 样本空间、样本点 • 样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示. • 样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示. Ω={ω1，ω2，…，ωn} 写随机试验的样本空间时看，要按照一定的顺 序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等．
解析 事件“至少有1位女老师”包含“1位女老师和1位男老师”与“2位都是女 老师”两个事件，其对立事件是“全是男老师”.
2.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各组事件是互斥事件而
不是对立事件的是
√A.“恰有一个奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
互斥事件
在一个随机试验中,我们把一次试验下不能 同时发生的两个事件A与B称作互斥事件. 如：
从字面上如何 理解“互斥事
件”
互：相互；斥：排斥 相互排斥，即不能同时出现
互斥事件：一次试验下不能同时发生
的两个或多个事件.
若A,B互斥,则A,B不能同时发生.
你还能举出一些生活 中的其他例子吗？
抛硬币，“正面朝上”和“反面朝上” 抽奖时，“中奖”和“不中奖”.
引例 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事 件，例如: Ci =“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6； D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”; ……
• 你还能写出这个试验中其他一些事件吗？ • 请用集合的形式表示这些事件. • 借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗?
有一枚是正面为事件B，则有
√A.A⊆B
C.A＝B
B.A⊇B D.A与B之间没有关系
分析A和B图示关系即可
思考: 用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或 2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现 这些事件之间的联系吗？
• D1={1,2,3}，E1={1,2}和E2={2,3}
解 (1)事件D即事件A+C,
因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三
等品”是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式得, P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.
（2）事件E即事件B+C，因为事件B=“抽到的是二等 品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件， 由互斥事件的概率加法公式，
在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点Байду номын сангаас”中.试验的样
本空间Ω={1,2,3,4,5,6},设事件A表示随机事件“掷出的点数为
偶数”事件B表示随机事件“掷出的点数大于4”则事件“掷出的
点数为6”与事件A，B有何关系？
【解析】若在一次抛掷骰子的试验中，事件A与事件B都发生， 则意味着抛出的点数既是偶数又大于4，因此“掷出的点数为6”这 个事件发生，反之，若在一次试验中“掷出的点数为6”这个事件 发生，因为6是偶数，所以事件A发生，又因为6大于4，所以事件 B发生，即事件A与事件B都发生，从集合运算的角度看， A={2,4,6},B={5,6},A∩B={6}.
白球}. 求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
列出事件D的 所有情况即可
解 对于事件D，
可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，
故D＝A∪B.
巩固2：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝ {3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}， 事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有 白球}. 求：(2)事件C与A的交事件是什么事件？
P（E）=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.
思考 用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”， 借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
• F={2，4，6}，G={1，3，5} • 用集合表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即
• 集合表示 1,22,3 1,2,3，即E1 E2 D1
• 事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生. • 称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
并事件（和事件）
• 一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的 样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与
A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记作 A .（如下图10.1-8所示）
A
A Ω
【归纳小结】
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算 包含
并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容)
互为对立
含义 A发生导致B发生 A与B至少一个发生
事件B的并事件（或和事件），记作A B或A B
• （如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）
A
B
Ω
巩固2：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝
{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，
事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有
2．盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球 中有 1 个红球，2 个白球}，事件 B＝{3 个球中有 2 个红球，1 个白球}，事 件 C＝{3 个球中至少有 1 个红球}，事件 D＝{3 个球中既有红球又有白球}． (1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？ (2)事件 C 与 A 的交事件是什么？ 解 (1)对于事件 D，可能的结果为“1 个红球，2 个白球，或 2 个红球，1 个 白球”，故 D＝A∪B. (2)对于事件 C，可能的结果为“1 个红球，2 个白球，或 2 个红球，1 个白球， 或 3 个均为红球”，故 C∩A＝A.
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．①
B．②④
C．③ 答案 C
D．①③
解析 “恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；
“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；
“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；
A与B同时发生 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A⊆B
AUB或A+B A∩B或AB A∩B=Φ A∩B=Φ,AUB=Ω
深化概念
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件．( × ) (2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( √ ) (3)事件 A∪B 是必然事件，则事件 A 和 B 是对立事件．( × ) (4)如果事件 A、B 互斥，记－A ，－B 分别为事件 A，B 的对立事件，
交事件（积事件）
• 一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点 既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事
件B的交事件（或积事件），记作 A B或AB.
• （如下图10.1-6所示的蓝色区域）
AB Ω
巩固 3：1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件 E
＝{向上的点数为 1}，事件 F＝{向上的点数为 5}，
说明: (1)上面的公式叫互斥事件的概率加法公式; (2)加法公式的前提条件是:事件A与B互斥.
如果没有这一条件,加法公式将不能应用.
例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到 的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到 的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05. 求下列事件的概率: (1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”; （2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”.
列出事件C的 所有情况即可
解 对于事件C， 可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球， 故C∩A＝A.
在试验E“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中.试 验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},设事件A表示随机事件 “掷出的点数为偶数”事件B表示随机事件“掷出的点数 大于4”则事件“掷出的点数为6”与事件A，B有何关系？
互斥事件
一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不 可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）. （如下图10.1-7所示）
A
B
Ω
巩固 4:1.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
那么－A 与－B 一定互斥．( × )
巩固4： 1。某中学心理咨询室有3位男老师和2位女老师，从中任选2位老师
去为高三学生进行考前心理辅导，则事件“至少有1位女老师”与事件“全是男
老师”
A.是互斥事件，不是对立事件
√C.既是互斥事件，也是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件 D.既不是互斥事件，也不是对立事件
事件 G＝{向上的点数为 1 或 5}，则有( )
A．E⊆F
B．G⊆F
√C．E∪F＝G
D．E∩F＝G
解析 根据事件之间的关系，知 E⊆G，F⊆G，事件 E，F 之间不具 有包含关系，故排除 A，B；因为事件 E 与事件 F 不会同时发生，所 以 E∩F＝∅，故排除 D；事件 G 发生当且仅当事件 E 发生或事件 F 发生，所以 E∪F＝G.故选 C.
思考 用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”， 借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
• C1={1}，G={1，3，5}
• 集合表示 1 1,3,5,即C1 G
• 如果事件C1发生，那么事件G一定发生. • 事件G包含事件C1.
包含关系 如果事件 A的发生必然导致事件 B的发生,则称事
“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事
件．故选 C.
2 在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件A和B 是否是互斥事件? (1)事件A=“总质量为20kg”,事件B=“总质量为30kg”； (2)事件A=“总质量为7.5kg”,事件B=“总质量超过10kg”； (3)事件A=“总质量不超过10kg”,事件B=“总质量超过10kg”； (4)事件A=“总质量为20kg”,事件B=“总质量超过10kg”.
件B包含事件 A或称事件 A包含于事件B.
记作：B A 或 A B.
B A
相等关系
事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生， 而事件B发生，事件A不一定发生. 两个相等事件总是同时发生或同时不发生，所谓事件A=B，就 是说事件A，B是同一事件.
巩固1：同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少
解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此， 事件A与事件B是互斥事件.
对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1 个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因 此,事件A与事件B不是互斥事件.
在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件, 那么有
P(A+B)=P(A)+P(B).
温故知新 3. 随机事件有关概念：
• 基本事件:只包含一个样本点的事件. • 随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集. • 事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现. • 必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. • 不可能事件：在每次试验中都不会发生. ∅为不可能事件.
引入新课
F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ • 在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且
也必然发生其中之一. • 我们称事件F与事件G互为对立事件. 事件D1与D2也有这种关系.
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
对立事件 一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即