江苏省南通市海安县实验中学高二数学(选修1-1.2-1)椭圆同步测试苏教版
江苏省海安县实验中学高二数学期中考试试卷 苏教版
江苏省海安县实验中学高二数学期中考试试卷命题/校对：风雨无阻本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列图形符号中，表示输入输出框的是 （ ）2．条件语句的一般形式是“If A Then B Else C ”，其中B 表示的是 （ ） A ．满足条件时执行的内容 B ．条件语句 C ．条件 D ．不满足条件时执行的内容3．若动圆与圆(x-2)2+y 2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B.抛物线 C.双曲线的一支 D.圆4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ） A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至少有1个白球，都是红球 5．右面的伪代码输出的结果是 （ ）A. 3B. 5C. 9D. 136．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是 （ ）A ．70，75B ．70，50C ．75，1.04D ．65, 2.357．在下列结论中，正确的是 （ ）①""p q ∧为真是""p q ∨为真的充分不必要条件；②""p q ∧为假是""p q ∨为真的充分不必要条件； ③""p q ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件； ④""p ⌝为真是""p q ∧为假的必要不充分条件； A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件 是 （ ） A. 都不是一等品 B. 恰有1件一等品 C. 至少有1件一等品 D. 至多有1件一等品 9．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 （ ） A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a10．已知函数f(x)与g(x)的定义域都是R ，则f(x)>g(x)恒成立的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，f(x)>g(x) B. 存在无数个x ∈R,使得f(x)>g(x) C ．∀x ∈R ，都有f(x)>g(x)+1 D. 不存在x ∈R,使f(x)≤g(x) 11．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的. 二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13， 那么将二进制数220061(11111)个转换成十进制数是（ ） A ．22005－2 B ．22006－2C ．22005－1D ．22006－112． 已知实数x 、y 可以在02x <<，02y <<的条件下随机取数，那么取出的数对(,)x y 满足22(1)(1)1x y -+-<的概率是 （ ） A4π B 4π C 2π D 3π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分） 13．右面的伪代码输出的结果S 为 ． 14．x y >，0xy >是11x y<的 条件. 15．移动公司出台一项新的优惠政策：若顾客该月接听电话时间不超过500分钟，则收取8 元的费用，超过500分钟的，超过部分按每分钟0.2元计（不足1分钟按1分钟计）。
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测(二)数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（二）数学试题一、单选题1．若集合{}{}2280,,A xx x x B y y x =--<∈=∈Z R ∣∣，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}0,1D ．∅2．复数i 21iz -=+，则z 的虚部为（ ） A ．3i 2B ．32C ．32-D ．3i 2-3．若 π4sin 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 5πcos 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．1225-B ．725- C ．725D ．12254．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()(),4x f x f x ∀∈-=R ，当[]2,0x ∈-时，()24f x x x =+，则()()()202320242025f f f ++=（ ）A ．6-B ．3-C ．5D ．105．将函数()()()cos 20f x x ϕϕ=+>图象向右平移π6个单位得到奇函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，则ω=（ ）A ．13 B ．23 C ．32D ．37．已知函数()sin f x x =在区间()*ππ,1k k k ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦N 上的值域为k A ，若12k A A A ⋅⋅⋅=∅I I I ，则k 的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．设()(),h x g x 是定义在R 上的两个函数，若1212,,x x x x ∀∈≠R ，有()()()()1212h x h x g x g x -≥-恒成立，下列四个命题正确的是（ ）A ．若ℎ x 是奇函数，则()g x 也一定是奇函数B ．若()g x 是偶函数，则ℎ x 也一定是偶函数C ．若ℎ x 是周期函数，则()g x 也一定是周期函数D ．若ℎ x 是R 上的增函数，则()()()H x h x g x =-在R 上一定是减函数二、多选题9．假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（ ） A ．语文好，不一定上本科 B ．上本科，语文不一定好 C ．不上本科，语文一定不好D ．语文不好，一定不上本科10．已知函数()()π2sin π2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1A 和()()00,20B x x ->，则（ ）A ．π6ϕ=B ．当[]0,1x ∈时，()f x 的值域 1,2C ． AB 的最小值为43D ．函数()y x f x =-有三个零点11．已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（ ）A ．当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是()0,1B ．当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x <C ．若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D ．若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=三、填空题12．若存在[]1,0x ∈-，使得220x x a -+…，则实数a 的最大值是. 13．若0,0m n >>，且210m n +-=，则2n m n+的最小值为. 14．已知函数()sin 1f x x x =-+，若关于x 的不等式()()e e 22x xf ax f a x +--+>的解集中有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos a Ab c B C=++. (1)求A ；(2)设a =222b c +的最大值.16．四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，1,2,PA AB AD PC BC PB ===⊥.(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)若E 是棱PC 上一点，且BE PD ⊥，求AC 与平面ABE 所成角的正弦值.17．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c .将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)若()0.04q c =，求()p c ；(2)若[]95,105c ∈，函数()()()f c p c q c =+.①求()f c 的最小值；②结合调查实际，解释①中最小值的含义，并确定临界值c .18．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l 与E 交于B C ､两点，且直线AB 与AC 的斜率互为相反数，求BC 的中点M 到右焦点F 的距离FM 的最小值. 19．已知函数()()()232ln 3.R 4f x a x x a x a =+-+∈. (1)若曲线y =f x 在点 1,f 1 处的切线方程为y x b =-+，求a 和b 的值； (2)若()2f 是()f x 的极大值，求实数a 的取值范围；(3)当94a =-时，证明：对于任意的()12,0,1x x ∈，有()()()12121f x x f x f x +<++.。
江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
2022-2023学年第二学期高二年级阶段检测（一）数学一、单顶选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设2i1i3i z +=-+，则||z =（ ）A. 1B.32C. 2D.522. 已知()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A -3B. 3C. 13-D.133. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）A. 81πB. 96πC. 108πD. 126π4. 设2012(12)n nn x a a x a x a x +=++++ ，若78a a =，则n =（ ）A. 8B. 9C. 10D. 115. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）A 120种B. 240种C. 420种D. 720种6. 从集合{1,2,3}U =的非空子集中随机选择两个不同的集合A ，B ，则{1}A B ⋂=的概率为（ ）A.421B.542C.17D.5567. 某公园有如图所示A 至H 共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（ ）..ABC DE F GHA. 168B. 336C. 338D. 848. 已知两点A ，M 在双曲2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB AM ⊥ ，且280ON OA ON+⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知m ，n 为异面直线，直线l 与m ，n 都垂直，则下列说法正确的是（ ）A. 若l⊥平面α，则m α∥，n α∥B. 存在平面α，使得l α⊥，m α⊂，n α∥C. 有且只有一对互相平行平面α和β，其中m α⊂，n β⊂D. 至多有一对互相垂直的平面α和β，其中m α⊂，n β⊂10. 已知甲袋中有5个大小､质地相同的球，其中有4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小､质地相同的球，其中有4个红球，2个黑球.下列说法中正确的是（ ）A. 从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率为45B. 从乙袋中随机摸出1个球是黑球的概率为23C. 从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为35D. 从甲､乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是1红1黑的概率为2511. 关于712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式，下列说法正确的是（ ）A. 二项式系数和为128 B. 各项系数和为7-C. 1x -项的系数为280- D. 第三项和第四项的系数相等12. 已知函数()2tan f x x x =-，则（ ）A. 函数()f x 不是周期函数的的B. 函数()f x 的图象只有一个中心对称点C. 函数()f x 的单调减区间为ππ2π,2π,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D. 曲线()ππ22y f x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭只有一条过点()1,0的切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______.（用数字作答）14. 数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为11()2n n na S a +=，则100S =__________．15. 在一次晚会上，9位明星共上演n 个“三人舞”节目，若在这些节目中，任两个人都曾合作过一次，且仅合作一次，则n =___________．16. 