精品解析：【全国百强校】吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试数学(文)试题(解析版)

长春市实验中学2016级高三上学期
期末考试数学（文科）试卷
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．
【详解】∵M＝，N＝{x|1≤e x≤e}＝{x|0≤x≤1}，
∴M∩N＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，由题意得，解得a=2，故选A 考点：
点评：解决本题的关键是掌握纯虚数的定义
3.方程的根的个数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：方程的根转化为函数的交点个数，通过函数图像可知有两个交点，即方程有两个根
考点：函数性质及函数与方程的转化
4.等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的前n项和求得，再由等差数列的性质得答案．
【详解】在等差数列{a n}中，由，
得，即＝4．又＝2，
∴，
∴=2，
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．
5.已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵，∴.
∴，即，
∴.故选B.
【考点定位】向量的坐标运算
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6.将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，
则函数的图像的一个对称中心是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则
，由题可得当时，.即函数的图象的一个对称中心是
故选D
7.若如图的程序框图输出的是，则①应为（）
A. ?
B. ?
C. ?
D. ?
【答案】A
【解析】
由于,所以退出循环体时，n的值为7,因而应填条件为.
8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为的等腰直角三角形为底面、高为的三棱锥，它的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，外接球直径,表面积为，故选B.
考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积公式.
9.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.
考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
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10.设函数，若，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：当时,；当
时,.综上,实数的范围为.故选B.
考点：对数的性质；分类讨论思想.
【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法：（1）若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小．（2）若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数．（3）若底数、真数均不同，则经常借助中间量“”、“”或“”比较大小.
11.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有
性质．下列函数中具有性质的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：选项A中，令具有性质，故选A.
考点：导数及其性质.
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12.已知函数，则函数满足（）
A. 最小正周期为
B. 图像关于点对称
C. 在区间上为减函数
D. 图像关于直线对称
【答案】D
【解析】
∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•
=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，
故它的最小正周期为，故A不正确；
令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；
在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，
故选：D．
二、填空题.
13.已知实数满足约束条件，则的最小值是（）．
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示,当在时取最小值,此时.
考点：简单的线性规划.
14.设是等差数列的前项和，若，，则公差（）．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.
【详解】由题意可知，，即，
又，两式相减得，.
【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
15.在中，若，，，则__________ .
【答案】
【解析】
在中，若，，∴ A 为锐角，，，则根据正弦定理=。

16.已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则（）．【答案】
【解析】
【分析】
根据f（x）是周期为4的奇函数即可得到f（）＝f（﹣8）＝f（）＝﹣f（），利用当0＜x＜2时，f（x）＝4x，求出f（），再求出f（2），即可求得答案．
【详解】∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，
∴f（）＝f（﹣8）＝f（）＝﹣f（）
∵x∈（0，2）时，f（x）＝4x，
∴f（）＝﹣2，
∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，
∴f（-2）＝f（﹣2+4）＝f（2），同时f（﹣2）＝﹣f（2），
∴f（2）＝0，
∴f（）+f（2）＝﹣2．
故答案为：﹣2
【点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式f（x）所在区间上，属于中档题．
三解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正项等比数列，其前n项和为满足：，，
（1）求；
（2）令，数列的前n项和为，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设公比为q（q>0），由已知可得解得q=3，，可得.
(2)，再在每一段中求和，可得结果.
【详解】（1）设公比为q（q>0）
由已知可得：解得q=3，q=-1（舍）
，解得，
(2)，
所以当时，；
当时，
综上可知.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
18.某中学对高三年级的学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：）：
1
8
5 20
21
22
男生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”；女生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”.
(1) 求女生立定跳远成绩的中位数；
(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；
(3) 若从(2)问所抽取的6人中任选2人，求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.
