高三数学上学期开学考试试题理_1 3

泸县第二中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理
第I 卷〔选择题60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个
选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.设复数z 满足，那么z =
A. B. C. D.
2.集合，
，那么
A.
B. C.
D.
3.某校为理解高二的1553名同学对老师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除n 个个体，然后把剩下的个体按0001，0002，0003……编号并分成m 个组，那么n 和m 应分别是 ，50
，30
，50
，31
4.双曲线
的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为
A. B. C.
D. 5.等比数列中，
，，那么数列前3项和
A.
B.
C.
D.
6.设l ， m 是两条不同的直线， α是一个平面，那么以下命题正确的选项是 A. 假设l m ⊥， m α⊂，那么l α⊥
B. 假设//l α， //m α，那么//l m
C. 假设//l α， m α⊂，那么//l m
D. 假设l α⊥， //l m ，那么
m α⊥
7.在矩形ABCD 中， 4,3AB AD ==，假设向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与
ADP ∆的面积都不小于2的概率为
A.
1
4
B.
1
3
C.
4
7
D.
49
8.函数为偶函数，且在上单调递减，那么
的解集为 A.
B.
C. D.
9.以下三个数：33
ln ,ln ,ln 3322
a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的选项是 A. a c b >>
B.a b c >>
C. b c a >>
D.b a c >>
10.如图，在正方体ABCD －A 'B 'C 'D '中,平面垂直于对角线AC ',且平面截得正方体的六个外表得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,那么
A. S 为定值,l 不为定值
B. S 不为定值,l 为定值
C. S 与l 均为定值
D. S 与l 均不为定值
11.函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一
的
使得
,那么的取值不可能为〔 〕
A. B. C.
D.
12.函数
定义域为，记
的最大值为
，那么
的最小
值为〔 〕 A.
B.
C.
D.
第II 卷〔非选择题90分)
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

13.平面向量与的夹角为60°，，，那么等于.__________．
14.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，那么该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案一共有______种.
2n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a ，那么直线6a y x =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 ． 16.如下图，在平面四边形ABCD 中，假设
，
，
为正三角形，那么
面积的最大值为___．
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题。

第22、23题为选考题，考生根据要求答题。

〔一〕必考题：一共60分。

17．〔本大题满分是12分〕
为了研究学生的数学核心素养与抽象才能(指标)、推理才能(指标)、建模才能(指标)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标
的值评定学
生的数学核心素养，假设，那么数学核心素养为一级；假设
，那么数学
核心素养为二级；假设
，那么数学核心素养为三级，为了理解某校学生的数学
核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据： 学生编号
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模才能指标一样条件下综合指标值也一样的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.
18.〔本大题满分是12分〕
如图，在ABC ∆中， 1
2,cos 3
AB B ==
，点D 在线段BC 上.
〔1〕假设3
4
ADC π∠=,求AD 的长； 〔2〕假设2,BD DC ACD =∆的面积为423,求
sin sin BAD
CAD
∠∠的值.
19.〔本大题满分是12分〕 如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，为的中点，
平面
为
的中点，
，
，
〔1〕证明：平面；
〔2〕假如二面角的正切值为2，求的值．
20.〔本大题满分是12分〕
如下图，圆O：，，，D为圆O上任意一点，过D作圆O的切线分别交直线和于E，F两点，连AF，BE交于点G，假设点G形成的轨迹为曲线C．
记AF，BE斜率分别为，，求的值并求曲线C的方程；
设直线l：与曲线C有两个不同的交点P，Q，与直线交于点S，与直线交于点T，求的面积与面积的比值的最大值及获得最大值时m的值．
21.〔本大题满分是12分〕
函数.
〔1〕讨论函数的单调性； 〔2〕假设函数
在
处获得极值，不等式
对
恒成立，
务实数的取值范围； 〔3〕当时，证明不等式
.
〔二〕选考题：一共10分。