三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PC两两垂直，PA PB PC ===M 为平面ABC 内的动点，且满足PM =，记直线PM 与直线AB 的所成角的余弦值的取值范围为_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 设2012()(1)(1)(1)(1)nknk n a x a a x a x a x a x +=++++++++++ ，其中,a n *∈∈R N ．（1）当0,2023a n ==时，求1352023a a a a ++++ 的值；（2）当2a =时，化简：31202341n a a a a a n ++++++ ．18. 已知数列{}n a 中，11a =，()11232n n n a a n -*+=+⨯∈N .（1）判断数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{}n a 的前n 项和nS 19. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ab +++-=（1）求角C ；（2）若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.20. 如图所示，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上，且//OE 平面SAB ，二面角S AB C --，二面角S AD C --均为直二面角．是（1）求证：SE DE =；（2）若2SA AD ==，且钝二面角A BE C --的余弦值为，求AB 的值．21. 已知椭圆:C 22184x y +=，直线l ：(0)y kx n k =+>与椭圆C 交于,M N 两点，且点M 位于第一象限.（1）若点A 是椭圆C 的右顶点，当0n =时，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值；（2）当直线l 过椭圆C 的右焦点F 时，x 轴上是否存在定点P ，使点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22. 设函数()e 2x f x ax =--（1）求()f x 的单调区间（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值2022-2023学年第二学期高二年级阶段检测（一）数学一、单顶选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】4-【14题答案】【答案】10【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】⎡⎢⎣四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）20222 （2）()11211+-+n n 【18题答案】【答案】（1）是等差数列，理由见解析 （2）()12342n n S n -=+-⋅【19题答案】【答案】（1）23π（2）6+【20题答案】【答案】（1）证明见解析. （2）3AB =.【21题答案】【答案】（1）见解析； （2）存在，(4,0)P .【22题答案】【答案】（1）答案见解析 （2）2。
苏教版高中数学选修1-1椭圆同步练习(1)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）椭圆同步练习（1）一．选择题：1．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）A． B．C． D．2．椭圆的焦点坐标是（）．A． B．C． D．3．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（）A． B．C． D．二．填空题：4．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆方程是。
5．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为．6．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．三．解答题：7．椭圆的焦距为6且经过点，求焦点在轴上的椭圆的标准方程．8．椭圆的一个焦点是，且截直线，所得弦的中点横坐标为，求椭圆的标准方程．9．已知方程，，对不同范围内的值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图．10．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．11．椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，为原点，的斜率为，求椭圆的方程．参考答案：一．选择题：1．C 2．C 3．B二、填空题：4． 5． 6．，三．解答题：7．8．设所求椭圆方程为，由，得，将与联立消去得．设，，则，解出、，所求椭圆方程为．9．当时，方程的图形为直线；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆；当时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆．画图略．10．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．四、由直线方程与椭圆方程联立消去得．设，，，则，，，所以…①；又由可得…②．由①，②解得，，所求椭圆为．。
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2-2-1 椭圆的标准方程 -含答案
2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程[思考]121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12. ∴S △12PF F ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3.反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长． 解 如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有AF 1＋AF 2＝2a ＝10，BF 1＋BF 2＝2a ＝10， AF 2＋BF 2＝AB ，所以△AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2 ＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝20.题型三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示． 由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴PB ＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距PA ＝10－r ， 即PA ＋PB ＝10(大于AB ＝6)．∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝AB ＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.分类讨论思想的应用例4 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点．P 为椭圆上的一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值． 分析 已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由PF 1＞PF 2，知∠PF 2F 1＞∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2不会是直角，但是∠F 1PF 2与∠PF 2F 1都有可能为直角，故应分类讨论．解 由题意，得PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝2 5. 根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22， 即PF 21＝(6－PF 1)2＋20，解得PF 1＝143，PF 2＝43，故PF 1PF 2＝72；若∠F 1PF 2为直角，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 即20＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2(由于PF 1＞PF 2， 故舍去PF 1＝2，PF 2＝4)，故PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2的值为72或2.解后反思 分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论．1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案 线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2， ∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 答案 2解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k －1＝1， 解得k ＝2.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 6解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△12pF F ∆2是直角三角形， 则S △12pF F ∆＝12×3×4＝6.4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆． 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， 所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100， 即196－2PF 1·PF 2＝100. 解得PF 1·PF 2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。
苏教版高中数学选修2-1：2.2《椭圆》测试2(选修2—1).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线33y x =的距离是（ ） Ａ．12Ｂ．32Ｃ．1 Ｄ．3答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（ ） Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ） Ａ．15π Ｂ．15π4Ｃ．3πＤ．255π4答案：Ｄ6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n+的点是（ ） Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2150)，，则椭圆的标准方程 是 ．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ． 答案：44111．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围 是 ． 答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=，∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点，OF c ∴=，3AF a ==． 233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：如右图，设1PF 的中点为M ， 则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．椭圆第1题. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值． 答案：解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得222(0)y r x x r =-<<221(22)22S x r r x =+-222()x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．4rCDA B2r CDA B Oxy因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 即梯形面积S 的最大值为2332r ．第2题. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 答案：Ｄ第3题. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．第4题.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．第5题.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．202⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．303⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．313⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 答案：D第6题.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A ．312- B ．12C ．512- D ．22答案：D第7题.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+=_____． 