2017高考海淀区高三一模理科数学试卷及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习
数学〔理科〕2021.4
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。

考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。

1.集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，那么=A
B
A.{}1x x ≥-
B. {}1x x >-
C. {}0x x ≥ D .{}0x x > 2.复数i(i)(,)z a b a b =+∈R ，那么“z 为纯虚数〞的充分必要条件为
A. 220a b +≠
B.0ab =
C.0,0a b =≠ D .0,0a b ≠=
3.执行右图所示的程序框图，输出的x 的值为 A ．0B ．3
C ．6
D ．8
4.设,a b ∈R ，假设a b >，那么 A.
11
a b
< B. 22a b > C. lg lg a b > D. sin sin a b > 5.1
0d a x x =⎰，1
20d b x x =⎰
，c x =⎰，那么a ,b ,c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
6.曲线〔t 为参数〕，()1,0A -，()1,0B .假设曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，那么实数a 的取值范围为
[1,1]-[2,2]- .[2,2]-
7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为
A. 12
B. 40
C. 60
D. 80
8.某折叠餐桌的使用步骤如下图.有如下检查工程：
工程①：折叠状态下〔如图1〕，检查四条桌腿长相等； 工程②：翻开过程中〔如图2〕，检查''''OM ON O M O N ===； 工程③：翻开过程中〔如图2〕，检查''''OK OL O K O L ===； 工程④：翻开后〔如图3〕，检查1=2=3=4=90∠∠∠∠； 工程⑤：翻开后〔如图3〕，检查''''AB A B CD C D ===.
以下检查工程的组合中，可以正确判断“桌子翻开之后桌面与地面平行〞的是
A. ①②③
B.②③④
C. ②④⑤
D.③④⑤ 二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

O
M N
K
L
'
O '
N '
K '
L 'M 2
图1
图A 'A B '
B 1
D
'
D 3
图'C 234
9.假设等比数列{}n a 满足24
5a a
a =，48a =，那么公比=q ；前n 项和n
S =．
10.1
2
(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为. 11.在
ABC 中，cos c a B =. ①A =；②假设1
sin 3
C =
，那么cos(π)B +=. 12.假设非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ，2||||=a b ，那么向量,a b 夹角的大小为. 13.函数假设关于x 的方程()0f x a +=在(0,)+∞内有唯一实根，那么实数a 的最小值是.
14.实数,,u v ,x y 满足221u v +=，那么z ux vy =+的最大值是.
三、解答题共6小题，共80分。

解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.〔本小题总分值13分〕
π
3
是函数2()2cos sin 21f x x a x =++的一个零点. 〔Ⅰ〕求实数a 的值； 〔Ⅱ〕求()f x 单调递增区间.
16.〔本小题总分值13分〕 据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.
这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议〔简称协议〕中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约亿美元，光纤通讯投资约亿美元.
有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2021 年天津、上海两港口的月吞吐量〔单位：百万吨〕：
〔Ⅰ〕根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；
〔Ⅱ〕从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；
〔Ⅲ〕将〔Ⅱ〕中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望〔不需要计算过程〕.
17.〔本小题总分值14分〕
如图，由直三棱柱11
1
ABC A B C -和四棱锥1
1
D BB C C -构成的几何体中，
∠90°，1AB =，1
2BC BB
==，15C D CD ==，平面
1CC D ⊥平面11ACC A .
〔Ⅰ〕求证：1
AC DC ⊥；
〔Ⅱ〕假设M 为1
DC 中点，求证：//AM 平面1
DBB ；
〔Ⅲ〕在线段上〔含端点〕是否存在点P ，使
直线与平面1
DBB 所成的角为π3？假设存在，求BP BC
的值，假设不存
在，说明理由.
M
函数2
=-+-+，其中实数3
()24(1)ln(1)
f x x ax a x
a<.
〔Ⅰ〕判断1
f x的极值点，并说明理由；
x=是否为函数()
〔Ⅱ〕假设()0
f x≤在区间[0,1]上恒成立，求a的取值范围.
19.〔本小题总分值14分〕
椭圆G:，与x轴不重合的直线l经过左焦点
F，且与椭圆G相交于A，
1
B两点，弦的中点为M，直线与椭圆G相交于C，D两点．
〔Ⅰ〕假设直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
〔Ⅱ〕是否存在直线l，使得2
=⋅成立？假设存在，求出直
AM CM DM
线l的方程；假设不存在，请说明理由．
含有n 个元素的正整数集1
2
{,,,}n
A a a a =⋅⋅⋅1
2(,3)n a
a a n <<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：
对任意不大于()S A (其中1
2()n S A a
a a =++⋅⋅⋅+)的正整数,k 存在数集A 的一个子集，
使得该子集所有元素的和等于k . 〔Ⅰ〕写出1
2
,a a 的值；
〔Ⅱ〕证明：“1
2,,
,n a a a 成等差数列〞的充要条件是“(1)
()2
n n S A +=
〞； 〔Ⅲ〕假设()2017S A =，求当n 取最小值时，n
a 的最大值.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕
二、填空题〔本大题共6小题,每题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕
190,3
-
22
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.〔总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由题意可知π()03
f =，即2ππ2π()2cos sin 103
3
3
f a =++=
即
2
π1()21032f ⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
， 解得
a =.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得
2
()2cos
21f x x x =+
cos222x x =+
5π
2sin(2)26
x =+
+ 函数sin y x =的增区间为ππ[2π,2π],2
2
k k k -+∈Z .
