2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁一中(西校区)高一上学期期末数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁一中(西校区)高一上学
期期末数学(文)试题
一、单选题
1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{
}2,A x x x N *
=<∈，则U
C
A =（ ）
A ．{}2
B ．{}3
C ．{}234，，
D ．{}14，
【答案】C
【解析】首先求得集合A ，然后求得A 的补集. 【详解】
依题意{}1A =，所以U C A ={}2,3,4. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）．
A ．2
y = B ．3
y =
C ．y =
D ．2
x y x
=
【答案】B
【解析】根据同一函数的定义,从定义域、对应关系两方面入手进行判断即可. 【详解】
解：y x =的定义域为R ，对应法则是“函数值与自变量相等”．
选项A ：2y =的定义域为[0,)+∞,定义域与y x =的定义域不同；
选项B ：y x ==，定义域与对应关系与y x =相同；
选项C ：,0
,0
x x y x x x ≥⎧=
==⎨-<⎩,而0y ≥,对应关系与y x =不同；
选项D ：2
x y x
=的定义域为{}|0x x ≠,定义域与y x =的定义域不同．
故选：B 【点睛】
本题考查了同一函数的定义,求函数的定义域、判断对应关系是否一不致是解题的关键.
3．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．平行
C ．异面
D ．平行或异面
【答案】D
【解析】根据两直线位置关系判断公共点个数，再作选择. 【详解】
因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，所以选D. 【点睛】
本题考查两直线位置关系，考查基本分析判断能力.
4．若函数()1,1
2,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
，则()3f f -⎡⎤⎣⎦的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】D
【解析】利用分段函数求出()3f -，然后求解()3f f -⎡⎤⎣⎦的值． 【详解】
()1,1
2,0
x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
()32(3)5f ∴-=--=
()3(5)516f f f ∴-==+=⎡⎤⎣⎦
故选：D 【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题。

5．在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】【详解】
由题意，当0a >，函数()2f x ax =-为单调递减函数，若01a <<时，函数
()2f x ax =-的零点02
2x a
=
>，且函数()()log 2a g x x =+在()2-+∞，
上为单调递减函数；若1a >时，函数()2f x ax =-与的零点02
2x a
=<，且函数
()()log 2a g x x =+在()2-+∞，上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.
6．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】D
【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--
当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选D
7．已知函数f(x)＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]
C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 【答案】C
【解析】由函数()2
48f x x kx =--在区间()5,20上既没有最大值也没有最小值，可得
函数()2
48f x x kx =--在区间()5,20上是单调函数，根据对称轴与区间的关系可求k
的范围. 【详解】
由于二次函数()2
48f x x kx =--在区间()5,20上既没有最大值也没有最小值，
因此函数()2
48f x x kx =--在区间()5,20上是单调函数，
二次函数()2
48f x x kx =--图象的对称轴方程为8
k x =
， 因此
58k ≤或208
k
≥，40k ∴≤或160k ≥，故选C. 【点睛】
本题主要考査了二次函数的性质的应用，解题的关键是判断二次函数在对应区间上的单调性，讨论对称轴与所给区间的关系，本题属于中档题.
8．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
【答案】B
【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．
9．若2log 31x =，则39x x +的值为 （ ） A ．3 B ．
52
C ．6
D ．
12
【答案】C
【解析】由3
2log 1x =，可得：3x 2log =
∴33223939246log log x x +=+=+= 故选C 10．函数的零点所在的区间是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】试题分析：记
，则
所以零点所在的区间为
【考点】本题主要考查函数的零点存在定理.
点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.
11．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) A ．8 B ．
8
π
C ．
4π
D ．
2π
【答案】B
【解析】根据底面周长为4计算出底面直径，求出轴截面面积． 【详解】
解：因为用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱 所以底面圆的周长为4 可得底面直径为4
2r π
=
所以此圆柱的轴截面矩形的面积为8
2S r h π
=⨯=
故选：B 【点睛】
本题给出矩形做成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面面积，着重考查了圆柱侧面展开图，圆的周长公式和矩形的面积公式，属于基础题．
12．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式
()()
0f x f x x
--<的
解集为（ ）
A ．(1
0)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，
， D ．(1
0)(01)-⋃，， 【答案】D
【解析】由f (x )为奇函数可知，
()()
f x f x x
--＝
()2f x x
<0.