答案：54第8题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能答案：A第9题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能答案：Ｃ第10题.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．答案：证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2222122212243(1)1(1)()432k BD kx x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第11题.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 答案：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，2222122212243(1)1(1)()432k BD kx x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-． 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第12题.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．33C ．12D ．32答案：D第13题. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求AOB △面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意633c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，3AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知2321m k =+，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =，即33k =±时等号成立．当0k =时，3AB =，综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133222S AB =⨯⨯=．第14题.椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．32Ｂ．34Ｃ．22Ｄ．23答案：A第15题.已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：21-第16题.已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：12第17题.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y x=相切于坐标原点O ，椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解:(1) 设圆C 的圆心为 (m ，n )则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a =椭圆的方程为221259x y += ， 右焦点为 F ( 4，0) ； 假设存在Q 点()222cos ,222sin θθ-++使QF OF =，()()22222cos 4222sin 4θθ-+-++=整理得 sin 3cos 22θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+= 得:y O 1A2B2A 1B. . . M1FF2Fx. 210cos 122cos 70θθ++= ， 122812222cos 11010θ-±-±==<-因此不存在符合题意的Q 点.第18题.设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则||OM = ． 答案：2第19题.我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．答案：解：（1） ()()2222012(0)00F c F b c F b c ---，，，，，， ()222220212121F F bc c b F F b c ∴=-+===-=，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．第20题.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且A O B ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，3c =．∴1(3,0)F -，2(3,0)F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22113342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，3(1,)2P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22--第21题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ． （Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．答案：（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即 242234c b cb a c=+， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△，故211BO F AOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即2a b =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭422220022t b x x y -=+． AO1F 2FHxy若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为63t b =． 当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为63t b =． 另一方面，当63t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，6(0)3t b b =∈，使得所述命题成立．。
新苏教版数学(选修1-1)同步练测：2.1圆锥曲线、2.2椭圆(含答案)
2.1 圆锥曲线2.2 椭圆（苏教版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知点A(-1,0),B(1,0),动点P满足P A+PB=3，则动点P的轨迹为________________.2.已知点A（-2，0），B（2，0），动点M满足|MA-MB|=4，则动点M的轨迹为________________.3.动点P到直线x+2=0的距离与它到M（1，0）的距离之差等于 1 ，则动点P的轨迹是________________.4.直线x-2y+2=0经过椭圆（a>b>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________.5.“-3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）6.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为_____________.7.P为椭圆上的点，是两焦点，若∠P＝30°，则△P的面积是________.8.椭圆与连结的线段没有公共点，则正数的取值范围是________.9.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.10.若焦点在轴上的椭圆上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是_______.11.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________．12.椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．二、解答题（本题共2小题，共40分）13.(本小题满分20分)已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.14.(本小题满分20分)已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；。
2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程同步练习(含解析)苏教版选修1-1
2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程同步练习（含解析）苏教版选修1-1课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为______________ (a>b>0)，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝__________；(2)在x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x2b2＝1两个方程中都有a>b>0的条件，要分清焦点的位置，只要看x 2和y 2的分母的大小即可．例如椭圆x 2m ＋y 2n＝1 (m>0，n>0，m≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m<n 时表示焦点在______轴上的椭圆．一、填空题1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为________________________________________________________________________．4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．5．方程x 22m －y2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．7．椭圆E ：x 216＋y24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．8．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______． 二、解答题9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.10.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且PM ＝PA ，求动点P 的轨迹方程．能力提升12.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) 12.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F1F2时轨迹才是椭圆，如果2a＝F1F2，轨迹是线段F1F2，如果2a<F1F2，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．§2.2椭圆2．2.1 椭圆的标准方程知识梳理x2 a2＋y2b2＝1 F1(－c，0)，F2(c,0) 2cy2a2＋x2b2＝1(1)a2－b2(2)x y作业设计1．线段解析∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．2．16解析由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.3．椭圆或线段或无轨迹解析当2a>F1F2时，点M的轨迹是椭圆，当2a＝F1F2时，点M的轨迹是线段，当2a<F1F2时无轨迹.4.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2解析 因椭圆的焦点在x 轴上， 所以sin α>cos α>0，又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 据题意⎩⎪⎨⎪⎧m －1<02m>0－m －1>2m ，解之得0<m<13.6．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.7．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.8．2 120° 解析∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6， ∴PF 2＝6－PF 1＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝ PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x26＝1.10．解 ∵PM＝PA ，PM ＋PO 1＝4， ∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4，∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.11．6解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值为6. 12.解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则BD ＋CE ＝30. 由重心性质可知GB ＋GC ＝23(BD ＋CE)＝20. ∵B、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c＝BC ＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y264＝1 (x≠±10)．去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x ，y)，则有x′2100＋y′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x 3，y′＝y3.故A 点轨迹方程为x 32100＋y 3264＝1.即x 2900＋y2576＝1 (x≠±30)．40691 9EF3 黳'Q{25679 644F 摏4^29697 7401 琁37119 90FF 郿X23531 5BEB 寫qN9。