由π5ππ2π22π2
6
2
k x k -<+<+，k ∈Z ，
得2ππππ3
6
k x k -<<-，k ∈Z ，
所以，()f x 的单调递增区间为2ππ[π,π]3
6
k k --，k ∈Z .
16.〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕本次协议的投资重点为能源，
因为能源投资340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大， 〔Ⅱ〕设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨. 1分
根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐
量之和分别是：
56，49，59，54，54，57，59，58，58，56，55，56，
其中超过55百万吨的月份有8个，
所以，82
P A==；
()
123
〔Ⅲ〕X的数学期望8
EX=.
17.〔本小题总分值14分〕
解：{说明：此题下面过程中的标灰局部不写不扣分} 〔Ⅰ〕在直三棱柱11
1
ABC A B C -中，1
CC ⊥平面ABC ，
故⊥1，
由平面1D ⊥平面1A 1且平面1D ∩平面1A 11， 所以⊥平面1D ， 又D C 1⊂平面1D ， 所以⊥1.
〔Ⅱ〕在直三棱柱11
1
ABC A B C -中，1
AA ⊥平面ABC ，
所以1
AA
AB ⊥，1AA AC ⊥，
又∠90°，
所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -， 依据条件可得(0,0,0)
A
，0)
C
，
1C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B
，2)D ，
所以1
(2,0,0)BB
=
，(1,BD =，
设平面1
DBB 的法向量为(,,)x y z =n ， 由即 -
令1y =
，那么z =0x =
，于是(0,1,=n ，
因为M 为1
DC
中点，所以3(2
M
，所以3
(2
AM =，
由3((0,1,02
AM ⋅=⋅=n 可得AM ⊥n ，
所以AM 与平面1
DBB 所成角为0，又AM ⊄平面1
DBB ， 所以//AM 平面1
DBB .
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知平面1BB D
的法向量为(0,1,=n ．
设BP BC λ−−→−−→
=，[]0,1λ∈，
那么,1)P λ-
，(1,1)DP λ−−→
=---. 假设直线DP 与平面1
DBB 成角为π3
，那么
M
cos ,DP DP DP
−−→
−−→
−−→
⋅〈〉=
=
=
n n n 解得5[0,1]4
λ=∉，
故不存在这样的点．
{说明1：如果学生如右图建系，关键量的坐
标如下： 〔Ⅱ〕1
(0,2,0)BB
=，(3,1,1)BD =，
由即
(1,0,=-n ，
3,1)2M ，所以3
(3,,1)2
AM =，
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知平面
1DBB 的法向量为(1,0,=n ．
设BP BC λ−−→−−→
=，[]0,1λ∈
， 那么,0,1)P
λ-
，1,1)DP λ−−→
=---. }
{说明2：如果学生如右图建系，关键量的坐
标如下：
〔Ⅱ〕1
(2,0,0)B B
=，(1BD =-，
由即
(0,1,=-n ，
1(2M
，所以3
(2
AM =-， 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知平面
1DBB 的法向量为(0,1,=n ．
设BP BC λ−−→−−→
=，[]0,1λ∈，
那么,1)P
λ-
，1)DP λ−−→
=--.
} {说明3：如果学生如右图建系，关键量的坐
标如下： 〔Ⅱ〕1
(2,0,0)BB
=，(1BD =，，
由即
(0,
=n ，
M
1
(,0,1)2M ，所以3
(,2
AM =， 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知平面
1DBB 的法向量为(0,1,
=n ．
设BP BC λ−−→−−→
=，[]0,1λ∈， 那么
(,1)P λ--，(,1)DP λ−−→
=---. }
18.〔本小题总分值13分〕 解：法1：
〔Ⅰ〕由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得
函数定义域为(1,)-+∞，
4(1)
'()221
a f x x a x -=-+
+ 22[(1)(2)]1
x a x a x +-+-=+
,
由'()0f x =得121,2x x a ==-. 因为3a <，所以21a -<.
