高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 新人教A版选修12

1．(2011年高考课标全国卷)复数2＋i
1－2i
的共轭复数是( )
A ．－35i B.35i
C ．－i
D ．i 答案：C
2．(2010年高考山东卷)已知a ＋2i
i
＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选B.∵a ＋2i
i
＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.
∴a ＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝1.
3．(2011年高考江西卷)若z ＝1＋2i
i
，则复数z ＝( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
解析：选C.z ＝1＋2i i ＝i ＋2i 2
i 2＝i －2
－1＝2－i.
4．复数2i
－1＋3i 的虚部是________．
解析：原式＝－1－31＋3
＝
23－2i 4＝32－1
2
i ， ∴虚部为－1
2.
答案：－1
2
一、选择题
1．(2010年高考浙江卷)设i 为虚数单位，则5－i
1＋i
＝( )
A ．－2－3i
B ．－2＋3i
C ．2－3i
D ．2＋3i
解析：选C.5－i 1＋i ＝－－＋－＝4－6i
2
＝2－3i.
2．(2010年高考广东卷)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i
解析：选A.z 1·z 2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i ＝4＋2i.故选A.
3．(2010年高考安徽卷)已知i 2
＝－1，则i(1－3i)＝( ) A.3－i B.3＋i C ．－3－i D ．－3＋i
解析：选B.i(1－3i)＝i －3i 2
＝3＋i.
4．(2010年高考福建卷)i 是虚数单位，(1＋i 1－i
)4
等于( )
A ．i
B ．－i
C ．1
D ．－1
解析：选C.(1＋i 1－i )4＝[(1＋i 1－i )2]2＝(2i －2i
)2
＝1.
5．已知复数z ＝1－2i ，那么1
z
＝( )
A.55＋255i
B.
55－255i C.15＋25
i D.15－25i 解析：选D.1z ＝1
1＋2i ＝
1－2i ＋－＝1－2i
5
＝15－2
5
i. 6．已知z 是纯虚数，z ＋2
1－i
是实数，那么z 等于( )
A ．2i
B ．i
C ．－i
D ．－2i
解析：选 D.设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝b i ＋＋
－＋
＝
2－b ＋b ＋2＝2－b 2＋b ＋2
2i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.
二、填空题
7．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________. 解析：∵z ＝i(2－z )， ∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ，
∴z ＝2i 1＋i ＝1＋i.
答案：1＋i
8．若复数(1＋a i)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a ＝__________.
解析：∵(1＋a i)(2－i)＝(2＋a )＋(2a －1)i 的实部与虚部相等，∴2＋a ＝2a －1.∴a ＝3.
答案：3
9．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 2的共轭复数与z 1的积是实数，则实数t 的值为________．
解析：由题意知z 2＝t －i(t ∈R )，
z 2z 1＝(t －i)(3＋4i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.
∵z 2z 1∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝3
4
.
答案：34
三、解答题
10．计算：(1)2＋2i －2＋(
21＋i
)2010
；
(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11
)(4－3i)．
解：(1)2＋2i －2＋(
21＋i )2010＝2＋2i －2i ＋(22i )1005
＝i(1＋i)＋(1i
)1005＝－1＋i ＋(－i)1005
＝－1＋i －i ＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.
11．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝10
1－3i ，求z .
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝10
1－3i ，
∴a 2
＋b 2
－3i(a ＋b i)＝
＋10
，
∴a 2＋b 2
＋3b －3a i ＝1＋3i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＋3b ＝1，－3a ＝3. ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－3.
∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.
12．已知1＋i 是方程x 2
＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)． (1)求b ，c 的值；
(2)试说明1－i 也是方程的根吗？
解：(1)因为1＋i 是方程x 2
＋bx ＋c ＝0的根，
∴(1＋i)2
＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋
c ＝02＋b ＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝－2
c ＝2.
∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.
(2)方程为x 2
－2x ＋2＝0.
把1－i 代入方程左边得(1－i)2
－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。