选修4-1第2讲
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识梳理 1．圆周角定理与圆心角定理
(1)圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的 圆周角等于它所对的圆心角的 一半． ②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同__圆__或__ _等__圆__中，相等的圆周角所对的 弧也相等． (ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆 周角所对的弦是 直径 ． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
诊断自测 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为
直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由 射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝ 6.4. 答案 6.4
△ CAF∽△CBA，所以CCAB＝CCFA，CF＝CCAB2＝83.
答案
8 3
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点三 圆内接四边形的判定及应用 【例3】 (2014·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切
线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点， 圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
答案 50°
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
3.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的值为________．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠ P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴ABDC＝PPDB＝13.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
【训练3】 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交 于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 求证：(1)B、D、H、E四点共圆； (2)CE平分∠DEF.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
证明 (1)在△ABC 中，∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°. ∵AD，CE 分别是△ABC 的角平分线， ∴∠HAC＋∠HCA＝60°， ∴∠AHC＝120°. ∴∠EHD＝∠AHC＝120°. ∴∠EBD＋∠EHD＝180°. ∴B，D，H，E 四点共圆．
(1)
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
法二 连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知， ∠DCE ＝ ∠CAE ＝ 30° ， 又 ∠DCA ＝ 60° ， 故 ∠ECA ＝ 30°，
(2) 又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO， 由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边
答案 6
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题 【例1】 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为
圆 周 上 一 点 ， BC ＝ 3 ， 过 C 作 圆 的 切 线 l ， 过 A 作 l 的 垂 线 AD，AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求∠DAC的度数； (2)求线段AE的长．
解析 由切割线定理得 AE2＝EB·ED，解得 EB＝4.
因为 AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.
由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则
AE∥BC，
因为 AC∥BD，所以四边形 AEBC 是平行四边形．
所 以 AE ＝ BC ＝ 6 ， AC ＝ EB ＝ 4 ， 又 由 题 意 可 得
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(1)证明 连接 OP，OM，因为 AP 与⊙O 相切于点 P，所以 OP⊥AP. 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点，所以 OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补， 所以 A、P、O、M 四点共圆．
又 PA 是切线，PBC 是割线⇒PA2＝PB·PC⇒PPAB＝PPAC.
故AEDC＝DAEB，又 AD＝AE，故 AD2＝DB·EC.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利 用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比 例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比 例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦 定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时 要注意应用切割线定理．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
4．与圆有关的比例线段
定理 名称
基本图形
条件
结论
应用
相交 弦定 理
割线 定理
弦AB、CD 相交于圆内 点P
(1)PA·PB＝
__P_C_·_P_D__
(2)△ACP∽
_△__B_D__P_
PAB、PCD 是⊙O的割 线
(1)PA·PB＝
_P_C__·P__D__
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
2．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它 所夹的弧所对的圆周角．
3．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线垂直于 经过 切点的半径． (2)推论： ①推论1：经过 圆心 且垂直于切线的直线必经过 切点 ． ②推论2：经过 切点 且垂直于切线的直线必经过 圆心．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
【训练1】 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外 接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(1)证明 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角． 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC. (2)解 因为△ABE∽△ADC，所以AADB＝AACE，即 AB·AC＝ AD·AE 又 S＝12AB·ACsin∠BAC，且 S＝12AD·AE， 故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则 sin∠BAC＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC＝90°.
因 PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC＝∠APD.
又 PA 是⊙O 的切线，故∠C＝∠PAB.
所以∠AED＝∠ADE.故 AD＝AE.
(2) ∠ ∠CPCPEE＝ ＝∠ ∠APAPDD⇒△PCE∽△PAD⇒AEDC＝PPAC；
∠ ∠PAEPAE＝ ＝∠ ∠PBPDDB⇒△PAE∽△PBD⇒DAEB＝PPAB.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解 (1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°. (2)法一 连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(2)连接 BH，则 BH 为∠ABC 的平分线， ∴∠EBH＝∠HBD＝30°. 由(1)知 B，D，H，E 四点共圆， ∴∠CED＝∠HBD＝30°， ∠HDE＝∠EBH＝30°. ∴∠HED＝∠HDE＝30°. ∵AE＝AF，AD 平分∠BAC，∴EF⊥AD. 又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°， ∴∠CEF＝30°.∴CE 平分∠DEF.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(2)解 由(1)得 A、P、O、M 四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得 OP⊥AP，因为圆心 O 在∠PAC 的内部， 所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共 圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个 顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么 这个四边形的四个顶点共圆．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
2.如图，AB、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B、C，D 是 优弧 上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝______.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析 连接 OB、OC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝ 180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
【训练2】 (2013·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角 形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延 长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD ＝5，则线段CF的长为________．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
形， 又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.
