苏教版高中数学必修五高三年级—第四次月考试卷.doc

高中数学学习材料
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宿州二中高三年级2007—2008学年第四次月考试卷
数学试题（理）
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I 卷（选择题 共55分）
一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分.）
1．已知|)7||3lg(|,++-<∈x x a R x 恒成立,则a 的取值范围是（ ）
A ．1≥a
B ．1>a
C ．1≤a
D ．1<a
2．设)(x f y =是一次函数,,1)0(=f 且)13(),4(),1(f f f 成等比数列,则++)4()2(f f …
=+)2(n f
（ ）
A ．)4(+n n
B ．)32(+n n
C ．)32(2+n n
D ．)4(2+n n
3．函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中
0>mn ，则
n
m 2
1+的最小值为 （ ） A ．
5
12
B ．8
C ．6
D ．4 4．设c b a 、、分别是ABC ∆中C B A ∠∠∠、、所对边的边长,则直线0sin =++c ay x A ）（与0sin )(sin =+-C y B bx 的位置关系是（ ）
A ．垂直
B ．平行
C ．重合
D ．相交但不垂直 5．若圆01222
=++-+y ax y x 和圆12
2=+y x 关于直线1-=x y 对称，过点),(a a C - 的圆
P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是 （ ）
A ．08442=++-y x y
B ．02222=+-+y x y
C ．08442
=+-+y x y
D ．0122
=+--y x y
6．把正奇数数列}12{-n 的各项从小到大依次排
成如右图形状数表：记),(t s M 表示该表中第s
1
3 5 7 9 11
13 15 17 19 … … … …
行的第t 个数，则表中的奇数2007对应于（ ） A ．)14,45(M B ．)24,45(M
C ．(46,14)M
D ．)15,46(M
7..在△ABC 中，若a cos A=b cos B ，则这个三角形的形状是 ( ) A.锐角三角形 B. C.等腰直角三角形 D. 8．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a , t
b ,
()
1
3
a b +这三个向量的终点在同一直线上，()R t ∈，则t 的值为 （ ）
A ．
2
1
； B ．1； C ．2； D ．3 9．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数，βα、是锐角三角
形的两个内角，则
（ ）
A ．)(cos )(sin βαf f <
B ．)(sin )(sin βαf f >
C ．)(cos )(sin βαf f >
D ．)(cos )(cos βαf f > 10．把函数)sin(ϕω+=x y （其中ϕ为锐角）的图象向右平移
8π个单位或向左平移8
3π
个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是 A ．2
π
=
x
B ．4
π
=
x
C ．8
π
-
=x
D ．8
5π
=
x 11．若),(11y x P 是直线0),(:=y x f l 上的一点, ),(22y x Q 是直线l 外一点,则方程
),(),(),(2211y x f y x f y x f +=表示的直线
（ ）
A ．与l 重合
B ．与l 相交于点P
C ．过点Q 且与l 平行
D ．过点Q 且于l 相交
第Ⅱ卷（非选择题 共95分）
二、填空题 （本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
12．把函数5422
+-=x x
y 的图象按向量a 平移，得到22x y =的图象，且a b ⊥, c =),1,1(-
b c =4, 则向量b = .
13．已知(,1)a x =，(2,3)b x =，那么
2
2
a b a b
⋅+的取值范围是
14．已知,m R ∈若22250{(,)|30
}{(,)|25},0x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎪
-≥⊆+≤⎨⎪+≥⎩
实数m 的取值范围为
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行 消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的 含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放
完毕后，y 与t 的函数关系式为 （a 为常数）
，如图所示，根据图中提供
的息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
三、解答题（共6个小题，共79分）
16．(本小题满分12分).若(3cos ,sin )a x x ωω=，(sin ,0)b x ω=,其中0ω>,
记函数()()f x a b b k =+⋅+．
（I ）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2
π
，求ω的取值范围； （II ）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值是21，
求
的解析式．
17、(本小题满分12分)．在A B C ∆中，已知顶点)1,3(-A ，B ∠的内角平分线方程是,
0104=+-y x 过点C 的中线方程为059106=-+y x .求顶点B 的坐标和直线BC 的方程.
18．(本小题满分13分) ．已知函数3214
()333
f x x x x =
--+，直线l ：9x ＋2y ＋c =0． （I ）求证：直线l 与函数y =f (x )的图像不相切；
（II ）若当[2,2]x ∈-时，函数y =f (x )的图像在直线l 的下方，求c 的范围．
19、 (本小题满分14分) ．x 轴正半轴绕原点逆时针旋转1200
得射线OT ，A 在OT 上，B 在x 轴负半
轴上移动，设OA =m ，P 为第二象限的动点，若PB BO =0，且PA PB ，1
2
AO AP ，2AB 成
等差数列。