请考生在第22、23题中任选一题答题。

假如多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕
以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的直角坐标为
()1,0，假设直线l 2cos 10,4πρθ⎛
⎫+-= ⎪⎝⎭
曲线C 的参数方程是24{
4x t y t ==〔t 为参数〕.
〔1〕求直线l 和曲线C 的普通方程； 〔2〕设直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11
.MA MB
+
．
〔1〕求不等式的解集；
〔2〕假设不等式的解集是非空的集合，务实数的取值范围．
2021-2021学年泸县第二中学高三开学考试
数学〔理〕试题答案
3.C
13.. 14.120
15.332
16.
17.〔1〕由题可知:建模才能一级的学生是；建模才能二级的学生是；建
模才能三级的学生是
.
记“所取的两人的建模才能指标一样〞为事件，记“所取的两人的综合指标值一样〞为事件.
那么
(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下4
人
的所有可能取值为0,1，2，3.
随机变量的分布列为：
1
2
3
18.解析：〔I 〕在三角形中，∵1
cos 3
B =，∴22sin 3B =．………………2分
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB AD ADB B
=
∠， 又2AB =， 4
ADB π
∠=
， 22sin 3B =
．∴8
3
AD =．………………5分 〔II 〕∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，，
又4
23ADC S ∆=
，∴42ABC S ∆=，………………7分 ∵1
·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =，
∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠， 1
·sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=∠，
2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?
sin BAD AC
CAD AB
∠=∠，………………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠． ∴42AC =，∴
sin 2?42sin BAD AC
CAD AB
∠==∠．………………12分
19. 〔1〕证明：由题意，∠ADC=45o
，AD=AC =1,故∠DAC=90o
即DA⊥AC.又因为 PO⊥平面ABCD,
所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC 4分
〔2〕法一：连结DO,作MG⊥DO 于G ，作GH⊥AO 于H ，因为M 是PD 中点，且MG⊥DO，所以G 为DO 中点，且MG⊥平面ABCD ，显然，∠MHG 即为二面角M-AC-D 的平面角. 8分
因为GH⊥AO，且G为DO中点，所以，而，故，PO="2MG=2." 12分
法二：建立如下图的空间直角坐标系O-xyz，那么,，
，，
设平面MAC的法向量为，，，那么
，所以的一个取值为
10分
平面ACD的法向量为.
设二面角的平面角为，
因为，所以
a=2 12分
20.解：〔1〕设〔〕，
易知过点的切线方程为，其中
那么，，
∴
设，由〔〕
故曲线的方程为〔〕
〔2〕，
设，，那么，，
由且，
∵直线与直线交于点，与直线交于点
∴，
∴
∴，令，且
那么
当，即，时，获得最大值.
21.解：〔1〕解．
当时，，从而，
函数在上单调递减；
当时，假设，那么，从而，
假设，那么，从而，
函数在上单调递减，在上单调递增．
〔2〕解根据〔1〕函数的极值点是，假设，那么．
所以，即，
由于，即．
令，那么，
可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故
，
所以的最小值是，
故只要即可，
故的取值范围是．
〔3〕证明不等式．
构造函数，
那么，
可知函数在上
，
即函数
在
上单调递增，由于，
所以，所以
，
所以
．
22.解：(1)2cos 10,4πρθ⎛⎫
+-= ⎪⎝
⎭
所以cos sin 10ρθρθ--= 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 得10x y --=
因为2
4{,4x t y t
==消去t 得24y x =
所以直线l 和曲线C 的普通方程分别为10x y --=和2
4.y x = (2)点M 的直角坐标为()1,0,点M 在直线l 上，
设直线l 的参数方程： 21,
2{2,
2
x t y t =+
=〔t
为参数〕
，,A B 对应的参数为12,t t ， 24280t t --=. 121242,8t t t t +==-.
()
2
1212
1212
12
411
t t t t t t MA MB t t t t +--+==.3232
18
+=
=. 23.〔Ⅰ〕
，令
或者
，
得，
，所以，不等式
的解集是．-------6分 〔Ⅱ〕
在
上递减，
递增，所以，
，
由于不等式的解集是非空的集合，所以，
解之，或者
，即实数
的取值范围是
．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。