数百强名校试题解析精编版：浙江省温州市第二外国语学校2019届高三10月阶段性检测试文数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A
B 为 ( )
A ．{0,1}-
B ． {1,1}-
C ． {1}-
D ．{0} 【答案】C
考点：集合的基本运算
2.若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中准确的是（ ） A ．
01
1<+b
a B ．
b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 【答案】A 【解析】
试题分析：可取满足条件的特殊值，不妨令2,1a b ==-,代入得只有A,C,满足，排除B,D,再令1,2a b =-=,排除C ，所以应选A. 考点：不等式的性质
3.下列命题中准确的命题是（ ）
A.若存有[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()12()f x f x <，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；
B.若存有],[b a x i ∈（),2,1*
N n i n n i ∈≥≤≤、，当123n x x x x <<<
<时，有
()()()123()n f x f x f x f x <<<
<，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；
C.函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数
)(x f y =在),0[+∞ 上一定是减函数；
D.若对任意[]12,,x x a b ∈，当21x x ≠时，有
0)
()(2
121>--x x x f x f ，则说函数)(x f y =在
区间[]b a ,上是增函数。

【答案】D 【解析】
试题分析：对于函数的单调性是对于某一区间内的任意一个实数都成立才行，只要有存有二字一定错，故A,B 错，对于C; .函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，若对任意的0x >，都有
()(0)f x f <，则函数)(x f y =在),0[+∞ 上不一定具有单调性；D 符合函数单调性的定义，
故选D.
考点：函数单调性的定义
4.设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1
b a
<
”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必
要条件 【答案】D 【解析】
试题分析：,a b 为实数，则“01ab <<”式子两边同除以a,因为a 的正负，所以得不到
“1b a <
”不是充分条件；,a b 为实数，则“1
b a
<”两边同乘以a,因为a 的正负未知，故得不到“01ab <<”不是必要条件，所以,a b 为实数，则“01ab <<”是“1
b a
<”的.
既不充分又不必要条件. 考点：充分必要条件的判断
5.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2
2
2
()tan a c b B ac +-=，则角B 的值是（ ）
A ．
3
π
B ．
6
π
C ．
3
π
或
23
π
D ．
6π或6
5π 【答案】D
考点：余弦定理的应用
6.设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线，则下列命题中准确的是（ ） A ．若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则； B ．若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则； C ．若//,,l m m n αα⊥⊥，则//;l n D ．若,,//.l m l n n m ⊥⊥则 【答案】C 【解析】
试题分析：一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直，则A 错；B ．若,,,m n l n αα⊂⊥⊥l m 与位置关系不确定；垂直于同一条直线的两条直线平行，
由,//,//m n n m l m αα⊥⊥∴，
又，所以//;l n 故C 对；D ．若,,.l m l n n m ⊥⊥与位置关系
不确定.
考点：直线平面的位置关系
7.已知21,F F 分别是双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左、右焦点，O 为坐标原点，P
为双曲线右支上的一点，1PF 与以2F 为圆心，2OF 为半径的圆相切于点Q ，且Q 恰好是1PF 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A.
213+ B.13+ C.2
6
D.15- 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意2OF 为半径的圆相切于点Q ，且Q 恰好是1PF 的中点，连接
2212122,2,F Q F Q PF PF F F c PQ QF ⊥===则，,P 为双曲线右支上的一点，所以
1212,2+2a PF PF a PF c -==即，1
+a FQ c =,在直角三角形222222122112,,(a c)(2)F QF QF QF F F c c +=∴++=，化简得22220,a ac c +-=式子的两端
同乘以2a ，可得22210,e e --=
解得e =
，又因为1,e e >∴= A. 考点：双曲线的离心率
8.偶函数)(x f 、奇函数)(x g 的图象分别如图①、②所示，若方程：
(())0,f f x =(())0,f g x =0))((,0))((==x f g x g g 的实数根的个数分别为a 、b 、c 、d ，
则d c b a +++= ( )
A ．27 ．．33 D ．36
【答案】B
考点：函数的图像及应用
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分
)
9.设二次函数f （x ）= ax 2
﹣4x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ；
若ax 2
﹣4x+c>0的解集为 (-1,2),则a c -= 【答案】3,-12 【解析】
试题分析：因为二次函数f （x ）= ax 2
﹣4x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则0
1640
a ac >⎧⎨
∆=-=⎩，
所以0,16a ac >=
，1932c a +≥==，当且仅当19c a =即4123
a c ==且时取等号.