（1）试问P 点的轨迹C 为何曲线？
()f x 116t a
y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）已知斜率为1
2
的直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N 。

设MN 中点为Q ，求Q 点横坐标的取值范围。

20、(本小题满分14分) ．已知函数c bx x ax x f -+=4
4ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

（1）试确定a,b 的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

21、(本小题满分14分) ．已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且
*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=
（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12
(=-n
b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：
*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+
宿州二中高三年级2007—2008学年第四次月考试卷
数学试题（理）参考答案
一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分.）
DBBAD ADACD C
第Ⅱ卷（非选择题 共95分）
二、填空题 （本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
12、b = (3,-1) . 13、22,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
14、4[0,]3 15、⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-1.0,1611.00101
.0t t t y t ， 6.0
三、解答题（共6个小题，共79分）
16．(本小题满分12分).若(3cos ,sin )a x x ωω=，(sin ,0)b x ω=,其中0ω>,
记函数()()f x a b b k =+⋅+．
（I ）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2
π
，求ω的取值范围； （II ）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值是21，
求
的解析式． 16．解析：∵(3cos ,sin )a x x ωω= (sin ,0)b x ω=
∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+
故()()f x a b b k =+⋅+＝k x x x ++ωωω2
sin cos sin 3
＝
k x x k x x ++-=+-+2
1
2cos 212sin 2322cos 12sin 23ωωωω ＝2
1
)6
2sin(+
+-k x π
ω …………………………4分 （1）由题意可知
222T ππω=≥，∴1ω≤又ω>0，∴0<ω≤1 …………6分 （2）∵T ＝πωπ=，∴ω＝1 ∴f （x ）=sin （2x －6
π
）＋k ＋21
∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,262,6,6πππππx ………………8分
从而当2x －
6π＝6π即x=6π时f max （x ）=f （6π）=sin 6
π
＋k ＋21=k ＋1=21
∴k =－21 故f （x ）=sin （2x －6
π
）…………………12分
17、(本小题满分12分)．在A B C ∆中，已知顶点)1,3(-A ，B ∠的内角平分线方程是,
0104=+-y x 过点C 的中线方程为059106=-+y x .求顶点B 的坐标和直线BC 的方程.
17．解:设),(b a B ,由B ∠的内角平分线方程是,0104=+-y x 得,0104=+-b a ①----2分
又AB 的中点为)2
1
,23(
-+b a 在过点C 的中线方程为059106=-+y x 上, 故0592
1
10236=--⋅++⋅b a ②-----------------------------------4分 由①②可得,5,10==b a .510），点坐标为（
B ∴ ------------------6分 76310)1(5=---=
∴AB k .又B ∠的内角平分线斜率为.4
1
=k
由到角公式
k
k k k k k k k BC BC
AB AB
⋅+-=⋅+-11 ()f x
即BC
BC k k 4
1141764117641+-
=⋅+-,解得92-=BC
k . -------------------------10分 ∴直线BC 的方程为),10(9
2
5--=-x y 即.06592=-+y x
综上, .510），点坐标为（B 直线BC 的方程为.06592=-+y x ------------12分 18．(本小题满分13分) ．已知函数3214
()333
f x x x x =
--+，直线l ：9x ＋2y ＋c =0． （I ）求证：直线l 与函数y =f (x )的图像不相切；
（II ）若当[2,2]x ∈-时，函数y =f (x )的图像在直线l 的下方，求c 的范围． 18．解：（Ⅰ）证明：方法一 2
2
()23(1)4f x x x x '=--=--≥－4．… 2分 根据导数的几何意义知，
函数y =f (x ) 的图像上任意一点处的切线斜率均不小于－4，…… 4分 而直线l ：9x ＋2y ＋c =0的斜率为9
42
-
<-，所以直线l 与函数y =f (x )的图像不相切． ……………………………………6分
方法二 2
()23f x x x '=--．
假设直线l ：9x ＋2y ＋c =0与函数y =f (x )的图像相切，则2
9
232
x x --=-
有实数解，即23
202
x x -+
=有实数解． ……………………………4分 因为△=－2<0，方程2
3202
x x -+=无实数解，所以直线l 与函数y =f (x )的图像不相
切． ………… 6分 （Ⅱ）当[2,2]x ∈-时，函数y =f (x )的图像在直线l 的下方，
即
321493()03322
c
x x x x --+---<对一切[2,2]x ∈-都成立，…… 8分 即32
282333c x x x <-+--对一切[2,2]x ∈-都成立．
令32
28()2333
g x x x x =-+--．因为22()2432(1)10g x x x x '=---=---<，
所以()g x 在[2,2]-上单调递减，…………………………10分 所以当[2,2]x ∈-时，
32min 28
[()](2)22232633
g x g ==-⨯+⨯-⨯-=-．
所以6c <-，所以c 的取值范围是(,6)-∞-．……………………13分
19、 (本小题满分14分) ．x 轴正半轴绕原点逆时针旋转1200
得射线OT ，A 在OT 上，B 在x 轴负半
轴上移动，设OA =m ，P 为第二象限的动点，若PB BO =0，且PA PB ，1
2
AO AP ，2AB 成
等差数列。