而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，
然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
二、填空题
13．已知幂函数()f x 的图像过点1(8,)2
，则f(27)=________ 【答案】
13
【解析】设f （x ）=x α
，将点（8，
1
2
）的坐标代入可求得α，从而可得答案． 【详解】
：设f （x ）=x α
，
∵幂函数f （x ）的图象过点（8，12
）， ∴8α=
12，即23α=2﹣1， ∴3α=﹣1， ∴α=﹣
13
． ∴f （x ）=
13
x -
．
∴f(27)=1
3
故答案为：13
． 【点睛】
本题考查幂函数的概念与解析式的求法，属于基础题．
14．已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则该长方体的外接球的表面积为__________． 【答案】50π
【解析】分析可得，长方体的体对角线即为外接球直径，代入数据即可求解。

【详解】
长方体的体对角线即为外接球直径，()2
222234550R =++=，所以外接球的表面积为24π50πR =． 【点睛】
本题考查长方体的外接球问题，重点在于掌握长方体的体对角线即为外接球直径，属基础题。

15．函数()1
x
f x x =
-在区间[]2,5上的值域为___________； 【答案】524⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【解析】首先判断出()f x 在[]2,5上的单调性，由此求得()f x 在[]
2,5上的值域. 【详解】 由于()111
111
x f x x x -+=
=+--，其在[]2,5上单调递减，所以最大值为()22f =，最小值为()554f =
，所以()f x 在区间[]2,5上的值域为524⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，. 故答案为：524⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和值域，属于基础题.
16．若函数()22x
f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】02b << 【解析】【详解】
函数()22x
f x b =--有两个零点，
和
的图象有两个交点，
画出
和
的图象，如图，要有两个交点，那么
三、解答题 17．已知集合
{|3327}x A x =≤≤，2{|log 1}B x x =>.
（1）求A B
（2）求()
R C B A .
【答案】（1）{
2x ＜}3x ≤；（2）{}
3x x ≤
【解析】（1）先解指数不等式得集合A ，再解对数不等式得集合B ，最后根据交集定义得结果，（2）先根据补集定义求R C B ，再根据并集定义得结果. 【详解】
（1）由3327x ≤≤得13x ≤≤，故{}
13A x x =≤≤； 由2log x ＞1得x ＞2，故{
B x x =＞}2 ∴{
2A B x ⋂=＜}3x ≤
（2）由{
B x x =＞}2得{}
2R C B x x =≤ ∴(){}
3R C B A x x ⋃=≤ 【点睛】
本题考查指数不等式、对数不等式以及集合交并补运算，考查基本求解能力，属基础题. 18．计算下列各式的值. （1
）
12
2
049π-
-⎛⎫
+
- ⎪⎝⎭
（2）
34log 2log 9lg5
lg 4
∙-.
【答案】(1)1
2-
；(2)12
. 【解析】试题分析：（1）直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程一定要细心，避免出现计算错误；（2）直接利用对数的运算法则及换底公式求解即可. 试题解析：（1
）
12
2
049π-
-⎛⎫
+
- ⎪⎝⎭
()
13
2
1
21
1
118
49⎛⎫=+
-
- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭
1311222
=+--
12
=-
（2）
34log 2?log 9lg5
lg4
-
32log 2?log 3lg5
lg4
-=
1lg5lg4-=
4lg21
log 2lg42
=
== 19．如图,已知四棱锥P-ABCD ,底面四边形ABCD 为正方形，AB=2，M ,N 分别是线段P A 、PC 的中点.
（1）求证:MN ∥平面ABCD ；
（2）判断直线MN 与BC 的位置关系，并求它们所成角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）45
【解析】（1）连接AC ，利用中位线证得//MN AC ，由此证得//MN 平面ABCD . （2）根据（1）的结论，判断MN 与BC 异面，且ACB ∠是异面直线MN 与BC 所成角，根据正方形的几何性质求得这个角的大小. 【详解】
（1）连接AC ，在三角形PAC 中，,M N 分别是,PA PC 的中点，所以MN 是三角形
PAC 的中位线，所以//MN AC ，由于MN ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所
以//MN 平面ABCD .