苏教版数学高二 选修1-1测评2.2.1 椭圆的标准方程
学业分层测评(六) 椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.圆x225＋y216＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.【解析】设椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6. 【答案】 62.若a＝6，b＝35，则椭圆的标准方程是________.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为x236＋y235＝1，在y轴上时，方程为y2 36＋x235＝1.【答案】x236＋y235＝1或y236＋x235＝13.(2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是________.【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是x216＋y212＝1.【答案】x216＋y212＝14.过(－3,2)点且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆方程为________.【解析】与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆可设为x29－k＋y24－k＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.【答案】 x 215＋y 210＝15.把椭圆x 216＋y 29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13，则所得曲线方程为________.【导学号：24830028】【解析】 原方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1.【答案】 x 2＋y 2＝16.椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是________.【解析】 椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，07.方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________.【解析】将方程化为x 22m ＋y 21－m＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m >0，1－m >0，2m >1－m ，解之得13<m <1.【答案】 13<m <18.椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为________.【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22且PF 1＋PF 2＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧PF 21＋PF 22＝64 ①PF 1＋PF 2＝10 ②②2－①，得2PF 1·PF 2＝102－64，∴PF 1·PF 2＝18，∴△F 1PF 2的面积为9. 【答案】 9 二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.10.已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程.【解】 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.[能力提升]1.(2016·绵阳高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 29 ＝1上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则PF 1·PF 2的最大值是________.【解析】 由题意知：PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当PF 1＝PF 2时取“＝”号，故PF 1·PF 2的最大值是16.【答案】 162.已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ ＝PF 2，那么动点Q 的轨迹是________.【解析】 如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF 1＋PF 2＝2a 为常数.又因为PQ ＝PF 2，所以PF 1＋PQ ＝2a ，即QF 1＝2a 为常数.即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆.故Q 的轨迹为圆.【答案】 圆3.(2016·长沙高二检测)若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________.【解析】 如图所示， F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6，由AF 1＋AF 2＝6，得AF 21＋AF 22＋2AF 1·AF 2＝36.又在△AF 1F 2中， AF 21＋AF 22－F 1F 22＝2AF 1·AF 2cos 45°， 所以36－2AF 1·AF 2－8＝2AF 1·AF 2， 所以AF 1·AF 2＝282＋2＝14(2－2)，所以S △AF 1F 2＝12AF 1·AF 2 sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1). 【答案】 7(2－1)4.已知点P (6,8)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.试求(1)椭圆的方程. (2)求sin ∠PF 1F 2的值.【解】 (1)因为PF 1→·PF 2→＝0，所以－(c ＋6)(c －6)＋64＝0，所以c ＝10， 所以F 1(－10,0)，F 2(10,0)，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝(6＋10)2＋82＋(6－10)2＋82＝125，所以a ＝65，b 2＝80.所以椭圆方程为x 2180＋y 280＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12F 1F 2·y P ＝80，所以PF 1·PF 2＝160，又PF 1＋PF 2＝125，所以PF 2＝45，所以sin ∠PF 1F 2＝PF 2F 1F2＝4520＝55.。
江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、直线ππ2cos 30,63x y αα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的取值范围是( )A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π2π,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=都相切的圆的标准方程为( )A.22(1)(1)5x y -+-=B.22(1)(1)5x y +++=C.22(1)5x y -+=D.22(1)5x y +-=3、设a 、b 、c 分别是△ABC 中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin A cy x a a=--与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.重合D.平行或重合4、一束光线从点(2,3)A -射出，经x 轴反射后与圆2264110x y x y +--+=相交于B 、C 两点，且||2BC =，则反射光线所在直线的斜率为( ) A.65或56B.45或54C.43或34D.32或235、已知圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈上存在两个点到点(1,2)A -的距离为5，则m 可能的值为( ) A ．5B ．1C ．1-D ．3-6、已知直线1110a x b y ++=和直线2210a xb y ++=都过点(2,1)A ，则过点()111,P a b 和点()222,P a b 的直线方程是( )A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．210x y +-=D ．210x y ++=7、若方程212x x m -=+有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,0)[2,)-⋃+∞B ．[3,0)(0,3]-⋃C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞8、已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点过点.P 作圆M 的切线P A ,PB ，切点为A 、B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9、已知平面上一点(5,0)M ，若直线l 上存在点P 使4PM =，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是( ) A.1y x =+B.2y =C.430x y -=D.210x y -+=10、以下四个命题表述正确的是( ) A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142xy+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点()1,211、已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法错误的是( )A.y x -2B.22x y +的最大值为7+C.y xD.x y +的最大值为212、已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，则下列命题中正确的是( ) A.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点B.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切C.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D.存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13、已知直线1:32l mx y m+=-，2:(2)1l x m y ++=. 若12l l //，则实数m =______；若12l l ⊥，则实数m =______.14、直线l 被两条直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=截得的线段的中点为()1,2P -，则直线l 的方程为______.15、直线1y kx k =-+与圆224x y +=交于,A B 两点,则AB 最小值为______.16、已知圆222:2210M x y ax by a +--+-=与圆22:2220N x y x y +++-=交于,A B 两点,且这两点平分圆N 的圆周,则圆M 半径最小时圆M 的方程为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点(2,⎛- ⎝⎭;（2）过点，且与椭圆221259y x +=有相同的焦点．18、若直线l 将圆()()22129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则求直线l 的方程。
高二数学选修11.21椭圆同步测试 试题