（1）试问P 点的轨迹C 为何曲线？ （2）已知斜率为1
2
的直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N 。

设MN 中点为Q ，求Q 点横坐标的取值范围。

解：（1）设P （x ，y ）（x<0，y>0），则B （x ，0），A （2
m -
，32m ）
∴AO =（2m ，-32m ），AP =（x + 2m
，y -32
m ），PB =（0，- y ）
∴PA PB =2y - 3
2
m y ，AO AP =2m x - 32
m y + 2m ，
2
AB =2()2m x +
+2
34
m ……………………2分
PA PB ，1
2
AO AP ，2AB 成等差数列
∴2y - 32
m y + 2()2m x ++234m =2m x - 32
m y + 2m
即2()4
m x ++2y =2
16m （x<0，y>0） ……………………5分
∴P 点的轨迹C 是以(,0)4
m -为圆心，4
m 为半径的圆位于x 轴上方的半个圆
……………………6分 （2）设直线l ：y=
1
2
x+b ，代入圆的方程得 225()042
m
x b x b +++= ……………………8分 直线l 与曲线C 有两个不同的交点（数形结合）得15
08
b m +<<
……………………12分
设00(,)Q x y ，则1202x x x +=
=25-()2
m
b +， ∴055(,)20
5
m x m +∈-- ……………………14分
20、(本小题满分14分) ．已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

（1）试确定a,b 的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得()343
41
ln 4'bx x
ax x ax x f +⋅
+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．……………………4分 （II ）由（I ）知3
()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．
因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞
． ……………………8分
（III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使
2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．
即2
230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得3
2
c ≥
或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
，
，． ……………………14分 21、(本小题满分14分) ．已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且
*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=
（1）求{n a }的通项公式；
（2）设数列{n b }满足1)12
(=-n
b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：
*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+
（Ⅰ）解：由)2)(1(6
1
1111++=
=a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。

……………………2分
又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(6
1
)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ，
得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n
因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。

……………………4分
因此a n +1- a n -3＝0。

从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。

……………………6分 （Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得 22
13log 1log 31n n n
b a n ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭
； 从而12236
3log 2531n n n T b b b n ⎛⎫=+++= ⎪-⎝⎭
……………………8分
因此
3
2236
32
31log (3)log 25
313n 2
n n n T a n ⎛⎫+-+=⋅⋅
⋅⋅ ⎪
-+⎝⎭。

…………………10分 令23n 2·
133··5
6
·23)(3
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x f ,则 2
3
3
)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+n n n n n n f n f 。

因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故
)()1(n f n f ＞+. ……………………12分
特别的120
27
)1()(＞=≥f n f 。

从而2231log (3)log ()0n n T a f n +-+=＞，
即)3(log 1
32++n n a T ＞。

……………………14分 证法二：同证法一求得b n 及T n 。

由二项式定理知当c ＞0时，不等式 c c 31)1(3++＞成立。

由此不等式有
3
3
3
213115112112log 13⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n T n
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+13315312312log 2n ＞
＝)3(log )23(log 1
32
3··48·25·2log 222+=+=-+n a n n n 。

证法三：同证法一求得b n 及T n 。

令A n ＝n n 33··56·23 ，B n ＝n n 313··67·43+ ，C n ＝132
3·
·78·45++n n 。

因1323313133+++-n n n n n n ＞＞，因此2233+=n C B A A n n n n ＞。

从而
3
23
22log 133··5
6·322log 13x n A n n T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+
＞)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。