知识清单12 二次函数- 2020年中考数学知识清单大全25讲(附例释)

知识清单12：二次函数
1.二次函数的概念
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数的平移
4. 二次函数与一元二次方程、不等式
5. 求二次函数表达式
6. 二次函数的实际应用
1.二次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
2.二次函数的解析式
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c；
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
3.二次函数的图象和性质名师点睛：
（1）例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠1.
（2）若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
（3）比较二次函数函数值大小的方法：
①直接代入求值法；
②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；
③图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
（4）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解. 例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .
5.平移与解析式的关系
二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的 平移方式即可确定平移后的函数解析式.
22==m y ax bx c y ax bx c m
++−−−−−−−→++±向上/下平移个单位
①
()()2
2==m y ax bx c y a x m b x m c
++−−−−−−−→±+±+向左/右平移个单位②
6.二次函数全部七种表达式
名师点睛：
（5）某些特殊形式代数式的符号： ①a b c ±+，即当x=±1时，
y a b c =±+； ②42a b c ±+，即当x=±2时，42y a b c =±+； ②93a b c ±+，即当x=±3时，
93y a b c =±+；
④2a b +或2a b -，当对称轴12b
x a
=-=时，即可变形得20a b +=；当对称轴12b
x a
=-=-时，即可变形得20a b -=.
（6）抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”，左右平移
比较容易易弄反.
例：将抛物线y=x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x －2）2．
（1）二次函数y= ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点的横坐标x 1，x 2即为 方程
ax 2＋bx ＋c ＝0
的两根；
（2）若x 1，x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝m 的两根，则x 1，x 2可看成二 次函数
y= ax 2＋bx ＋c
与直线y m =的两交点的横坐标；且抛物
线对称轴亦为直线122
x x x =+.
（3）二次函数y= ax 2＋bx ＋c
与某直线或某函数是否有交点问题，
可令y 相等转化为一元二次方程根的判别式2
=-4b ac ∆问题.
8.二次函数与不等式
抛物线y= ax 2＋bx ＋c ＝0在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；在x 轴下方的部分点 的纵坐标均为负，所对应的x 的值就是不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.
9.实物抛物线
①据题意，结合函数图象求出函数解析式； ②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题.
10.实际问题中的最值
①分析问题中的数量关系，列出函数关系式； ②研究自变量的取值范围； ③确定所得的函数；
④检验x 的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； ⑤解决提出的实际问题.
11.结合几何图形
①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
（7）例：已经二次函数y=x 2-3x+m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两个实数根为2，1.
（8）若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：
①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x 轴，y 轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
（9）解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数； ②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.
（10）由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
（11）常见二次函数的应用问题
①动点构造铅垂线段/斜垂斜段最小值问题； ②动点构造斜三角形面积最大值问题； ③花圃/猪圈所围矩形面积最大值问题； ④三角形材料切割矩形面积最大值问题； ⑤一次函数与二次函数间隔距离最小值问题； ⑥销售问题中的最大利润计算问题；
⑦拱桥/踢球建模实际应用问题；
⑧动点构造角/三角形/四边形存在性问题等.
()()()()22,-2
2
,-22,2
2
,22-,-++---++-+++-x x y y
x x y y y x x y y x x y a a c c
y ax bx c y ax bx c y a x h k y a x h k y ax bx c y ax bx c y a x h k y a x h k y ax bx c y ax =−−−−−→==-+−−−−−→=---=−−−−−→==-+−−−−−→=++=−−−−−→=关于轴对称
不变变关于轴对称不变变关于轴对称变-不变
关于轴对称变-不变关于原点对称变变①②③④⑤()()()()()()()2
2
22
2
2
2
122+---++--+-2--+++=,a h k a a
bx c y a x h k y a x h k b y ax bx c y ax bx c a
y a x h k y a x h k y a x x x x y ax bx c x m A a b -=-+−−−−−−→=+=−−−−−→==-+−−−−−→==--=关于原点对称、、皆变相反
关于顶点对称
关于顶点对称变⑥⑦⑧⑨请自行探究交点式的对称变化情况？
⑩进阶探究关于任意直线或任意点对称的变化情况？。