海安县实验中学高二数学(选修1-1.2-1)椭圆同步测试一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕 1．以下命题是真命题的是〔 〕A ．到两定点间隔 之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的间隔 之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的间隔 之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的间隔 之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．假设椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点)23,25(-，那么椭圆方程是〔 〕A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．假设方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为〔 〕 A ．〔0，+∞〕B ．〔0，2〕C ．〔1，+∞〕D ．〔0，1〕4．设定点F 1〔0，－3〕、F 2〔0，3〕，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，那么点P 的轨迹是 〔 〕A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或者线段5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有〔 〕A ．一样的离心率B ．一样的焦点C ．一样的顶点D ．一样的长、短轴6．假设椭圆两准线间的间隔 等于焦距的4倍，那么这个椭圆的离心率为〔 〕A ．41 B ．22 C ．42 D ．21 7．P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，假设P 到椭圆右准线的间隔 是217，那么点P 到左焦点的间隔 是 〔A ．516B ．566 C ．875 D ．877 8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大间隔 是〔 〕A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P 〔1，－1〕，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，那么这一最小值是 〔A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M 〔－2，0〕的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1〔01≠k 〕，直线OP 的斜率为k 2，那么k 1k 2的值是〔 〕A ．2B ．－2C ．21D ．－21 二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆HY 方程为___________ .12．与椭圆4 x 2+ 9 y 2= 36 有一样的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，那么y x +的取值范围是________________ ．14．椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的间隔 等于９，那么椭圆Ｅ的离心率等于__________________． 三、解答题〔本大题一一共6题，一共80分〕 15．椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分)16．A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，假设|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的间隔 为23，求该椭圆方程．(12分)17．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． 〔1〕假设0=⋅PB PA ，求P 点坐标； 〔2〕求直线AB 的方程〔用00,y x 表示〕； 〔3〕求△MON 面积的最小值．〔O 为原点〕(12分)18．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. 〔1〕求2211ba +的值； 〔2〕假设椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.(12分)19．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．假设直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．〔14分〕20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F 〔c ，0〕〔0>c 〕的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕假设0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；〔3〕设AQ AP λ=〔1>λ〕，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.〔14分〕[参考答案]一、选择题二、填空题11．1273622=+x y 12．1101522=+y x 13．]13,13[- 14．54三、解答题15． [解析]:由 2223254c b a a c e b =-===⇒ 812==c a ，∴椭圆的方程为：18014422=+y x 或者18014422=+x y . 16． [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21，即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17．[解析]：〔1〕PB PA PB PA ⊥∴=⋅0 ∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为〔0,22±〕〔2〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕那么PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P 〔x 0，y 0〕即x 1x 0+y 1y 0=4，x 2x 0+y 2y 0=4，∴AB 的直线方程为：x 0x +y 0y=4〔3〕由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||210000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||2200000=+≤⋅=y x y x y x22228||800=≥=∴∆y x S MON 当且仅当22,|2||22|min00==∆MONS y x 时.18． [解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0①01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y -=112222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba a x x +=+∴>∆ 222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得 21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 又由〔1〕知12222-=a a b 26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 19．[解析]：设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y 的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m4，x 1x 2=34m 22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x －x 1||x －x 2|=1，也即|x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++m mx x ∵m=y －x ，∴|x 2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x 夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20． [解析]：〔1〕由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e .〔2〕解：由〔1〕可得A 〔3，0〕 .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，那么13182221+=+k k x x ， ①136272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③∵0=⋅OQ OP ，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或者035=-+y x . 〔2〕证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.。
苏教版高中数学选修椭圆同步练习
高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是（ ）Ａ．12Ｃ．1答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ） Ａ．15π Ｂ．15π4Ｃ．3πＤ．255π4答案：Ｄ6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n+的点是（ ） Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程 是 ．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =u u u u r u u u r，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ．答案：11．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是 ． 答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 解：Q 椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=，∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点，OF c ∴=，3AF a ==． 233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切． 证明：如右图，设1PF 的中点为M ， 则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：Q 三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±． 椭圆第1题. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值． 答案：解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得)y x r =<<1(22)2S x r =+g2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值． 因此，当12x r =时，S22r =．即梯形面积S2．第2题. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．12⎫⎪⎪⎣⎭答案：Ｄ第3题. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．第4题. （2007海南、宁夏理）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．第5题. （2007湖南理）设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．02⎛ ⎝⎦，B ．03⎛ ⎝⎦，C ．12⎫⎪⎪⎣⎭ D ．13⎫⎪⎪⎣⎭答案：D第6题. (2007湖南文)设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．12C ．12D ．2答案：D第7题. (2007江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+=_____． 答案：54第8题. (2007江西理)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能答案：A第9题. (2007江西文)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能答案：Ｃ第10题. （全国卷I 理）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．答案：证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+21221)32k BD x x k +=-==+g ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g ≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第11题. (2007全国I 文)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 答案：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，21221)32kBD x xk+=-==+g；因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为1k-．所以，2211132kACk⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k kS BD ACk k k k+24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g≥．当21k=时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率0k=或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S=．综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．第12题. (2007全国II文)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．13B．3C．12D．2答案：D第13题. 已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：，短轴一个端点到右焦点的距离．