第四章可测函数解析

第四章 可测函数
教学目的：
1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.
2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.
3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：
1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.
2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.
3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明,
Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.
4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关
系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
§4.1 可测函数及相关性质
由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——
Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.
设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 记
=α
D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.
我们知道,f 在D 上连续⇔R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.
又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为
=)(x f )(x E λ⎩⎨⎧=0
1
E
D x E
x -∈∈
由于 {}αα>∈=)(:x f D x D
⎪⎩
⎪
⎨⎧=D E φ
0101<<≤≥ααα
是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即
定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.
今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、
{}α≥f 、{}α<f 、{}α≤f 、{}α=f 等的意义同上. 问:定义中α>f 可否换成α<f ?答:可以.
定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测;
(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α<f 可测; (iv)对任何R ∈α,{}α≤f 可测.
其证明就是利用集合的运算. 证明:
(i)⇒(ii) {}α≥f ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧->=∞
=n f n 11
α ,由(i), ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
->n f 1α可测,从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧
->∞
=n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测.
(ii)⇒(iii){}α<f -=D {}α≥f
(iii)⇒(iv){}α≤f ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+<=∞=n f n 11α
(iv)⇒(i) {}α>f -=D {}α≤f
定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<<f 、{}βα<≤f 、{}βα≤≤f 、{}βα≤<f 都是可测集,其中+∞≤<≤∞-βα,λ是广义实数. (ii){}g f >是可测集.
证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;
若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞
=1
可测;
若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞
=1
可测.
可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集.
对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.
(ii)分析:⇒>g f x ∃,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则
{}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞
= 1
再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.
在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限
函数连续,否则未必.
如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .
)()(x f x f n →⎩
⎨⎧=01
101<≤=x x
不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.
定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1
x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞
→、)(lim x f n n ∞
→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1
α>≥x f n n })({1
α>=∞
=x f n n 可测.(此等式表明
至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1
x f n n )
})(inf {1
α<≥x f n n })({1
α<=∞
=x f n n 可测.
(至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1
x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k n
k n ≥≥=、)(lim x f n n ∞
→)(inf sup 1
x f k n
k n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞
→都是可测函数.
(n x 的上极限k n
k n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim
1
,k n
k x ≥sup ↓;n x 的下极限k n
k n n n x x ≥≥∞
→=inf sup lim 1,k n
k x ≥inf ↑)
实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第
二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.
§4.2 可测函数的其它性质
设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎
1
x
y
处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).
例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2
π
π+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集
上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).
若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,
数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f
是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且
{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 =
都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为
)()(1x a x f K E k n
k λ=∑=
其中)(x k
E λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.
由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).
易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.
下面说明可测函数一定是简单函数的极限.
定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ϕ,使对每一D x ∈,)()(x f x k →ϕ,此外
(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ϕ满足对每一D x ∈,{}1≥k k ϕ单增收敛于)(x f ;
(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ϕ在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >∀,有εϕ<-|)()(|x f x k )
提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛.
答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则⎩⎨⎧=0
1)(x f
1
01
<≤=x x ,这时)(x f k 在每一
点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.
上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.
第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长2
1; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长
221,其中-1和1之间是
将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即
)(1x ϕ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧--=1
2111k
1
)(2)(211
)(11-<<≤-≥x f k
x f k x f 2,1,0,1-=k
(k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由
1211-=-k 得1-=k ,由12
1
=k
得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类
似).
)(2x ϕ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧--=2
2122k
2
)(2)(212
)(22-<<
≤-≥x f k
x f k x f 8,,6,7 --=k
证明:对每一1≥n ,令
)(x n ϕ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧--=n
k n
n 2
1 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12⋅+⋅-=
(i)显然{}1≥n n ϕ是一列简单函数,现固定D x ∈.
若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得
n n n n k n 212⋅≤≤+⋅-,并且
n
n
n n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ϕn n k 2
1-=,n
n x x f 21
)()(0<-≤ϕ.令∞→n ,即得)()(x f x n →ϕ. 特别,设f 非负.由)(x n ϕ的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ϕ单
增.
(ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及
{}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有n
n x f x 21)()(<
-ϕ,故{}1)(≥n n x ϕ一致
收敛于)(x f .
注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关.
f 可测⇔{}α>∈)(:x f D x R ∈∀α 是可测集.
若0)(=E m ,D E ⊂,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可).
说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.
注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ⊂.若对每一个E D x -∈,
)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极
限f 在D 上可测”.
注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.
定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.
证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.
一定注意:可测与否与零测集无关.
例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测?
答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[⊂E ,令
⎩
⎨⎧==01
)()(x x f E λ
E x E x -∈∈]1,0[
则{}α>∈)(:]1,0[x f x ⎪⎩
⎪
⎨⎧=]1,0[E φ
0101<<≤≥ααα ——→不可测.
所以)(x E λ在]1,0[上不可测.
例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?