因为ax 2
﹣4x+c>0的解集为 (-1,2)，所以-1,2是方程240ax x c -+=的两个根，则
41212a
c a ⎧
-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=
⎪⎩
解得4,4(8)128a a c c =⎧∴-=--=⎨=-⎩ 考点：（1）基本不等式，（2）一元二次不等式的解法
10.过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2
2
40x y y +-=相交，则圆的半径为___________直线被圆截得的弦长为______________
【答案】 【解析】
试题分析：将圆2
2
40x y y +-=的方程化为标准式为2
2
(2)4x y +-=，所以该圆圆心为（0,2）的半径为2；过原点且倾斜角为60︒
0y -=
，该直线与圆心的距离
1d =
=
，直线被圆截得的弦长为= 考点：求圆的半径及弦长
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．
,32
π 【解析】
试题分析：由三视图知几何体为圆锥的一半，且圆锥的底面圆半径为1
的体积
V=211132V π=
⨯⨯=;
2=
表面积为21
113
11222
222
πππ⨯+
⨯⨯+⨯=+考点：由三视图求几何体的体积、表面积
12.设1,m >在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值
为 ，目标函数y x z -=2的最小值为________. 【答案】3, 4
1- 【解析】
试题分析： 作出不等式组1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
表示的可行域，如图：
其中1(
,),(1,1),O(0,0)11m A B m m ++,作直线15
y x =，并且实行平移，当过点A 时，目标函数z 取得最大值，15411
m
m m +⨯=++，解得3m =；
作直线2y x =并且平移，当过点13(,),44A 时，目标函数y x z -=2的最小值为14
-. 考点：线性规划
13.若函数x a x y cos sin +=在区间[0,
6
π
]上是单调函数，最大值为2
1a +,则实数
a = .
当x=0
时，函数取得最大值时a =
考点：辅角公式的应用和三角函数的单调性．
14.设等差数列{}n a 满足：222222333636
45sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，公差
(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围
是
【答案】43(,)32ππ
【解析】
试题分析：由222222333636
45sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+可得
33636363645cos 2(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )
1sin()a a a a a a a a a a a -+++=+，
3363645cos 2(cos())(cos())
1sin()
a a a a a a a -++-=+，
由积化和差公式363
4511
cos 2cos cos 22
21sin()
a a a a a +-=+，整理并化简得
636345sin()sin()
1sin()a a a a a a +-=+，所以sin(3)1,d =-因为公差(1,0)d ∈-,3(3,0)d ∈-
3,2
6d d π
π
∴=-
=-
， 由211(1)()21212n
n n d s na n a n ππ
-=+=-++ 其对称轴方程16(),12
n a π
π=+由题意当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值， 117619(),2122a ππ∴<+<解得14332
a ππ
<<
考点：等差数列的通项公式，三角函数的相关公式及等差数列的前n 项和.
15.已知椭圆)0.(:22
22>>+b a b
y a x C 直线6+=x y 与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴
为半径的圆相切，21,F F 为其左右焦点，P 为椭圆C 上的任意一点，∆21PF F 的重心为G ，内心为I ，且IG 21//F F ．已知A 为椭圆C 上的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于
N M ,两点，若AN AM ,的斜率21,k k 满足2
1
21-
=+k k ，直线MN 的方程________． 【答案】2(1)y x =-
所以可设直线l 方程可设为(1)y k x =-，设直线l 与椭圆22
143
x y +=交于点
1122(,),N(,)
M x y x y ，将(1)y k x =-代入
22
143
x y +=中，得
2222(34)84120k x k x k +-+-=，
由题意：2990k ∆=+>，
根据根与系数的关系2
122
2
12283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，又1212121212121111()(23())222222
y y x x k k k k x x x x x x --+=
+=+=-+++++++ 1212124
(23(
)2()4
x x k x x x x ++=-+++
222228(34)
(23()412164(34)
k k k k k k ++=--+++=2
解得2k =
所以直线MN 的方程2(1)y x =-
考点：椭圆方程的求法，考查直线方程的求法.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c
，1tan ,cos 2
A B ==
. （Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若ABC ∆
，求最长边的长. 【答案】（Ⅰ）3
4
C π=,（Ⅱ）
5.
试题解析：（14分）解：（I ）1
tan ,2A A =∴
为锐角，则cos A =
sin A =.
又cos B =
A ∴
为锐角，则sin B =
cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+==.