【答案】（1）166.5cm（2）4人（3）
【解析】
【分析】
（1）由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数．
（2）男生成绩“合格”的有8人，“不合格”的有4人，用分层抽样的方法，能求出其中成绩“合格”的学生应抽取的人数．
（3）由（2）可知6人中，4人合格，2人不合格，设合格学生为A，B，C，D ，不合格学生为,利用列举法能求出这2人中恰有1人成绩“合格”的概率．
【详解】(1) 女生立定跳远成绩的中位数cm．
(2)男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为，用分层抽样的方法抽取6个人，
则抽取成绩“合格”人数为4人；
（3）由(2)设成绩“合格”的4人为A，B，C，D，成绩“不合格”的2人为,从中选出2人有（A,B），（A,C），（A,D），（A ,），（A ,），（B,C），（B,D），（B ,），（B ,），（C,D），（C ,），（C ,），（D ,），（D ,），（），共15种，
其中恰有1人成绩“合格”的有（A ,），（A ,），（B ,），（B ,），（C ,），（C ,），（D ,），（D ,），共8种，故所求事件概率为.
【点睛】本题考查中位数、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、分层抽样、等可能事件概率计算公式的合理运用．
19.已知椭圆C：的右焦点F2和上顶点B在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B，故c=1，b=，可求椭圆标准方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线的方程为， 与椭圆方程联立得：，
利用韦达定理得到，又，求得的最小值，即
可得的最小值.
【详解】（1）椭圆C：的右焦点F2和上顶点B在直线上，
椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B，
故c=1，b=，a2=b2+c2=4，∴所求椭圆标准方程为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线的方程为
联立得：，
，
=，
,
，
令，
函数在上为增函数，
故当即时，，
此时三角形的面积取得最小值为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的表示方法及最值的求法，解题时要认真运算，属于中档题．
20.四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，M为PA 上一点，且，
（1）证明：PC//平面MBD；
（2）若，四棱锥的体积为，求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）连结AC交BD于N点，连结MN，可证，从而可证得.
（2）不妨设，根据四棱锥的体积为，解得；利用等体积法，
设点到平面的距离为，,解得，可得结果.
【详解】（1）连结AC交BD于N点，连结MN，则∽
又，，，
，
（2）不妨设，因为PA=AD=3，四棱锥的体积为，
所以，解得；
设点到平面的距离为，
利用体积相等，,在中，
,
利用余弦定理可求得,所以，
所以三角形的面积,
代入中得：，解得，
又因为,所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法及三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21.已知函数的图象与直线相切，
（1）求b的值；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）b=1（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出函数的导函数，利用，得到切点坐标，代入求b的值；
（2）由，
设（x＞0），利用导函数求出g（x）在x∈[，e]上的最大值即可求实数a的取值范围．【详解】（1）
，在上为增函数，且
切点的坐标为，将代入得1+b=2，b=1
(2)由，
令
，
，
时，g(x)为减函数，时，g(x)为增函数，
，显然,
.
【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题．当a≥g（x）恒成立时，只需要求g（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求g（x）的最小值，这种转化是解题的关键.
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
⑴ 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
⑵ 试判断曲线与是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离；若不存在，说明理由.
【答案】(1)曲线：，曲线：；(2).
【解析】
试题分析：(1) 根据参数方程与普通方程的关系，对于曲线消去参数可得：，再根据极坐标方程与直角坐标方程的关系，对于曲线可转化为：；(2) 根据题意显然曲线：为直线，则
其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，
由，，得.
试题解析：(1) 对于曲线有，对于曲线有.(5分)
(2) 显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，
由，，得. (10分)
考点：1.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化；2.利用直线的参数方程的几何意义求解
23.[选修4－5：不等式选讲]
设函数，.
⑴ 当时，求不等式的解集；
⑵ 对任意恒有，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据找零点法去绝对值将函数改写为分段函数,根据函数的单调性结合数形结合可求得不等式的解集．（Ⅱ）根据公式可求得函数的最小值,使其最小值大于等于3即可求得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）当时，
所以的解集为或
(2),由恒成立，有，解得
．所以的取值范围是．
考点：绝对值不等式．。