中考数学冲刺卷(1)及答案

中考数学冲刺卷 (1)
说明：本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1．如果a 与－2互为相反数，那么a 是（ ）． A ．2 B ．－2 C ．
21 D ．－2
1
2．某网站数据显示，2015年第一季度我国彩电销量为1233万台，将1233万用科学计数法
可表示为( ) ． A ．5
1033.12⨯ B ．3
10233.1⨯ C ．8
101233.0⨯ D ．7
10233.1⨯ 3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
4．一手机店某星期销售苹果手机每天的数量如下：
这组数据的众数、中位数依次是（ ）．
A ．8，8
B ．8，9
C ．10，9
D ．10，10
5．等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是（-3，0），（5，0），则对于另一
顶点，下列说法错误．．的是（ ）． A ．横坐标可确定 B ．纵坐标无法确定 C ．位置在第二象限 D ．到x 轴的距离为1 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压(kPa)P 与气体体积3
(m )V 之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．当气球内的气压大于120(kPa)时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A ．小于3
1.25m B ．大于3
1.25m C ．小于30.8m
D ．大于3
0.8m
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
(第3题)
7．当分式
2
1
-x 没有意义时，x 的值是 ． 8．分解因式：2x 2﹣8= ．
9的结果是 ．
10．如图，一张三角形纸片ABC ,∠B =45º，现将纸片的一角向内折叠，折痕ED ∥BC ，则∠AEB 的度数为 ． 11．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个图形共有 个★．
12．如图，等边△ABC 的两个顶点A ，C 均在坐标上，BC 与y 轴平行，BC =2，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在x 轴的正半轴上，则旋转后点B 所在位置的坐标为 ．
13．如图，菱形ABCD 中，∠D =60°，CD =4，过AD 的中点E 作AC 的垂线，交CB 的延长线于F ．则EF 的长为 ． 14．若方程组⎩
⎨
⎧=-=+12,
2y x a y x 中的未知数x 的值为正整数，且a ＜18，则a 的值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．先化简,再求值:2
)1()2)(2(---+x x x ,其中2
1-
=x .
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点B （4，2），B
A x ⊥轴于A ．
(1)求tan BOA ∠的值；
(2)将OAB △平移得到O A B '''△，点A 的对应点是A '，点B 的对应点B '的坐标为(22)-，，在坐标系中作出O A B '''△，并写出点O '、A '的坐标．
17．下列图中，点P 、A 、B 均在⊙O 上，∠P =30°，请根据下列条件，使用无刻度的直尺各
画一个直角三角形，使其一个顶点为A ，且一个内角度数为30°． （1）在图1中，点O 在∠P 内部； （2）点C 在弦AB 上．
18．在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外其它都相同.
（1）在其中一个口袋中一次性随机摸出两个球.请写出在这一过程中的一个必然事件； （2）若分别从两袋中随机各取出一个小球，试求取出两个小球颜色相同．．．．的概率.
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
19．博雅中学现有学生2870人，学校为了进一步丰富学生课余生活，组织调查各兴趣小组
活动情况，为此校学生会进行了一次随机抽样调查．根据采集到的数据，绘制如下两个统计图（不完整）：
请你根据统计图1、2中提供的信息，解答下列问题： （1）写出2条有价值信息（不包括下面要计算的信息）；
（2）这次抽样调查的样本容量是多少？在图2中，请将条形统计图中的“体育”部分的
图形补充完整；
（3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是多少？估计该中学现有的学生中，爱
好“书画”的人数．
20．如图，已知一次函数m x y +=4
3
的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且与反比例函数x
y 24
=
(x ＞0)的图像在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D . （1）求m 、n 的值； （2）求△ADC 的面积.