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A B，两点，坐标原点O到直线l，求AOB△面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3caa⎧=⎪⎨⎪=⎩1b∴=，∴所求椭圆方程为2213xy+=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =， 综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=．第14题. (2007安徽文)椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．23答案：A第15题. (2007福建理)已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．1第16题. (2007福建文)已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：12第17题. (2007广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ，椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解:(1) 设圆C 的圆心为 (m ，n )则m n n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a =椭圆的方程为221259x y += ， 右焦点为 F ( 4，0) ； 假设存在Q点()2,2θθ-++使QF OF =，4=整理得 sin 3cos θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+=得:210cos 70θθ++=，cos 11010θ--==<-因此不存在符合题意的Q 点.第18题. (2007辽宁文)设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的1左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+u u u u r u u u r u u u r ，则||OM =u u u u r．答案：2第19题. (2007上海文)我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．答案：解：（1）Θ((012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb Θ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处． （3）||||21MA M A =Θ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x ac -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(c c a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(cc a a -． 当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．第20题. (2007四川文)设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点． （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-u u u r u u u u r ，求点P 的作标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=-u u u r u u u u r ，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>u u u r u u u r，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>u u u r u u u r又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++ 224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<，∴k的取值范围是(2,,2)22--U第21题. (2007天津文)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．答案：（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b+=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即23c =将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△211BO F AOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-，解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=．当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=g422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭422220022t b x x y -=+． 若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为t =．当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为3t =．另一方面，当3t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥．综上所述，(0)3t b =∈，使得所述命题成立．。
苏教版高中数学选修1-1椭圆同步练习(2).docx
椭圆 同步练习(2)一、选择题1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ）A ．25 B ．27C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21二、填空题11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2= 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是_______________ ．14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________． 三、解答题15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．16．已知A 、B 为椭圆22a x +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．17．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、 B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． （1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标； （2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）。
苏教版高中数学选修1-1高二月考(圆锥曲线).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作海安县实验中学高二数学月考（圆锥曲线）一、选择题：(50′)1、 方程223(1)3(1)|2|x y x y +++=+-表示的曲线是A 、 椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、不能确定 2、 若命题“曲线C 上的点都是方程f (x ,y )＝0的解”是正确的,以下命题 ①不是曲线C 上的点的坐标,一定不满足方程f (x ,y )＝0； ②坐标满足f (x ,y )＝0的点均在曲线上； ③曲线C 是方程f (x ,y )＝0的曲线；④坐标不适合方程f (x ,y )＝0的点必不在曲线C 上；⑤存在不在曲线C 上的点的坐标适合方程f (x ,y )＝0. 其中正确的有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A 、(1,2]B 、(1,2)C 、[2,)+∞D 、(2,)+∞4、若抛物线y 2=2px (p <0)上横坐标为－6的点到焦点的距离是10, 则焦点到准线的距离是A 、4B 、8C 、16D 、325、如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11B A 和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为A 、B 、C 、D 、A B A 1 B 1 A B A 1 B 1 A B A 1 B 1 A BA 1B 1 ABCD A 1B 1C 1D 16、椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是A 、198B 、199C 、200D 、2017、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A 、(1,2]B 、(1,2)C 、[2,)+∞D 、(2,)+∞8、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 A 、2- B 、2 C 、4- D 、49、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于A 、2B 、332 C 、2 D 、4 10、已知双曲线2221(2)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 A 、233 B 、263C 、3D 、2二、填空题：(30′)11、椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，则P 点横坐标的范围为 ▲ .12、过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA OB = ▲ .13、设抛物线y 2=2px (p >0)上各点到直线3x +4y +12=0的距离的最小值为1，则p = ▲ ．14、①双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为 ▲ ；②双曲线191622=-y x 上有一点P 到左准线的距离为8，则P 点到右焦点的距离为 ▲ .15、方程23log (1)0x y x +-+-=表示的曲线是 ▲ .16、已知动圆M 与 y 轴相切，且与定圆C ：222(0)x y ax a +=>相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ▲ .海安县实验中学高二数学月考（圆锥曲线）答题纸一、选择题(50′)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题(30′)三、解答题(70′)17、（14′）(1) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
苏教版高中数学选修1-1高二椭圆单元考2005、12.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作南星中学高二椭圆单元考2005、12满分100分 时间 90分钟班级_______________座号__________姓名______________________一、选择题（8×5=40分）1、椭圆两焦点为 1(4,0)F - 、2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为 （ ）A ．221169x y += B ．221259x y += C ．2212516x y += D ．221254x y += 2．已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 1(3,0)F ，点 (4,2.4)P 在椭圆上，则P 到与1F 相应的准线的距离为 （ ） A ．133 B ．373 C ．253 D ．2333．椭圆 22221(1)x y m m +=- 的准线平行于x 轴，则 （ ） A ．102m <<B ．12m >且1m ≠C ．12m <且0m ≠ D ．0m >且1m ≠ 4．椭圆 220(0)ax by ab a b ++=<< 的焦点坐标是 （ ） A ． (,0)a b ±- B ． (0,)a b ±- C ． (,0)b a ±- D ．D ． (0,)b a ±-5．到定点（2，0）与到定直线x=8的距离之比为22的动点的轨迹方程是 （ ） A ．2211612x y += B ．2211216x y +=C ．2228560x y x ++-=D ．22328630x y x +-+=6．如右图，椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率 12e = ，左焦点为F ，A 、B 、C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tan BDC ∠的值等于 （ ） A ．33 B ．33- C ．35 D ．35- 7、椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） （A ）3 （B ）11 （C ）22 （D ）108、以过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A 相交B 相切C 相离D 不能确定二、填空（4*4=16分）9．以椭圆229436x y +=的长轴端点为短轴端点，且过点（-4，1）的椭圆标准方程是 。
