空间中直线与直线的位置关系(2)优秀教案

2．1．3空间中直线与直线的地点关系（2）【课题】：异面直线所成的角
【教课目的】：
（1）知识目标：
(1)理解并掌握等角定理。

(2)理解异面直线所成的角及异面直线垂直的观点，并能简单应用。

（2）过程与方法目标：
（1）以师生的共同议论为主，与讲解法相联合；
（2）让学生在学习过程不停独立概括整理所学知识。

（3）感情与能力目标：让学生理出本节课知识间的内在逻辑关系，提升学生的学习兴趣
【教课要点】：异面直线所成的角及异面直线垂直的观点
【教课难点】：求异面直线所成的角及判断异面直线垂直。

【教课打破点】：充散发挥长方体作为图形语言的载体作用，把观点、例题讲明、讲透、
讲活。

【教法、学法设计】：不停变换数学识题的陈说方式，在讲堂上擅长发现学生的数学思想，
并与之交流、交流，为学生修建一个“浸润”数学过程性知识的认知环境，使学生以建构方
式学习数学。

【课前准备】：课件
【教课过程设计】：
教课环节教课活动设计企图
①空间两条直线有哪些地点关系？
一、复习引
为研究新知识做准备
②请表达公义 4？
入
学生活动：回答以下问
题。

猜一猜使学生逐渐养成在空
思虑：在平面上，我们简单证明“假如一个角的两边与另一间思虑问题的习惯
个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补” 。

空间中，试试知识“创新”
结论能否仍旧建立呢？
①每人拿两支笔看作两条直线，每桌一组进行操作，看结
论能否建立；
②察看如图棱柱，它的底面是平行四边形（平行六面体），
说明结论能否建立。

（图）
二、研究新
知
学生活动：着手操作，试试解答。

教师活动：课件演示等角定理。

注意提示学生，并不是所相关于平面图形的结论都能够推行到空间中来，可用反例适合说明。

试一试以学生熟知的长方体和正方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的直线与直线之间的地点关系，使学生初步掌
我们知道，平面内两条直线订交成四个角，此中不大于
的角称为它们的夹角。

夹角刻画了一条直线相关于另一条直线倾斜的程度。

近似的，你怎样来定义两条异面直线所成的90°握依照定义、定理对空
间图形进行推理论证的
方法。

角？
指引学生活动：拿两支笔看作直线，操作思虑，试试解答，
能够在小组中商讨。

回答以下问题。

教师活动：评论，课件演示异面直线所成角及异面直线垂直
的观点。

注意重申异面直线所成角的范围，并让学生领会把
立体图形的问题转变为平面图形问题的思想方法。

请大家议论
（议论内容）异面直线所成角的大小，与点 O 的地点选用有没相关系？为何？
考考你
研究：①如图长方体 ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱所在的
直线是相互垂直的异面直线？
（图）
②假如两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，
另一条直线能否也与这条直线垂直？
③垂直于同一条直线的两条直线能否平行？
例 3 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1。

①哪些棱所在直线与直线 BA1 是异面直线？
②直线 BA1 和 CC1的夹角是多少？
③哪些棱所在的直线与直线 AA1垂直？
（图）
学生活动：达成解答。

教师活动：评论学生解答，课件演示答案。

例 4．在三棱锥 S-ABC中，各棱长均为 2，假如 E、 F 分别是SC 与 AB的中点，求异面直线 EF与 SA所成角的大小。

四、拓展
与提升1.判断以下命题能否正确：①若两条直线和第三条直线所
成的角相等，则这两条直线相互平行。

②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线相互平行。

③若
两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线相互平行。

2．如图正方体中， AB的中点为 M， DD1的中点为 N，求异面直
线 B1M与 CN所成的角。

D1
C1
稳固知识，培育技术。

A1B1
N
D
C
A
M B
五、小结
六、作业⒈认识空间“等角定理”。

⒉理解异面直线所成的角及异面直线垂直的观点，会求简单反省概括的异面直线所成的角及判断异面直线垂直。

1．已知 a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ ,那么
b 与
c 的夹角为 __________.
答案：
2．AA1 是长方体的一条棱, 这个长方体中与AA1 垂直的棱共
有_________条 .
答案： 8 条。

3. 如图 , 已知 AA1,BB1,CC1不共面 , 且 AA1∥BB1,AA1=BB1,BB1
∥C C1,BB1=CC1.求证 : △ ABC≌△ A1B1C1.
A1
A B1
C1
B
C
答案：证明：∵AA1∥BB1,AA1=BB1，
∴A CC1A1是平行四边形
∴A C∥ A1C1,AC=A1C1
同理 B1C1∥BC, B1C1= BC
又∵∠ BAC与∠ B1A1C1方向同样
∴∠ BAC=∠B1A1C1
∴△ ABC≌△ A1B1C1.
4．假如直线 a、b 为异面垂直直线，则 a 与过 b 的平面所成的角 a 的范围为（）
A．0°＜ a＜90° B ． 0°≤ a＜ 90°
C．0°＜ a≤90° D ． 0°≤ a≤ 90°
答案： D。

5．如图是正方体的侧面睁开图，，则在这个正方体中：
①BM与 ED平行。

②CN与 BE是异面直线。

③CN与 BM成 60°角。

④ DM与 BN是异面直线。

以上四个命题中，正确命题的序号是（）
（A）①、②、③（ B）②、④
（C）③、④（ D）②、③、④
N
D C M
E A B
F
答案： C。

6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 E 是 A1C1的中点，则直线 CE垂直于（）
A．AC B 。

BD C 。

A1D D 。

A1D1
答案： B。

7、以下命题中，正确结论有（）
（1）假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
（2）假如两条订交直线和另两条订交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等
（3）假如一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
（4）假如两条直线同时平行于第三条直线，那么这两
条直线相互平行
Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个
答案： B
8、角和角的两边分别平行，若50`时，。

答案：50°或130°。

9．如图3，在空间四边形ABCD， E 为 AD的中点， F 为BC的中点，又AC＝ 24， BD＝ 10， AC⊥ BD，求 EF。

A
E
B D
F
图3
C
答案：
解：取 CD中点 G，
连接 EF， FG， GE，
∵AC⊥ BD∴ EG⊥ GF
1 1
EG= AC=12，GF= BD=5
2 2
∴EF=EG 2GF 213
10.一张长方形的纸片ABCD 对折一次， EF 为折痕，再翻开竖直在桌面上，如下图连接AD、 BC，求证：⊿ ADE ≌⊿BCF.
E A
D
F B
C
答案：证明：∵AB∥EF, AB=EF ，
∴A BFE是平行四边形
∴A E∥ BF, AE=BF
同理 ED∥ FC, ED=FC
又∵∠ AED与∠ BFC方向同样
∴∠ AED=∠BFC
∴⊿ ADE ≌⊿ BCF.
12、若 P 为异面直线a、 b 外一点，则过P 与 a、 b 同时：（1）平行的直线有条；
答案： 0。

（2）垂直的直线有条；
答案： 1。

（3）订交的直线有条。

答案： 0或 1。

13、在正方体 ABCD-A 1 B1C1D 1中， P、Q、R、S、 M 分别是棱
A 1B1、
B 1C1、 AB 、 B
C 、 B1 B的中点，则异面直线（1） A 1B和 B 1C所成的角的大小等于；
答案： 60°。

（2） PM 和 RS所成的角的大小等于；
答案： 60°。

（3） BD 1和 B 1C所成的角的大小等于。

答案： 90°。