答:因{}E x f E x ⊂>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.
例题 4.2.3 设D E ⊂,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?
答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1
f 在D 上可测⇒有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈∀且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→
(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .
之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.
重复定理4.2.2
设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.
什么叫g f +几乎处处有定义?
即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:
①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλ
αf 来证. 此处用方法①最清楚.
简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D
(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).
例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈∀ 所以 )(sin )(sin x f x f n →
由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.
由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚.
f 、
g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →
g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了.
所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关.
2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.
§4.3 可测函数用连续函数来逼近
称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要
条件是F 是有界闭集.
定理4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若{}1
≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈∀,)()(lim 00
x f x f F
x x
x =∈→). 前面曾提到n x →⎩⎨⎧01
1
01
<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续⇒n x 不一
致收敛.定理的证明思路与数学分析同.
问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛⇒)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈∀,0>∀ε,0>∃δ,∀),(0δx x ∈
=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-
)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -
3
ε
<
3
ε
+
3
ε
+
ε=
若改为),(b a 也一样.
本节中非常重要的一个结果:
定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)
证明:令{}
)()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞
→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令
)(r n
A 1D =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n
()(r n A 是1D 里那样的点: ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取
∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)
对每一1≥r ,{}↑→≥1)
(n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个)
(r n A 都是1D 子集,由{}
↑≥1
)
(n r n A
知)(1
)
(lim r n n r n
n A
A
∞
=∞
←= ,也就是要证1)(1
D A r n n =∞
= ),易见
)
(1
r n n A ∞
= 1D ⊂，这是因为每个1)(D A r n ⊂,现在对1D x ∈∀,取01>r
,由
)
()(lim x f x f n n =∞
→知N
∃,N
k >∀,有
r
x f x f k 1)()(<
-,说明
}
1
)()({r
x f x f x k N n <-∈∞
= ,当然1D x ∈}]1)()({[r
x f x f k N
n <-∞= )
(r N A =.所以)(1
r n
n A
x ∞
=∈ ,因此⊂1D )(1
r n
n A ∞
= ,于是得到1)(1
D A r n n =∞
= .即1)(lim D A r n n =∞
←. 由测度性质(定理3.3.6(i))
)(lim )(r n n A m ∞
→)lim ()
(r n n A m ∞
→=)(1D m = (1)
又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使
)()()(1r n r A m D m -)()
(1r n r
A D m -=1
2+<r ε
(2)
(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞
<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)
此时n f 在)(1
r n r r
A E ∞
== 上一致收敛于f .
(即0>∀ε有N ,N n ≥∀,E x ∈∀,有ε<-)()(x f x f n (下证)
0>∀ε ,
有00>r ,使
ε<0
1r ,从而当0r n n >时,对一切)
(00
r n r A x ∈,有ε<<
-0
1)()(r x f x f n .显然)
(00
r n r A E ⊂所以上述结论对E x ∈∀都成立.即n f 在)
(1
r n r r
A E ∞
== 上一致收敛于f .)
)(E D m -)(1E D m -=
)()
(1
1r n r r
A D m ∞
=-= ))(()(11r n r r
A D m -=∞
= (由
)
(1
1r n r r A
D ∞
=- )()
(11
r n r r
A D -=∞
= ) )()
(11r n r r
A D m -∑<∞
= 1
1
2+∞
=∑<r r ε
2
ε
=
此时有E 的闭子集F ,使2
)(ε
<-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且
)]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<.
思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上
↑ ↑ ↑ ↑ D ⊃ 1D ⊃ E ⊃ F
注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.
如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m 而且n f 在F 上一致收敛于0?
这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R
引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R
上的连续函数*f ,并且)(sup *x f R
x ∈)(sup x f F
x ∈=.
n R
证明:此时),(1
n n n c
b a F ∞
== ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,
不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)
()
()
()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a f
f*
a n
n
n b n 1
12
2k
k
显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f R
x )(sup x f F
x ∈.
引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m .
(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)
证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令
{}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k n
k E D 1== .
对每一k ,有闭集k k E F ⊂,使
F E m k k ε
<-)((因可测集与闭集“差不多”)
则f 沿F F k n
k ==1
连续.
(对k n
k F F x 1
0==∈∀ ⇒0
0k F x ∈
⇒x 充分接近0x 时即 ⇒<),(0x x d ),(min 0,,2,10
k k k n k F x d ≠=
⇒00k k E F x ⊂∈所以0)(k a x f =.
⇒从而)()(lim 00x f x f F
x x x =∈→.
⇒即f 沿F 连续.)
由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .
{}())(*F D m f f m -≤≠
)(1
1k n
k k n
k F E m ==-=
)]([1
k k n
k F E m -≤=
)(1
k k n
k F E m -∑≤=
ε<
(由第一章习题:-∞=n n A 1
n n B ∞=1
-⊂∞
=n n A (1
)n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -⊂≠*).