21．如图1是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图2，灯杆AB 与CD 交于点O （点O 固定），灯罩连杆CE 始终保持与AB 平行，灯罩下方FG 处于水平位置．测得
书画
电脑
35% 音乐 体育
图1 图2
OC=20cm，∠COB=70°，∠F=40°，EF=FG，点G到OB的距离为12cm．
（1）求∠CEG度数；
（2）求灯罩的宽度（FG的长，精确到0.1cm，可用科学计算器）．
(参考数据: sin40°=0.642，cos40°=0.766，sin70°=0.939，cos70°=0.342)
22．已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点(不与点A重合)，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交和射线OA于点E．
（1）如图①，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；
（2）若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图②，并说明理由．
五、（本大题共10分）
23．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其
中DE 交直线AP 于点F ．
（1）若∠P AB =20°，求∠ADF 的度数；
（2）在图1中，当∠P AB ＜45°时，∠BEF 是否为定值？如果是求其度数；如果不是，说明理由．
（3）在图2中，当45°＜∠P AB ＜90°时，请直接在图中补全图形,∠BEF 的度数是否会发生变化？若会发生变化，说明如何变化；若不会，说明理由．
六、（本大题共12分）
24．如图，抛物线2
2y ax x =+与x 轴相交于点B ，其对称轴为3x =.
(1）求a的值和顶点A的坐标；
(2)过点O作直线l，使l∥AB，点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边
形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OP Q为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．2 8．2（x +2）（x ﹣2） 9．3 10．90º 11．13+n 12．（0，－1） 13．34 14．13，8，3 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．解:原式=)12(422+---x x x ……………………………………………………2分 =52-x …………………………………………………………………………4分 ∵,2
1
-
=x ∴65)2
1(252-=--⨯=-x . …………………………………………………6分 16．解：(1)
点B （4，2），BA x ⊥轴于A ，
42OA BA ∴==，，………………………………………1分
21
tan 42
AB BOA OA ∴∠=
==．……………………………3分 (2)O A B '''△如图所示，……………………………………5分
O '、A '的坐标分别为(24)O '--，，(24)A '-，
．…………6分 17．（1）画图正确得2分；（2）画图正确得4分．………………………………………6分
18．解：（1）（答案不唯一）
必然事件：一次性摸出颜色不同的两个球. …………………………………………2分 （2）（解法一）所有等可能结果用树状图表示如下：
即所有等可能结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种，
∴P （两球颜色相同）=
3
1
93=………………………………………………………………6分
由上表可知，所有等可能结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种， ∴P （两球颜色相同）=
3
193=. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19．（1）①电脑小组比音乐小组人数多；
②音乐小组体育小组比例大；等等 ·············································································· 2分 （2）∵2835%80÷=，∴样本容量为80. ···································································· 4分 画图如下； ··············································································································· 6分 （3）∵88010%÷=； ··································································································· 7分 ∴287010%⨯=··································· 8分
20．解：(1)∵点C （4，n ）在x
y 24
=
的图象上， ∴n=6,∴C （4，6）．………………2分 ∵点C （4，6）在m x y +=
4
3
