福建省莆田四中(15班)高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

莆田四中2012-2013学年高二（15）期中考试数学试卷（理）
命题人：翁建新 审核人：陈世洪 2012.11.17
一、选择题：本大题共10小题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的）． 1. 已知全集U =Z ，{}1012A =-，，，，{}
2
B x x x ==，则U A
C B 为（ ）
A ．{}12-，
B ．{}10-，
C ．{}01，
D ．{}12，
2．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为( )
A. 2
1
-
B. 23-
C. 21
D. 23
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若2
2
am bm <，则a b <”的逆命题是真命题；
B ．命题“p q ∨”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题；
C ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件；
D ．命题“0,2
>-∈∃x x R x ”的否定是“x x R x -∈∀2
,≤0”； 4．若1()2n
x x
-
的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ） A ．164-
B ．132
C ．164
D ．1128
5．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x y 和须满足约束条件25,
2,6.x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
,则该
校招聘的教师人数最多是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．13
6．设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分 图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，0
90KML ∠=，1KL =，则1()6
f 的值为( )
A. 43-
B. 14-
C. 1
2
- D. 43 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友１本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧
则该几何体的体积为（ ）
A ．63π+
B ．23π+
C ．362π+
D ． 322
π+ 9．已知函数()x
x x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=21lg 有两个零点1x 、2x ，则有（ ）
A ．021<x x
B ．121=x x
C ．121>x x
D ．1021<<x x 10．对于有相同定义域D 的函数()()f x g x 和，若存在函数(),(,)h x kx b k b =+为常数，对于任意给定的正数m ，存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时，总有
0()()0()()f x h x m
h x g x m
<-<⎧⎨
<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()()y f x g x =和y=的“分渐近线”。

给出定义域D 为[1,)+∞的四组函数如下：
①2
()()f x x g x ==和 ②23
()10()x x f x g x x
--==
+2和； ③21ln 1()()ln x x x f x g x x x ++==和； ④ 2
2()()2(1)1
x x f x g x x e x -==--+和
其中，曲线()()y f x g x =和y=存在“分渐近线”的是（ ）
A ． ①④
B ． ②③
C ．②④
D ．③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样 的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上 学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图如图所示据此可 估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在 [15,25)内的人数为__ __； 12．设在4次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率等于81
65，则在一
次试验中事件A 发生的概率是 ；
13．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则y
x 39+的最小值为 ；
14. 阅读右侧程序框图，输出结果s 的值为__ __； 15. 某同学由于求不出积分
1
ln e
xdx ⎰
的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和
利用“积分的几何意义”来近似计算积分
1
ln e
xdx ⎰
.他用计算机分别产生10个在
[1,]e 上的均匀随机数(110)i x i ≤≤和10个在[0,1]上的均匀随机数
图14
(110)i y i ≤≤，其数据记录为如下表的前两行.
则依此表格中的数据，可得积分1
ln e
xdx ⎰
的一个近似值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本题满分13分）
在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，b 4=8，{a n }的前10项和S 10=55. （1）求a n 和b n ；
（2）现分别从{a n }和{b n }的前4项中各随机抽取一项，求这两项的值相等的概率。

17.（本题满分13分）
已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ： 2
14
y x =
是否相切？说明理由．
18.（本题满分13分）
某单位组织群众性登山健身活动，招募了N 名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为15—20,20—25,25—30,30—35,35—40,40—45等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知30—35之间的志愿者共8人， （1）求N 和20—30之间的志愿者人数1N ;
（2）已知20—25和30—35之间各有2名英语教师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至多有1名英语教师的概率是多少？
（3）组织者从35—45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中男教师的数量为X ，求X 的概率分布列和平均值。

