人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.4 幂函数 教案

幂函数
教学重难点
教学目标
核心素养
幂函数的概念 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 数学抽象 幂函数的性质 结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x ，y ＝x 1
2的图像，掌握它们的性质
数学运算 幂函数性质的应用
能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1： 幂函数的概念
例1：函数f （x ）＝
2
23
1m m m m x +-（－－）是幂函数，且当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）是增函
数，求f （x ）的解析式．
解：根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，＋∞）上是增函数，
当m ＝－1时，f （x ）＝x －3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求． 所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x 3． 总结升华
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m 2－m －1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
（2）幂函数y ＝x α（α∈R ）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x ．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
探究点2： 幂函数的图像
例2：如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已
知n 取±2，±1
2四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为（ ）
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2，2，12
D ．2，12，－2，－1
2
解析：考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n
增幅越快，n ＜0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝1
2，当n ＜
0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－1
2，曲线c 4的n ＝－2，故选B ．
答案：B 规律方法： 幂函数图像的特征：
（1）在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸．
探究点3： 比较幂的大小
例3：比较下列各组数中两个数的大小：
（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1312与⎝ ⎛⎭⎪⎫1412；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35－1；
（3）0.25－1
4与6.251
4；（4）0.20.6与0.30.4．
解：（1）因为y ＝x 1
2是[0，＋∞）上的增函数，且13＞14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫1412．
（2）因为y ＝x －1
是（－∞，0）上的减函数，且－23＜－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35－1．
（3）0.25－14＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14－14＝212，6.2514＝2.512，
因为y ＝x 1
2是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2.5，
所以21
2＜2.51
2，即0.25－1
4＜6.251
4．
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
规律方法：
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
二、课堂总结
1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
三、课堂检测
1．下列函数是幂函数的是（）
A ．y ＝5x
B ．y ＝x 5
C ．y ＝5x
D ．y ＝（x ＋1）3
解析：选B ．函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝（x ＋1）3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A ．y ＝x 1
3
B ．y ＝x －1
2
C ．y ＝x 5
3
D ．y ＝x 2
3
解析：选D ．y ＝x 2
3＝3
x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．
3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，1
2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为
（ ）
A ．1，3
B ．－1，1
C ．－1，3
D ．－1，1，3
解析：选A ．可知当α＝－1，1，3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1，3．
4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123
5，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
153
5，c ＝(－2)3，则a 、b 、c 的大小关系为________．
解析：因为y ＝x 35在（0，＋∞）上为增函数． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫123
5＞⎝ ⎛⎭⎪⎫153
5
，即a ＞b ＞0．
而c ＝(－2)3＝－23＜0， 所以a ＞b ＞c ． 答案：a ＞b ＞c
5．已知幂函数f （x ）＝（n 2＋2n －2）xn 2－3n （n ∈Z ）的图像关于y 轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n 的值为________．
解析：由于f （x ）为幂函数， 所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3， 经检验只有n ＝1适合题意． 答案：1。