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次学情检测(10月)数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次学情检测（10月）数学试题一、单选题1．直线142x y-=在y 轴上的截距为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．42．若直线1l ：220x ay +-=与直线2l ：0x y a -+=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为（ ）AB C D 3．已知椭圆C ：22135x y k k+=-+的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．()5,1--C ．()5,3-D ．()()5,11,3---U4．已知直线3440x y +-=与圆C 相切于点()0,1T ，圆心C 在直线0x y -=上，则圆C 的方程为（ ）A ．()()223313x y -+-= B ．()()223325x y -++= C ．()()223313x y ++-=D ．()()223325x y +++=5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，P '为垂足，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．已知椭圆C ：221128x y +=的左焦点为F ，P 为C 上一动点，定点(A -，则PF PA+的最大值为（ ）A ．B ．C ．2+D ．2+7．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R ），能形成这种效果的只可能是（ ）A ．cos sin y x θθ=+B ．cos y x θ=+C ．sin 1y x θ=+D ．2cos 2sin 10x y θθ++=8．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，直线y =与C 交于,A B 两点.若ABF △的周长为7a ，则C 的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．65D二、多选题9．已知椭圆22:14x y C m+=的离心率为12，则实数m =（ ）A ．1B ．3C ．163D ．1610．已知点P 在圆22:(6)(5)16C x y -+-=上，直线:312l x y +=与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，则（ ）A ．直线l 与圆相离B ．点P 到直线l 的距离小于7C ．当∠PAB 最大时，PA =D ．以BC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线的方程为6250x y +-=11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的方程为0x =，1F ，2F是C 的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，连结2AF 交C 于点B ，则（ ）A ．CB ．12AF AF ⊥C ．12F AF V 的周长为2D ．1F AB V三、填空题12．已知入射光线经过点()3,4M -，被直线:30l x y -+=反射，反射光线经过点()3,7N ，则反射光线所在直线的方程为.13．设双曲线C :22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，P 是C上一点，且12F P F P ⊥. 若12PF F V 的面积为3，则双曲线的方程为.14．已知圆22:430C x y x +-+=，若直线()1y k x =+上存在一点P ，且过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围为.四、解答题15．已知直线()():211740l m x m y m +++--= (1)求证：不论实数m 取何值，直线l 恒过一定点；(2)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求l 的方程.1620y -=，且点(-在双曲线上. (1)求双曲线标准方程，(2)若双曲线的左顶点为1A ，右焦点为2,F P 为双曲线右支上任意一点，求12PA PF ⋅u u u r u u u u r的最小值.17．已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()0,1A -的距离与到定点()0,1B (1)求曲线C 的方程；(2)过点()2,1M 的直线l 与曲线C 交于两点M N ､，若4MN =，求直线l 的方程.18．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，斜率不为0的直线l 与C 交于,A B 两点.(1)若11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是线段AB 的中点，求直线l 的方程；(2)若直线l 经过点()4,0Q （点A 在点,B Q 之间），直线FA 与直线FB 的斜率分别为,FA FB k k ，求证：FA FB k k +为定值.19．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABPV的面积为9，求l的方程．。
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测(一)数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（一）数学试题一、单选题1．设复数z 满足()31i 12i z +=-，则z 的共轭复数为（ ）A ．31i 22-B ．31i 22+C ．31i 22--D ．31i 22-+2．已知函数y =f x 的对应关系如下表，函数y =g x 的图象如图，则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）A ．3B ．0C ．1D ．23．设集合{}{}221,log 1A x x B x x =-≤=<，{C x x A =∈且}x B ∉，则C =（ ） A ．∅ B ．[)1,2C ．[]2,3D ．(]2,34．命题:31,:p x q x a -≤≤≤．若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．[)3,∞-+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5．设()f x 是定义域为R 的奇函数，()37f -=-，当0x ≥时，()x f x a b =+，则()1f =（ ）A ．1B ．1C bD ．b6．我们知道当02x <<或4x >时，22x x >.若23log 3,2log 2a b c ===，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>7．函数()3213f x x x ax =-+，对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则a 的范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞8．若32e e e a b b +=+，则2a b -的最小值为（ ）A ．2B ．1ln2+C ．1D ．ln2二、多选题9．已知函数()ln f x x x =，则（ ）A ．()f x 在()1,+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()f x 的最小值为1e -D ．()y f x =在()1,0点处切线为1y x =-10．设偶函数()f x 的定义域为R ，若()211f x --为奇函数，则（）A ．()11f =B ．()()22f x f x +=-C ．函数()f x 的一个周期是6D ．()()()()12320242024f f f f ++++=L11．已知1a b >>，则（ ）A ．11b b a a +>+B ．ln 1b a <-C ．e e a b b a >D ．11log log a b a b ++<三、填空题12．已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩则()3f f ⎡⎤=⎣⎦． 13．设幂函数()32m f x mx -=，则不等式()()32f a f a ->的解集为．14．已知曲线()2f x x =与()ln g x a x =+有公共切线，则实数a 的最大值为．四、解答题15．在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：(1)根据往年的统计得，当年的月份x 与销量y 满足回归方程ˆ10yx t =+．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X 为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X 的分布列和数学期望．16．设公比为正的等比数列 a n 前n 项和为31,7n S S a =，且132,,20a a a +成等差数列．(1)求 a n 的通项；(2)若数列 b n 满足1121log ,1n n n n n b b b b a b ++=+=，求数列 b n 的前n 项和n T ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,PA M =是BC 中点，N 是PD 中点．(1)证明：直线//MN 平面PAB ；(2)设2PG GC =u u u r u u u r ，求平面PCD 与平面GMN 的夹角．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x E y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，12AF AF ⊥，点A 关于y 轴的对称点为点B ．(1)求A 点坐标；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线y =Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的最大值；(3)设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求点M 的坐标．19．已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (1)当1a =-时，求曲线y =f x 在点()()2,2f 处的切线方程；(2)当12a =-时，证明：曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是轴对称图形； (3)若函数()()()21h x x x f x =-'在[)2,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．。
江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期6月学情检测模拟(月考)数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期6月学情检测模拟（月考）数学试题一、单选题1．已知()0,1,1A -，()1,1,4B ，平面α的法向量为()2,,6t ，若//AB α，则t =（ ） A ．10-B ．3C ．4D ．52．在9x⎛⎝的二项展开式中，系数最大的项是（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第5项和第6项3．函数e xy x=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知表格中的数据y 关于x 的线性经验回归方程为3648ˆyx =-，则样本点()4,t 的残差为（ ） A ．9B ．96C ．105D ．96t -5．把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．若函数()33f x x x a =-+在区间()0,2内有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞7．在棱长均为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD ∠=∠=o ，1BD =BAD ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为13与23，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A ．427B ．827C ．1027D ．2027二、多选题9．设()()()()238801238x a a x t a x t a x t a x t =+++++++⋅⋅⋅++，若18a =，则（ ） A ．1t =B ．228a =C ．01280a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．2468127a a a a +++=10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD （不含端点）上的动点，则（ ）A ．11AC PB ⊥ B ．1//PB 平面BCDC ．三棱锥1C BDP -的体积为定值D ．存在P ，使直线AB 与1PB 成30︒角11．