高中数学 第5章 函数概念与性质 5.1 第2课时 函数的图象教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教

第2课时函数的图象
学习目标核心素养1．理解函数图象的概念，并能画出一些比
较简单的函数的图象．(重点)
2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养．
作出以下两个函数的的图象，并比较定义域和值域．
(1)f(x)＝x2＋1，x∈{－1,0,1}；
(2)f(x)＝x2＋1．
1．函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
思考1：函数的图象是否可以关于x轴对称？
[提示]不可以，如果关于x轴对称，那么在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
思考2：函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？
[提示]0或1个，具体来说，当m∈A，由函数的定义，它们有唯一交点，当m A，它们无交点．
2．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0
时，图象开口向下，对称轴为x＝－b
2a
．
1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．( )
(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，那么集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y ＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象．( ) [提示](1)假设a∈[m，n]，那么x＝a与y＝f(x)有一个交点，假设a[m，n]，那么x＝a与y＝f(x)无交点，故(1)错误．
(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y ＝f(x)的图象．
[答案](1)×(2)×
2．以下坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有．(填序号)
②④[能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．]
3．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象
是．(填序号)
③[由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．]
作函数的图象[例1] 作出以下函数的图象，并求函数的值域．
(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；
(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．
[思路点拨](1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的四个孤立点．
(2)中函数图象为抛物线的一部分．
[解] (1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，
∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．
由图象可知，值域为{5,4,2,1}．
(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，
故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，
x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．
(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了？
[解]图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．
∵x＝1时，y＝1，x＝3时，y＝5．∴值域变为[1,5)．
1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．
2．描点作图，要找出关键“点〞，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．
3．函数的图象能表达函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
[跟进训练]
1．画出以下函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②．
①②
函数图象的应用[例2] 函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如下图，据图回答以下问题：
(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；
(2)求f(x)在[－1,2]上的值域；
(3)求f(x)与y＝x的交点个数；
(4)假设关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值X围．
[思路点拨]从图象上找到对应问题的切入点进而求解．
[解](1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，
∴f(－2)<f(3)<f(0)．
(2)在x∈[－1,2]时，f(－1)＝0，f(1)＝4，f(2)＝3，
∴f(x)∈[0,4]．
(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如下图，观察可得，f(x)与y＝x有两个交点．
(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．∴0≤k<3或k＝4．
1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．
2．常借助函数图象求解以下几类问题
(1)比较函数值的大小；
(2)求函数的值域；
(3)分析两函数图象交点个数；
(4)求解不等式或参数X围．
[跟进训练]
2．假设方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，某某数m的取值X围．
[解]原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，
即(x－2)2＝1－m，
设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如下图，
由图可知：
①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，
∴m＝1或－3<m≤0．
(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)
利用图象的平移变换作函数图象
1．设f (x )＝x 2
，那么f (x ＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，作出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？
[提示]f (x ＋1)＝(x ＋1)2
，两者图象的形状相同，f (x ＋1)的图象比f (x )的图象向左了一个单位．如图(1)．
图(1)
2．同一坐标系中作出f (x )＝x 2
，f (x －2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？ [提示]f (x －2)＝(x －2)2
，f (x )与f (x －2)的图象形状相同，f (x －2)的图象比f (x )的图象向右了2个单位．如图(2)．
图(2)
3．假设y ＝f (x )的图象，如何得到y ＝f (x ＋a )的图象？
[提示] 当a >0时，y ＝f (x ＋a )可由y ＝f (x )向左移动a 个单位．当a <0时，y ＝f (x ＋
a )可由y ＝f (x )向右移动|a |个单位．
4．假设f (x )＝x 2
，写出y ＝f (x )＋1和y ＝f (x )－2的表达式，并在同一坐标系中作出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，假设f (x )的图象，如何得到y ＝f (x )＋b 的图象？
[提示]y ＝f (x )＋1＝x 2
＋1，y ＝f (x )－2＝x 2
－2，如图(3)．
图(3)
由y ＝f (x )的图象得到y ＝f (x )＋b 的图象时，
假设b >0，把f (x )的图象向上移动b 个单位得y ＝f (x )＋b 的图象．假设b <0，把f (x )的图象向下移动|b |个单位得y ＝f (x )＋b 的图象．
[例3] 用平移图象的方式作出y ＝2＋1x －1的图象，并说明函数y ＝2＋1
x －1
的值域． [思路点拨]y ＝2＋1x －1可以看作y ＝1
x
先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到． [解]
从图象可以看出y ＝2＋
1
x －1
的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
函数图象的平移变换 1左右平移：a ＞0时，y ＝f
x 的图象向左平移a 个单位得到y ＝f x ＋a 的图象；
a ＞0时，y ＝f x 的图象向右平移a 个单位得到y ＝f x －a 的图象.
2上下平移：b ＞0时，y ＝f x 的图象向上平移b 个单位得到y ＝f x ＋b 的图
象；b ＞0时，y ＝f x 的图象向下平移b 个单位得到y ＝f x －b 的图象.
[跟进训练]
3．函数y ＝1
x
，将其图象向左平移a (a >0)个单位，再向下平移b (b >0)个单位后图象过坐
标原点，那么ab 的值为．
1 [y ＝1x ――→左移a y ＝1x ＋a ――→下移b y ＝1x ＋a －b 过(0,0)，故1
a －
b ＝0，
∴1－ab ＝0，∴ab ＝1．]
1．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
2．在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确．
3．分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于y 轴的直线，假设直线与图象最多只有一个交点，那么该图象是函数的图象，否那么就不是函数的图象．
1．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，那么由以下图形给出的对应f 中，能
构成从A 到B 的函数的是( )
D [A 中有一部分x 值没有与之对应的y 值；B 中出现“一对多〞的关系，不是函数关系；C 中当x ＝1时对应两个不同的y 值，不构成函数；D 中对应关系符合函数定义．]
2．以下图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )
B [y ＝－|x |，当x ＝2时，y ＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2．应选B ．] 3．函数y ＝f (x )的图象如下图．填空：
(1)f (0)＝； (2)f (－1)＝； (3)f (－3)＝； (4)f (－2)＝； (5)f (2)＝； (6)f (4)＝；
(7)假设2<x 1≤x 2<4，那么f (x 1)与f (x 2)的大小关系是．
(1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6 (7)f (x 1)≤f (x 2) [由图象知f (0)＝4，f (－1)＝5，f (－3)＝0，f (－2)＝3，f (2)＝2，f (4)＝6，当2<x 1≤x 2<4时，f (x 1)≤f (x 2)．]
4．作出以下函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2
＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2
x
(－2≤x ≤1，且x ≠0)．
[解] (1)用描点法可以作出y ＝x 2
＋x (－1≤x ≤1)的图象，如下图．
易知y ＝x 2
＋x (－1≤x ≤1)的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，2．
(2)用描点法可以作出y ＝2
x
(－2≤x ≤1，且x ≠0)的图象，如下图．
易知y ＝2
x
(－2≤x ≤1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．。