专题24-1-1 圆的基本概念和性质(知识解读)-九年级数学上册(人教版)

专题24.1.1 圆的基本概念和性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；
2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关
的概念，理解概念之间的区别和联系；
3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.
【知识点梳理】
考点1圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB
弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

【典例分析】
【考点1 圆的定义及性质】
【例1】（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【变式1-1】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【变式1-2】（2021秋•玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，
另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）
A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定
【变式1-3】（2020秋•白云区校级期中）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝．
【考点2 圆的有关概念】
【例2】（2020秋•宜兴市期中）如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2-1】（2021秋•余姚市期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2021秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB 与弦AC之间关系正确的是（）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【变式2-3】（2021秋•凉州区期末）下列结论中，正确的是（）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【例3】（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2020秋•兴化市月考）下列说法中正确的是（）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦
【变式3-3】（2020•凉山州一模）下列说法中，正确的是（）
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．长度相等的两条弧是等弧
C．正多边形一定是轴对称图形
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
专题24.1.1 圆的基本概念和性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
2.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；
2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关
的概念，理解概念之间的区别和联系；
3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.
【知识点梳理】
考点1圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB
弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

【典例分析】
【考点1 圆的定义及性质】
【例1】（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【答案】（1）20°（2）60°
【解答】解：（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
【变式1-1】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【答案】C
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）
A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定
【答案】C
【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．
则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．
故猫和老鼠行走的路径长相同．
故选：C．
【变式1-3】（2020秋•白云区校级期中）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝．
【答案】20°
【解答】解：∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝20°．
故答案为20°．
【考点2 圆的有关概念】
【例2】（2020秋•宜兴市期中）如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】B
【解答】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•余姚市期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以AB≤4．
故选：D．
【变式2-2】（2021秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB 与弦AC之间关系正确的是（）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【答案】D
【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则＝2＝2，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故选：D．
【变式2-3】（2021秋•凉州区期末）下列结论中，正确的是（）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【答案】D
【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
C、此弦不能是直径，命题错误；
D、圆是中心对称图形，正确，
故选：D．
【例3】（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）弦包括直径，故不符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
（4）直径是圆中最长的弦，符合题意，
正确的只有1个，
故选：A．
【变式3-1】（2021秋•永年区月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）弦包括直径，故不符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
（4）直径是圆中最长的弦，符合题意，
正确的只有1个，
故选：A．
【变式3-2】（2020秋•兴化市月考）下列说法中正确的是（）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦
【答案】D
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：D．
【变式3-3】（2020•凉山州一模）下列说法中，正确的是（）
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．长度相等的两条弧是等弧
C．正多边形一定是轴对称图形
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
【答案】C
【解答】解：A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧可能有一条是劣弧，一条是优弧，所以A选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项错误；
C、正多边形一定是轴对称图形，对称轴的条数等于它的边数，所以C选项正确；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．
故选：C．。