（2）由于//MN AC ，AC 与BC 相交，所以MN 与BC 为异面直线，且ACB ∠是异面直线MN 与BC 所成角，由于四边形ABCD 是正方形，所以45ACB ∠=.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
20．已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时2(1)2f x x x =++
.
（1）求函数()f x 的表达式； （2）请画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的单调区间.
【答案】（1）()f x =2221,00,021,0x x x x x x x ⎧++<⎪
=⎨⎪-+->⎩
；（2）见解析；（3）递增区间是(1,0),(0,1)-；
递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞
【解析】（1）利用奇函数的定义求解函数的解析式． （2）利用函数的解析式画出函数的图象即可． （3）结合函数的图象，写出函数的单调区间即可． 【详解】
（1）设2
0,0,()21x x f x x x >-<∴-=-+则
又()f x 是定义在R 上的奇函数, ()()f x f x ∴-=-
所以2()21,(0)f x x x x =-+->
当0x =时,(0)0f =
所以()f x =2221,00,021,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩
（2）图象：
（3）递增区间是(1,0),(0,1)-
递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞
【点睛】
本题考查函数的图象以及函数的单调性的判断，函数的解析式的求法，考查计算能力．
21．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PD AB ==,E 为PC 中点
.
（1）求证：DE ⊥平面PCB ；
（2）求点C 到平面DEB 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】（1）利用线面垂直的性质得PD BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面PCD ，从而证出BC DE ⊥，再由等腰三角形三线合一证出DE PC ⊥，然后根据线面垂直的判定定理即可证出DE ⊥平面PCB ；
（2）过点C 作CM BE ⊥于点M ，证CM ⊥平面DEB ，得线段CM 的长度就是点C 到平面DEB 的距离，由等面积法得CE BC CM BE ⋅=
． 【详解】
（1）证明：PD ⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥
又∴正方形ABCD 中，,CD BC PD
CD D ⊥= BC ∴⊥平面PCD ·
又DE ⊂平面PCD ，BC DE ∴⊥，
PD CD =，E 是PC 的中点，
∴,DE PC PC BC C ⊥⋂=，
DE ∴⊥平面PCB ·
（2）过点C 作CM BE ⊥于点M ，
由（1）知平面D EB ⊥平面PCB ，
又平面 DEB 平面PCB BE =，CM ∴⊥平面DEB ，
∴线段CM 的长度就是点C 到平面DEB 的距离·
2,2,90PD AB PD AB CD PDC ︒=====∠=，
2PC EC BC ∴===，
CE BC BE CM BE ⋅∴=∴==·
∴点C 到平面DEB 【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查点到平面的距离，属于基础题． 22．已知()()()()log 1log 10,1a a f x x x a a =+-->≠且
(1)求()f x 的定义域；
(2)判断()f x 的奇偶性并予以证；;
(3)求使()f x >0成立的x 的取值范围.
【答案】（1）{|11}x x -<<；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析
【解析】（1）解不等式1010x x +>⎧⎨->⎩
即得函数的定义域；（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性并证明；（3）对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式.
【详解】
（1）由题得1010x x +>⎧⎨->⎩
，所以11x -<<，所以函数的定义域为{|11}x x -<<； （2）函数的定义域为{|11}x x -<<，所以函数的定义域关于原点对称，
所以()()()log 1log 1()a a f x x x f x -=--+=-,
所以函数f(x)为奇函数.
(3)由题得()1log 0log 11a a x f x x +⎛⎫=>= ⎪-⎝⎭
， 当a ＞1时，所以
1+1,011x x x
>∴<<-,因为函数的定义域为{|11}x x -<<， 所以01x <<； 当0＜a ＜1时，所以11,101+11x x x x -<<⎧⎪∴-<<⎨<⎪-⎩
. 【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查函数奇偶性的判断和证明，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.。