诊断基础知识及其推论与弦切角定理及其推论多 用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段 或角的大小． (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的 点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
关于圆的综合应用
【典例】 如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过 A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分 别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P. (1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD 的长．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点二 与圆有关的比例线段 【例2】 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，
C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求 证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
证明 (1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝ 1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析 设⊙O 的半径为 r(r＞0)， ∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3. 延长 PO 交⊙O 于点 C， 则 PC＝PO＋r＝3＋r. 设 PO 交⊙O 于点 D，则 PD＝3－r. 由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC， ∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则 r＝ 6.
_P_B_·_P_C__
(2)△PAB∽
_△__P_C__A_
(1)已知PA、 PB、PC知二可 求一
(2)求解AB、AC
切线 长定
理
PA、PB是 ⊙O的切线
(1)PA＝PB (2)∠OPA＝
_∠__O_P__B_
(1)证线段相等， 已知PA求PB (2)求角
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角互补 ． ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的 内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角 互补，那么这个四 边形的四个顶点 共圆 ． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角 ， 那么这个四边形的四个顶点 共圆 ．
答案
1 3
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
4.(2014·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直 径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝ ________.
解 析 连 接 BD ， 由 题 意 知 ， ∠ADB ＝ ∠MAB ＝ 35° ， ∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°. 答案 125°
(2)△PAC∽
_△__P_D__B_
(1)在PA、PB、 PC、PD四线段中知 三求一 (2)求弦长及角
(1)求线段PA、PB、 PC、PD (2)应用相似求AC、 BD
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
定理 名称
基本图形
条件
结论
应用
切割 线定
理
PA切⊙O于 A，PBC是 ⊙O的割线
(1)PA2＝
(1)圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的 圆周角等于它所对的圆心角的 一半． ②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同__圆__或__ _等__圆__中，相等的圆周角所对的 弧也相等． (ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆 周角所对的弦是 直径 ． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
诊断自测 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为
直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由 射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝ 6.4. 答案 6.4
△ CAF∽△CBA，所以CCAB＝CCFA，CF＝CCAB2＝83.
答案
8 3
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点三 圆内接四边形的判定及应用 【例3】 (2014·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切
线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点， 圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
答案 50°
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
3.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的值为________．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠ P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴ABDC＝PPDB＝13.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
【训练3】 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交 于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 求证：(1)B、D、H、E四点共圆； (2)CE平分∠DEF.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
证明 (1)在△ABC 中，∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°. ∵AD，CE 分别是△ABC 的角平分线， ∴∠HAC＋∠HCA＝60°， ∴∠AHC＝120°. ∴∠EHD＝∠AHC＝120°. ∴∠EBD＋∠EHD＝180°. ∴B，D，H，E 四点共圆．
(1)
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
法二 连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知， ∠DCE ＝ ∠CAE ＝ 30° ， 又 ∠DCA ＝ 60° ， 故 ∠ECA ＝ 30°，
(2) 又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO， 由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边
答案 6
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题 【例1】 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为
圆 周 上 一 点 ， BC ＝ 3 ， 过 C 作 圆 的 切 线 l ， 过 A 作 l 的 垂 线 AD，AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求∠DAC的度数； (2)求线段AE的长．
解析 由切割线定理得 AE2＝EB·ED，解得 EB＝4.
因为 AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.
由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则
AE∥BC，
因为 AC∥BD，所以四边形 AEBC 是平行四边形．
所 以 AE ＝ BC ＝ 6 ， AC ＝ EB ＝ 4 ， 又 由 题 意 可 得
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(1)证明 连接 OP，OM，因为 AP 与⊙O 相切于点 P，所以 OP⊥AP. 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点，所以 OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补， 所以 A、P、O、M 四点共圆．
又 PA 是切线，PBC 是割线⇒PA2＝PB·PC⇒PPAB＝PPAC.