甲罐中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙罐中有1个红球，2个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用1A 、2A 、3A 表示甲罐取出红球、白球、黑球的事件；用B 表示由乙罐取出红球的事件，则（ ）A ．1A 与123A A A ++相互独立B ．()12|7P B A =C ．()2118P A B =D ．()12|3P A B =三、填空题12．空间中直线l ，m ，平面α，β，命题p ：若l α∥，m β⊥，，则αβ⊥．在横线上补充一个条件，使p 成为真命题．13．企业生产某种零件的尺寸X 服从正态分布()2200,σ，且()2010.8P X <=．现从该生产线上随机抽取100个该零件，若尺寸处于199到201之间的零件的个数为Y ，则Y 的期望是． 14．曲线ln y x =在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线分别为1l ，2l ，且12l l ⊥，则12x x =；若1l ，2l 交点的横坐标为3x ，则1323x x x x +=．四、解答题15．已知函数()212ln 32f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的极值； (2)解不等式：()6ln 28f x >+．16．为了解学生参加公益劳动的情况，随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求a ；(2)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列2×2列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关；(3)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2 3.8410.050P K ≥=，()26.6350.010P K ≥=．17．如图，ABCD 为圆柱的轴截面，EF 是圆柱异于,AD BC 的母线．(1)证明：DF ⊥平面BEF ；(2)若AB 22BC BE ==，求二面角B DF E --的余弦值． 18．厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布()290,N σ，其中ξ不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元．(1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率；(2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X ，求X 的分布列； (3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润．19．牛顿利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法，具体步骤如下： 初始步：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值；第一步：作()y f x =在点()()00,x f x 处的切线1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，称1x 为r 的1次近似值；第二步：作()y f x =在点()()11,x f x 处的切线2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值；……第n 步：如上操作，得到n x ，称n x 为r 的n 次近似值；终止步：在精确度的要求下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解．用牛顿法求函数()23f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =．(1)求r 的2次近似值2x ；(2)证明：①2132n n n x x x ++=；②2134n n x <+．。
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江苏省南通市海安县实验中学高二数学(选修1-1.2-1)椭圆同步测试一、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分) 1 .下列命题是真命题的是 到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 2到定直线x —和定点F(c , c A. B. 0)的距离之比为£ a 的点的轨迹是椭圆 C. 到定点F( — c , 0)和定直线x 2a_的距离之比为 C (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 a D.到定直线x 2「和定点F(c , c2.若椭圆的两焦点为 2, 0) 0)的距离之比为a ( a >c>0)的点的轨迹是椭圆c 2,三)，则椭圆方程是 (2, 0),且椭圆过点 2 2 1 C y_ 6 4 3.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数 C. (1, A . ( 0, +8) 4 .设定点F i ( 0, 迹是 A .椭圆 2 5. 椭圆冷 a 2 y b 22B . y_ 10 B . (0, 2) -3)、F 2 (0, 3), 动点 P 满足条件 x 1 D ・ 2x 2 仝1 8 10 6 k 的取值范围为( )+8) D. (0, 1) PF 1I |PF 2 a 9/ (a a 0)，则点P 的轨( )()2 1 和笃 aB B .线段 2 爲k k b .相同的焦点 0具有.不存在 D.椭圆或线段 A .相同的离心率 6. 若椭圆两准线间的距离等于焦距的 ^2 2 A .丄 4 B .4 倍, C.相同的顶点 D 则这个椭圆的离心率为 .相同的长、 短轴 (7•已知P 是椭圆 2 x100 1上的一点，若 D. P 到椭圆右准线的距离是 P 到左焦点的距离是 5 2 2x y16 B . 66 5 D. 778 &椭圆 1上的点到直线x 2y 、2 0的最大距离是 D.2 9.在椭圆— 4 的值最小, A . 5 2 2 乙1内有一点P( 1 , — 1),F 为椭圆右焦点,3 则这一最小值是B . 72在椭圆上有一点 M 使|MP|+2|MF|C. 3D. 4210.过点M (— 2, 0)的直线m 与椭圆— 2m 的斜率为k 1 ( k 1 0 ),直线OP 的斜率为k 2，贝U k 1k 2的值为()A. 2 B .— 2y 2 1交于P i , P 2,线段P i P 2的中点为P ,设直线14.已知椭圆E 的短轴长为 6,焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率 等于 __________________. 三、解答 —6题，共80分）2-，短轴长为8.5，求椭圆的方程.（12分）32 216.已知A B 为椭圆笃+— =1上两点,a 29a 2QF 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|= a , AB 中 53点到椭圆左准线的距离为 3，求该椭圆方程.（12分）2X 217.过椭圆C :-2y1上一点P （x °,y 0）向圆O:x 2 y 24引两条切线PA PB A84B 为切点，如直线 AB 与x 轴、y 轴交于M N 两点.(1)若 PA PB 0，求P 点坐标； （2） 求直线AB 的方程（用X 0, y 0表示）;（3） 求厶MONT 积的最小值.（0为原点）（12分）二、填空题 11.离心率 12 •与椭圆13.已知P11 C.D.——2 2（本题共 4小题，每小题5分，共20分）1 e 丄，一个焦点是F 0. 3的椭圆标准方程为 .2 4 X 2 + 9 y 2 = 36有相同的焦点，且过点（一3,2 ）的椭圆方程为 ____________ 2 2X, y 是椭圆二X 1上的点，则X y 的取值范围是___________________________ 144 2515.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率2 218•椭圆L Z i a > b > 0与直线x y 1交于P 、Q 两点，且OP OQ ，其中0 a 2 b 2为坐标原点.1 1(1) 求牙的值；a b(2) 若椭圆的离心率 e 满足仝 < e < A !，求椭圆长轴的取值范围.(12分)3 220.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为2^2，相应于焦点F ( c , 0) ( c 0 )的准线I 与x 轴相交于点A , |0F|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于 P 、Q 两点• (1) 求椭圆的方程及离心率；(2) 若OP OQ 0，求直线PQ 的方程； (3) 设AP AQ (1)，过点P 且平行于准线I 的直线与椭圆相交于另一点M证明FMFQ . （14分）19. 一条变动的直线L 与椭圆 2U1交于 P 、Q 两点,|MP| • |MQ|=2 .若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于 并说明曲线的形状.(14分)M 是L 上的动点，满足关系 1 .求动点M 的轨迹方程,2、选择题［参考答案］2、填空题 2 2y x 11.36 27 三、解答题 12 .-15 2y 1o1 13 . ［ 13,13］ 1415.［解析］:2 a 〔 c 2 a 3.2 2 b c 1212，•椭圆的方程为:82x 1442 y8o2 y 1— 2-1 . 8o16.［解析］:设 A(x i,y i ) ,Bgy 2) 4 e -,由焦半径公式有 58 a — ex 1+a — ex 2=5 1 a , •- x 计X 2= a ,2 即AB 中点横坐标为 又左准线方程为 即a =1,「.椭圆方程为 x 2+25y 2=1. 9 17.［解析］:(1)2 X o 由 2 8PA PB PA PB • •• OAPB 的正方形2 y o2 y.432 8 4 X o 2. 2 •P 点坐标为（2 • 2,0)(2)设 A (X 1, 则PA PB 的方程分别为 即X 1X o +y 1y o =4, X 2X o +y 2y o =4,「. AB的直线方程为: (3)由 X o X y °y 4得 M (土,o )、 X o1 1 4S MON 1IOM I ION I 土丄 I2 2 X oy 1), g y 2) X 1X y 1y 4, X 2X 4，而X o X +y o y=4PA PB 交于 P (x o , y 0) I x 。
y 。
|x o y o <I y oxY4 N (o,) y o1 I X o y o |当且仅当 18.［解析］ 1 2 y- 1 X 1 X 2x 1, 4 2 I _X o 空 I 2 2(亠 2昙 2 八| X 〉I I — I 时,S MON2.2 2 设 P(X 1,yJ, P(X 2, y 2), y 2 1 X 2,代入上式得： min由OP 丄OQ 2X 1X 2 (X 1 X 2) MONI x o y o |1x 2 + y 1①又将b 2 1 a 2(1 2 a 2 , 2、 2 只 2 2a x(a b )x" 2a b 2) 了2 c 代入①化简得 a£丄1a 2 3（1 b 2) o , o, X 1 X 22= o1 X 代入2a 2 a 21 ~2 a £2a1 b2 丄2 a 2I ，又由（1）知圧2a 2a 2 11 12 5 23 2a22a 21 34219.[解析]:设动点M(x, y),动直线L: y=x +m 并设P (X 1, y" , Q (X 2，百是方程组 舟a 岁「长轴2a €[ 5,. 6].y x m, x 2 2y 2 4 0 的解，消去 y ,得 3x 2+4n x +2n i — 4=0 ,其中△ =16nf — 12(2m 2—4)>0 , A — .. 6 <m< 6 ,且 X 1+X 2= —迥,X 1X 2= 2m 2 4 ,又•/ |MP|= , 2 |x — X 1| , |MQ|= . 2 | x — X 2| .由 |MP||MQ|=2 ,得 |x — X 1|| x 3 3 —X 2| = 1 ,也即 | X —(X 1+X 2) X +X 1X 2|=1 ,于是有 2 4mx x 322m 2 4 32 2 2 2 1. ■/ m=y —x , /-| x +2y — 4|=3 .由 x +2y20. 2 2—4=3,得椭圆・空 1夹在直线y7 7—3,得椭圆 x 2+2y 2=1..6间两段弧，且不包含端点•由 2 2 .x +2y —4= [解析]:(1) 由题意，可设椭圆的方程为 2x ~2 a 1(a 2).由已知得 2 c22(邑 c2,c).解得a 6, c 2 2 ,所以椭圆的方程为 X_ 6 离心率e (2)解:由(1)可得 A(3, 0) .设直线PQ 的方程为 y k (x 3)-由方程组 2 X6y2' 1, 2 k(x 3) 得(3k 2 1)x 2 18k 2x 27k 2 6 0,依题意 12(2 3k 2) 0,得 6 k633设 P(X 1, y 1), Q(X 2, y 2) ,则x X 2 18k2 ,① X 1X 2 27k 2 6 .②， 由直线 PQ 的方程 2 23k 1 3k 1y 1 k(x 1 3), y 2 k(x 2 3) . 于是yy k 2(x 1 3)(x 2 3) k 2[X 1X 2 3(X 1 X 2) 9]. T OP OQ 0 , NX 2 y 』2 0 . ④， 由 ①② ③④得 5k 2 1 , 从而 5 6 )・得 k 3 ③ 5 3 所以直线PQ 的方程为x (2) 证明:AP ( X 1 3 (X 23),y 1y 2,22生1,6222匝 1.62FM (X 1 2, y" 而FQ (X 2 2, y 2)注意3, 5y 3 0 或 x yj, AQ 化5y 3, y 2). 3 0 . 由已知得方程组 ((X 23) 1(~2 , y 2)解得 X 25__1，因 F(2, 0), M (X 1,21(_r ,，所以FM FQ. 1, y"%)1(T y 1)，故y 2).。