定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f D
x )(s u p x f D
x ∈.
证明:不妨设f 处处有限.
先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使
{}()
1
*2
+<
≠n n n f f m ε
,2,1=n
令{}*1
n n n f f E ≠=∞
= ,则
)(E m ∞
=∑≤1n {
}()1
1
*2+∞
=∑
<≠n n n
n f
f m ε
2
ε
=
此时对每一E D x -∈(即{}*1
n n n f f =∞= ),有
)()(*x f x f n n = ,2,1=n
从而对每一E D x -∈,
)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理)
由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -⊂使
2
)(ε
<
--F E D m
而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时
{}()f f m ≠*)(F D m -≤
()[]E F E D m --=
)()(E m F E D m +--≤
ε<
这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.
若∞=)(D m ,令
)1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n
则∞<)(n D m .
由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且
2
||2
)(+<
-n n n F D m ε
,2,1,0±±=n
此时,n n F F +∞-∞
== 是闭集而且f 沿n F 连续.
(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1n
n ∞
= ]2,0(=.开集
是σF 集是由于]1
,1[),(1n
b n a b a n -+=∞
= .此处n n F F +∞-∞== 是闭集是因
F x n ∈∀,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又
由F x n ∈,当n 充分大时0
n n F x ∈.由0
n F 闭且x x n →知F F x n ⊂∈0
.)
由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且
{}()*f f m ≠)(F D m -≤
)(n n n n F D m ∞
-∞
=∞-∞=-=
)]([n n n F D m -≤∞
-∞
=
2
||2
+∞
-∞
=∑
<n n ε
ε<
对于)(sup *x f D
x ∈)(sup x f D
x ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f D
x ∈≤而得
(因D F ⊂).
记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .
推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *]
,[x f b a x ∈)(sup ]
,[x f b a x ∈≤.
例:⎩⎨⎧=0
1)(x D
无理数
有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则
{}()
ε<=≠0)()(*x D x D m .
这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.
000
§4.4 测度收敛
)()(x f x f n D
n ∞
→−→−已经学过三种,即
()()()()⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧测度收敛一致收敛几乎处处收敛
逐点收敛4321 {}()ε
δεδε<≥-⇒>∀∃>∀>∀⇔⇒∈∀>∀∃>∀=-∈∀∈∀f f m N n N f f D
x N n N E m E D x D
x n n ,,0,0,,,00
)(,
第四种即今天要学习的测度收敛.
设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,
{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ⇒. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间
],1[
n k
n k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f
1)()(]1,0[1≡=x x f λ
)()(]21,0[2x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=
)()(]3
1,0[4x x f λ
= )()(]3
2,31[5x x f λ= )()(]1,3
2[6x x f λ=
………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ
{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0−→−()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ⇒.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛.
例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对∀R x ∈,)()(x f x f n →,但对
21=
δ,})21|({|≥-f f m n })2
1
({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ⇒f .
以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即
定理4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ⇒,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n k
f 几乎处处收敛于f .
(ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ⇒. 证明:
(i)此时对每一1≥k ,})2
1
|({|k n f f m ≥
-)(0∞→→n ,因此有k n 使 k
k n f f m k 21})21|({|<≥
- ,2,1=k <<<<k n n n 21 1
1
f 1
f 2f 3
f 4
f 5f 6f 7
f 8f 9
f 10
令})21
|{|(1k
n p
k p f f E k
≥
-=∞
=∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p
})2
1|{|()(k n p k f f m E m k ≥
-≤∞
= })2
1|({|k n p k f f m k
≥-∑≤∞
=
k
p k 21∞
=∑
< 12
1-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 c
E
E D -=})21|{|(1k
n p
k p f f k ≥
-=∞
=∞
= 从而对每一E D E x c
-=∈,必有10≥p 使∈x }2
1
|{|0
k n p k f f k
<
-∞
= ,即0p k ≥∀有
k
n x f x f k 21|)()(|<
-.
也即)()(x f x f k
n → )(∞→k .
说明k
n f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说k
n f 在D 上几乎处处收敛于f .
(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ⇒)
任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使
ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使
δ<-|)(|f x f n E x ∈∀ N n >∀
此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -⊂
故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ⇒.
例4.4.3.设)()(x f x f n ⇒,)()(x g x f n ⇒,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.
证明:由于
)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,
故对任何自然数
n ,}1
|:|{n g f E x ≥-∈⊂}21|:|{n f f E x k ≥
-∈ }21|:|{n
g f E x k ≥-∈, 从
而
})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21
|:|({n
g f E x m k ≥-∈+
令∞→k ,即得})1|:|({n
g f E x m ≥-∈0=. 但是
}:{g f E x ≠∈}1
|:|{1n
g f E x n ≥-∈=∞
=
故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.
讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同.
古今名言
敏而好学，不耻下问——孔子
业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫
读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝
黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮
熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》
书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游
问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹
旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼
书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄
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