故AEDC＝DAEB，又 AD＝AE，故 AD2＝DB·EC.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利 用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比 例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比 例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦 定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时 要注意应用切割线定理．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
4．与圆有关的比例线段
定理 名称
基本图形
条件
结论
应用
相交 弦定 理
割线 定理
弦AB、CD 相交于圆内 点P
(1)PA·PB＝
__P_C_·_P_D__
(2)△ACP∽
_△__B_D__P_
PAB、PCD 是⊙O的割 线
(1)PA·PB＝
_P_C__·P__D__
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
2．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它 所夹的弧所对的圆周角．
3．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线垂直于 经过 切点的半径． (2)推论： ①推论1：经过 圆心 且垂直于切线的直线必经过 切点 ． ②推论2：经过 切点 且垂直于切线的直线必经过 圆心．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
【训练1】 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外 接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(1)证明 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角． 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC. (2)解 因为△ABE∽△ADC，所以AADB＝AACE，即 AB·AC＝ AD·AE 又 S＝12AB·ACsin∠BAC，且 S＝12AD·AE， 故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则 sin∠BAC＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC＝90°.
因 PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC＝∠APD.
又 PA 是⊙O 的切线，故∠C＝∠PAB.
所以∠AED＝∠ADE.故 AD＝AE.
(2) ∠ ∠CPCPEE＝ ＝∠ ∠APAPDD⇒△PCE∽△PAD⇒AEDC＝PPAC；
∠ ∠PAEPAE＝ ＝∠ ∠PBPDDB⇒△PAE∽△PBD⇒DAEB＝PPAB.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解 (1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°. (2)法一 连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(2)连接 BH，则 BH 为∠ABC 的平分线， ∴∠EBH＝∠HBD＝30°. 由(1)知 B，D，H，E 四点共圆， ∴∠CED＝∠HBD＝30°， ∠HDE＝∠EBH＝30°. ∴∠HED＝∠HDE＝30°. ∵AE＝AF，AD 平分∠BAC，∴EF⊥AD. 又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°， ∴∠CEF＝30°.∴CE 平分∠DEF.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(2)解 由(1)得 A、P、O、M 四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得 OP⊥AP，因为圆心 O 在∠PAC 的内部， 所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共 圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个 顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么 这个四边形的四个顶点共圆．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
2.如图，AB、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B、C，D 是 优弧 上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝______.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析 连接 OB、OC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝ 180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
【训练2】 (2013·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角 形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延 长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD ＝5，则线段CF的长为________．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
形， 又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.
诊断基础知识及其推论与弦切角定理及其推论多 用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段 或角的大小． (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的 点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
关于圆的综合应用
【典例】 如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过 A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分 别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P. (1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD 的长．
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点二 与圆有关的比例线段 【例2】 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，
C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求 证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
证明 (1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝ 1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析 设⊙O 的半径为 r(r＞0)， ∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3. 延长 PO 交⊙O 于点 C， 则 PC＝PO＋r＝3＋r. 设 PO 交⊙O 于点 D，则 PD＝3－r. 由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC， ∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则 r＝ 6.
_P_B_·_P_C__
(2)△PAB∽
_△__P_C__A_
(1)已知PA、 PB、PC知二可 求一
(2)求解AB、AC
切线 长定
理
PA、PB是 ⊙O的切线
(1)PA＝PB (2)∠OPA＝
_∠__O_P__B_
(1)证线段相等， 已知PA求PB (2)求角
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角互补 ． ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的 内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角 互补，那么这个四 边形的四个顶点 共圆 ． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角 ， 那么这个四边形的四个顶点 共圆 ．
答案
1 3
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
4.(2014·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直 径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝ ________.
解 析 连 接 BD ， 由 题 意 知 ， ∠ADB ＝ ∠MAB ＝ 35° ， ∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°. 答案 125°
(2)△PAC∽
_△__P_D__B_
(1)在PA、PB、 PC、PD四线段中知 三求一 (2)求弦长及角
(1)求线段PA、PB、 PC、PD (2)应用相似求AC、 BD
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
定理 名称
基本图形
条件
结论
应用
切割 线定
理
PA切⊙O于 A，PBC是 ⊙O的割线
(1)PA2＝