19.（本题满分13分）
如图，三角形PAB 是半圆锥PO 的一个轴截面，PO=1，AB=2，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，且与圆锥PO 的底面共面.
（1）若H 为圆锥PO 的底面半圆周上的一点，且BH ∥OC ，连AH ，证明：AH PC ⊥;
（2）在圆锥PO 的底面半圆周上确定点G 的位置，使母线PG 与平面PCD
所成角的正弦值为
20.（本题满分14分）
某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似
地为半径是R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6万米，CD = 2万米． （1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积；
（2）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ；使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．
A
B
C
D
P
21. （本题满分14分）
函数x
ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和)(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行． (Ⅰ)求此平行线的距离； (Ⅱ)若存在x 使不等式
x x f m
x >-)
(成立，求实数m 的取值范围；
(Ⅲ)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ，我们把
)()(00x g x f -的值称为两函数在0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)
(x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
高二（15）期中考试数学试卷（理）答案
一．选择题：AADCC DBCDC
二．填空题：６０ 1/3 6 3- 3
5
(e-1) 三、解答题：16. (1)a n =n 和b n =2n-1
(2) 3/16
17. 解法一：
(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0
×1＝－1，解得m ＝2，
即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝－2
＋－2
＝22，
故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2
＝8.
(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x －m ，x 2＝4y 得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )． ①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．
综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．
解法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2
.
依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪
⎧
4＋m 2＝r 2
，|2－0＋m |
2＝r ，
解得⎩⎨
⎧
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2
＝8.
(2)同解法一． 18.解：（1）N=40 ; N 1=24
(2)设“所选出的人选中都至多有1名英语老师”为事件A ； P （A ）=6566∙ 2728=585616
(3)由题意知，女教师有4名，男教师有2名； X=0,1,2
P(X=0)=15, P(X=1)=35, P(X=2)=1
5
所以分布列为均值为0∙15+1∙35+2∙1
5=1.
19. 解：(Ⅰ) H 为圆锥PO 的底面圆周上的一点，AH BH ∴⊥………………1分
又
,BH OC AH OC ∴⊥………………2分
PO ⊥平面ABCD ，AH ⊂平面ABCD PO AH ∴⊥
,PO OC O AH ⋂=∴⊥平面PCO ，………………4分
PC ⊂平面PCO ，AH PC ∴⊥………………5分
（Ⅱ）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OP 方向为z 轴建立空间直角坐标系， (6)
分
则(0,0,1),(1,2,0),(1,2,0)P D C ---，(1,2,1),(1,2,1)PD PC =--=---，………………7分
设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则
由00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z x y z --=⎧⎨---=⎩，取1y =得平面PCD 的一个法向量为
(0,1,2)n =-；………………9分
G 为圆锥PO 的底面圆周上的一点，可设(cos ,sin ,0)(0G θθθπ≤≤），
PG=cos ,sin ,1)θθ-（
，依题意得
2PG n PG n
⋅=
=
，………………10分 解得1
sin 2
θ=，
cos θ∴=，………12分∴点G 的坐标为1(,0)2……………13分
20.解：（1）因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC +∠ADC = 180°，连接AC ，由余弦定理：
AC 2 = 42 + 62 – 2×4×6×cos ∠ABC = 42 + 22 – 2×2×4 cos ∠ADC ．
所以cos ∠ABC =1
2
，∵∠ABC ∈(0，)，故∠ABC = 60°．
S 四边形ABCD = 1
2×4×6×
sin60°+12
×2×4×sin120°= ．………………
4分
在△ABC 中，由余弦定理：AC 2
= AB 2
+ BC 2
– 2AB ·BC ·cos ∠ABC
= 16 + 36 – 2×4×6×12
． AC
= ．…………………………6分 由正弦定理
2sin sin a b
R A B ==
，∴2sin AC R A =
==
∴R =．………8分
（2）∵S 四边形APCD = S △ADC + S △APC
又S △ADC = 12
AD ·CD ·sin120°
，设AP = x ， CP = y ． 则S △APC
= 1sin 602xy ︒=．……………………10分
又由余弦定理AC 2 = x 2 + y 2 – 2xy cos60°= x 2 + y 2
– xy = 28． ∴x 2
+ y 2
– xy ≥2xy – xy = xy ．
∴xy ≤28 当且仅当x = y 时取等号……………………12分 ∴S 四边形APCD
28xy ≤=∴最大面积为
14分．
21. 解：（Ⅰ）/()x
f x ae =，()1
g x x
'=
， )(x f y =的图像与坐标轴的交点为()0,a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为()a ,0，由题意得()()f 0g a ''=，即1
a a
= ……2分
又∵a 0>，∴a 1=。

∴()x f x e =，()g x ln x =，∴函数()y f x =和()y g x =的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x y 10-+=,x y 10--=。

……4分 （Ⅱ）由
(
)x m f x ->
x x m
e
->
x m x <在[)x 0,∈+∞有解， 令(
)x h x x =-，则()max m h x <。

当x 0=时，m 0<；
当x 0>时，∵(
)x x x h x 11e ⎫'=-+=-+⎪⎭，∵x 0>，
x ,e 1+≥=>
，∴x e +>故(
)x h x 1e 0'=-< 即(
)x h x x =-在区间[)0,+∞上单调递减，故()()max h x h 00==，∴m 0<
即实数m 的取值范围为(),0-∞ 。

……9分 （Ⅲ）解法一：
∵函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()()()x F x f x g x e ln x =-=-，()x 0,∈+∞ ∴()x 1F x e x '=-
，设x t =为()x 1
f x e 0x
'=-=的解，则当()x 0,t ∈，()F x 0'<； 当()x t ,∈+∞，()F x 0'>，∴()F x 在()0,t 单调递减，在()t ,+∞单调递增 ∴()t t t
t
min 1F x e ln t e ln
e t e =-=-=+
∵()f 1e 10'=->，1f 202⎛⎫
'=< ⎪⎝⎭
，∴1t 12<<
故()1
t
2
min 111
F x e t e 2222
=+=+
=>+= 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

……14分 解法二：
由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()()()x F x f x g x e ln x =-=-，()x 0,∈+∞ 令()x 1F x e x =-，()x 0,∈+∞；令()2F x x ln x =-，()x 0,∈+∞
∵()x 1F x e 1'=-，()211x F x 1x x
-'=-
=，∴()1F x 在()0,+∞单调递增，()2F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增
∴()()11F x F 01>=，()()22F x F 11≥=，∴()()()x 12F x e ln x F x F x 2=-=+> 即函数()y f x =和()y g x =在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。