当1a ≤时，21a -≤-，所以'()()f x f x ，的变化如下表：
当13a <<时，121a -<-<，
'()()f x f x ，的变化如下表：
综上，1x =是函数()f x 的极值点，且为极小值点. 〔Ⅱ〕易知(0)=0f ，
由〔Ⅰ〕可知，
当2a ≤时，函数()f x 在区间[0,1]上单调递减，
所以有()0f x ≤恒成立；
当23a <<时，函数()f x 在区间[0,2]a -上单调递增，
所以(2)(0)0f a f ->
=，所以不等式不能恒成立；
所以2a ≤时有()0f x ≤在区间[0,1]上恒成立. 法2：
〔Ⅰ〕由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得
函数定义域为(1,)-+∞，
4(1)
'()221
a f x x a x -=-+
+ 22[(1)(2)]1
x a x a x +-+-=+
令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经历证(1)0g =，
因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， {说明：写明222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=-≠也可以} 由二次函数性质可得，1是2()(1)(2)g x x a x a =+-+-的异号零点， 所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点. 〔Ⅱ〕易知(0)=0f ， 因为
2(1)[(2)]
'()1
x x a f x x ---=
+，
又因为3a <，所以21a -<，
所以当2a ≤时，在区间[0,1]上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，
所以有()0f x ≤恒成立；
当23a <<时，在区间[0,2]a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，
所以(2)(0)0f a f ->
=，所以不等式不能恒成立；
所以2a ≤时有()0f x ≤在区间[0,1]上恒成立.
19.〔本小题总分值14分〕 解：
〔Ⅰ〕由可知1
(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+
设A (11,x y )，B (22,x y )， 由解得，， 所以中点M 21(,)33
-，
于是直线OM 的斜率为1
323
=-12-．
〔Ⅱ〕解法1：
假设存在直线l ，使得
2
AM CM DM
=⋅成立．
当直线l 的斜率不存在时，的中点(1,0)M -，
所以，1)1CM
DM ⋅==，矛盾；
故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程， 得：2222(21)42(1)0k x k x k +++-=， 设A (11,x y )，B (22,x y )，那么，， 于是，
2
121222(1)(1)2221
y y x x k k k k ++=⋅+=⋅-++， 点M 的坐标为(),
AB
直线的方程为：，联立椭圆G 的方程，得：， 设C (x 0，y 0)，那么2222
0002
1(1)4OC x y x k
=+=+⋅， 由题知，
2
2244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，
即：22222241(41)
4()21(21)
k k k k k ++=-++，
化简，得：，故，
所以直线l 的方程为：1),1)22
y x y x =
+=+． 〔〕解法2：
假设存在直线l 使得2
AM
CM DM
=成立
由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-， 由得22(2)210m y my +--=， 设1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y 那么1212
2221
,22
m y y y y m m -+=
=++，
12AB y =-= 2121222
24
()2222
m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 中点M 的坐标为222(,)22
m m m -++，
所以直线CD 的方程为：2
m y x =-，
由得224
2
x m =
+， 由对称性，设0
(,)C x y ，那么0
(,)D x y --，即2024
2
x m =
+
22222
0022
(4)(1)(1)4(2)M M M m m m CM DM x x x x m ++=-+=+-=+，
由||2||AB AM =，2
AM
CM DM
=得2
4AB CM DM
=，
即2
2222(4)(1)
4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭
，
解得
22m =，故m =，
所以直线
l 的方程为：1,1x x =
-=-.
20.〔本小题总分值13分〕 解： 〔Ⅰ〕1
21,2a
a ==.
〔Ⅱ〕先证必要性 因为121,2a
a ==，又12,,
,n a a a 成等差数列，故n a n =，所以(1)
()2
n n S A +=
； 再证充分性
因为1
2n a
a a <<⋅⋅⋅<，12,,,n a a a 为正整数数列，故有
12341,2,3,4,,n a a a a a n ==≥≥⋅⋅⋅≥,
所以1
2()n S A a
a a =++⋅⋅⋅+(1)
122
n n n +≥++⋅⋅⋅+=
, 又(1)()2
n n S A +=，故m
a
m =(1,2,
,)m n =，故12,,
,n a a a 为等差数列.
〔Ⅲ〕先证明12(1,2,,)m m a m n -∀≤=⋅⋅⋅.
假设存在12p p
a
->，且p 为最小的正整数.
依题意3p ≥,那么
2112112221p p p a a a ---++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-，又因为12n a a a <<
<,
故当1
(2
1,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的
和.
故假设不成立，即12(1,2,,)m m a m n -∀≤=⋅⋅⋅成立. 因此112201712221n n n a a a -=++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-, 即22018n ≥，所以11n ≥. 因为2017S =，那么1
212017n n a a a a -++⋅⋅⋅=-，
假设20171n
n a
a -<-时，那么当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在
假设干不同元素的和为k ，
故20171n
n a
a -≥-，即1009n a ≤.
此时可构造集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =.
因为当{2,21}
k∈+时，k可以等于集合{1,2}中假设干个元素的和，故当2222
k∈+++时，k可以等于集合2
{1,2,2}中假设干不同元{2,21,22,23}
素的和，
……
故当8888
{1,2,,2}中假设干不k∈+++时，k可以等于集合8
{2,21,22,,2255}
同元素的和，
故当{4973,4974,,497511}
{1,2,,2,497}中假设k∈+++时，k可以等于集合8干不同元素的和，
故当{1009,10091,10092,,10091008}
k∈+++时，k可以等于集合
8
{1,2,,2,497,1009}中假设干不同元素的和，
所以集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}
A=满足题设，
所以当n取最小值11时，
a的最大值为1009.
n。