的图象上，∴m=3．…………………………………3分 图象如右.…………………………………………………………………………………4分 (2)∵C 点和D 点的坐标分别为(4,6)、（4，0）， 直线34
3
+=
x y 与x 轴的交点A 的坐标为（-4，0）， ∴AD=8，CD=6． △ADC
的
面
积
为
24862
1
=⨯⨯．……………………………………………………8分
21.解：（1）延长CE 交FG 于点H ，
∵CE ∥OB ，FG 处于水平位置，
∴EH ⊥FG ．…………………………………………1分 ∵∠F =40°，EF=FG ，
∴FH=HG ，∠FEH=∠GEH =90°-∠F =50°． ∴∠CEG =130°．……………………………………3分 （2）过点C 作OB 的垂线CM ，垂足为M ， ∵OC =20cm ，∠COB =70°，
∴CM =cm CO COM 70sin 20sin =⋅∠．………5分 延长FG 交OB 于N ，则有HN ⊥OB ． 由CE ∥OB ，CM ⊥OB ，
∴四边形CHNM 为矩形，CM=HN ．………………………………………………6分 ∵点G 到OB 的距离为12cm ，即GH =12cm ，
∴HG=HN －GN=CM －GH==-cm cm 1270sin 20 6.78cm ．
∴灯罩的宽度FG 的长约为13.5cm ．………………………………………………8分
22．解:（1）证明：连结OQ ，
∵QE 为⊙O 的切线，Q 为切点， ∴∠OQE =∠90°．………………………………………………………………………1分 ∵OQ=OB ，∴∠OBP =∠OQB ． ∵OA ⊥OB ， ∴∠AQB =∠45°．
∴∠OBP +∠AQE =∠OQE －∠AQB =45°．…………………………………………3分 （2）∠OBP －∠AQE =45°．（图形正确1分，结论正确1分） …………………5分
连结OQ ，则有∠OQE =∠90°． ∴∠OQA =90°－∠AQE ． ∵OQ=OA ，∴∠QOA =180°－2（90°－∠AQE ）=2∠AQE ．…………………………6分 ∵OQ=OB ，∠AOB =∠90°， ∴∠QOB =90°－∠AOQ =90°－2∠AQE ．
∴∠OBP=2
180BOQ ∠- =45°+∠AQE ，∠OBP －∠AQE =45°．……………………8分
五、（本大题共10分） 23．解：（1）∵点B 关于直线AP 的对称点为E ，∠P AB =20°， ∴AE=AB ，∠EAB =40°．…………………………………1分 由正方形ABCD 可得，AB=AD ，∠BAD =90°．
∴AE=AD ，∠EAD =130°．
∴∠ADF =25°．……………………………………………3分
（2）设∠P AB=α，
由（1）中的结论可知，∠EAB =2α．
∴∠AEB =90°－α，∠AED =2
)290(180α+- =α- 45．……………………5分 ∴∠BEF=∠AEB －∠AED==45°．……………………………………………………6分
（3）如图2，∠PFE 的度数不会发生变化，仍为45°．……………………………7分 设∠P AB=β，
同理∠EAB =2β，∠AEB =90°－β．…………………………………………………8分 ∴∠EAD =360°－90°－2β=270°－2β．………………………………………………9分
∴∠AED =2
)2270(180β-- =β－45°． ∴∠BEF=∠AED+∠AEB =90°－β+β－45°=45°．…………………………………10分
六、（本大题共12分）
24．解：（1）∵点B 与O （0，0）关于x=3对称，
∴点B 坐标为（6，0）. .…………………………………………………………………1分
∴36a +12=0，a =13
-
.……………………………………………………………………2分 ∴抛物线解析式为2123
y x x =-+. 当x =3时，2132333y =-⨯+⨯=, ∴顶点A 坐标为（3，3）. ………………………………………………………………3分
（2）设直线AB 解析式为y =kx +b .
∵A(3，3)，B(，0)，
∴6033
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得16k b =-⎧⎨=⎩， ∴6y x =-+.
∵直线l ∥AB 且过点O ，
∴直线l 解析式为y x =-．
∵点P 是l 上一动点且横坐标为t ，
∴点P 坐标为（,t t -）．…………………………4分
ⅰ）当点P 在第四象限时（t ＞0），
AOB OBP S S S =+=12×6×3+12
×6×t -=9+3t . ∵0＜S ≤18，
∴0＜9+3t ≤18，-3＜t ≤3．
又t ＞0，∴0＜t ≤3．……………………5分
ⅱ）当点P 在第二象限时（t ＜0），
作PM ⊥x 轴于M ，设对称轴与x 轴交点为N . 则
[]ANB PMO ANMP 22
+S
-S 111=3+(-t)(3)33()()222
191(3)222
S S t t t t t =-+⨯⨯---=-+-梯形 =-3t +9．………………………………………………………………………………6分 ∵0＜S ≤18，
∴0＜-3t +9≤18，-3≤t ＜3．
又t ＜0，∴-3≤t ＜0．
∴
t 的取值范围是-3≤t ＜0或0＜t ≤3.…………………………………………8分
(3)存在，………………………………………………………………………………9分 点Q 坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.……………………………………12分。