又3
(0,)4
C C ππ∈∴=.………………………………………………………7分
（Ⅱ）sin sin ,A B A B =
>=∴>即a b >.
b ∴最小，
c 最大.
由正弦定理sin sin b c
B C =
得：sin 5sin C c b B =⋅==.
…………………14分
考点：正弦定理和余弦定理的应用.
17.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足S n +a n =2. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足不等式32
63
21>
+++n a a a 的n 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）11
()2
n n a -=；（Ⅱ）6,n n N *
>∈ 【解析】
试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；（2）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的相关公式并能灵活使用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于使用整体代换的思想简化运算过程. 试题解析：（Ⅰ）n=1时11a =, ∵2n n S a +=
当2n ≥时112n n S a --+= ∴11102n n n n n n S a S a a a ---+--=⇒=
∵110a =≠ ∴11()2n n a -=………………………………………………………………7分
（Ⅱ）12111
163
1()()()22
232
n -+++
+>
∴16311
2()()232232
n n ->
⇒<
∴6,n n N *
>∈……………………………………………………………………………14分 考点：（1）求通项公式；（2）等比数列的前n 项和公式.
18.（本小题满分15分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF
所在的平面互相垂直，
1AB AF ==，M 为线段EF 的中点。

（Ⅰ）求证：AM ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求二面角A DF B --的平面角的大小．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60
试题解析：（I ）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，∵O 、M 分别是
,AC EF 的中点，ACEF 是矩形
∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ，∵OE ⊂平面BDE
AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE …………………6分
（Ⅱ）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ， ∵,,AB AF AB AD AD
AF A ⊥⊥=
∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理点得BS DF ⊥
∴BSA ∠是二面角A DF B --的平面角，
在Rt ASB ∆中，AS AB =
=
∴tan 60ASB ASB ∠=∠=
二面角A DF B --的大小为60 …………………8分
另解：以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CE 所在直线为z 轴，建立
空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，D ，A ，B ，(0,0,1)E ，
F
M ，设AC 与BD 交于点O ，则O
（I ）易得：(AM =-
，(OE =- 则AM ∥OE ，由OE ⊂面BDE ，故AM ∥面BDE ；
考点：证明线面平行及求二面角
19.（本小题满分15分）如图，设抛物线方程为)0(22
>=p py x ，M 为直线p y l 2:-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B . 若抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，
F 为焦点时,2
3
=
-PF d . (Ⅰ)抛物线方程；
(Ⅱ)求M 到直线AB 的距离的最小值.
【答案】(Ⅰ)y x 22=；(Ⅱ
) 【解析】
试题分析：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，因为标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就能够确定抛物线的标准方程注意抛物线定义的应用；（2）第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：(Ⅰ)由2
3
||=
-PF d ，得y P +2p -(y P +
2
p )=
2
32
3=p ⇒p =1， ∴抛物线方程为y x 22
=.…………………………………………………………4分 (Ⅱ)设M (m , -2)，过M 点的直线为L ：y =k (x -m )-2，
联立：2
()2
2y k x m x y
=--⎧⎨
=⎩，消去y ，得2
22x kx km =--⇒2
22(2)0x kx km -++=①，
相切，则△=0
⇒2
48(2)0k km -+=⇒2240k mk --=②，此时方程①有等根x=k ， 令A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1-x 2=(k 1-k 2)
，
y 1-y 2=22
12
2x x -=12121212()()()()22
x x x x k k k k -+-+=
， ∴AB 的斜率k ′==
--2
12
1x x y y 2
2
1k k +，由②，122k k m +=，∴k ′=m ， ∴直线AB 的方程为
11()y y m x x -=-⇒2112
()k y m x k -=-⇒211222y k mx mk -=-
⇒21122(2)0mx y k mk -+-=，由②，21124k mk -=， ∴AB 方程化为：2240mx y -+=，点M 到AB 的距离
d=
==
=+
≥=，当且仅当
=
⇒213m +=
，即m =
∴M 到直线AB 的距离的最小值为…………………11分 考点：求抛物线方程及直线与抛物线的综合问题.
20.（本小题满分15分）设二次函数2
()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：
①当x R ∈时，其最小值为0，且(1)(1)f x f x -=--成立； ②当(0,5)x ∈时，()2|1|1x f x x ≤≤-+恒成立． （Ⅰ）求)1(f 的值并求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）求最大的实数(1)m m >,使得存有R t ∈，只要当[1,]x m ∈时，就有()f x t x +≤成立．
【答案】（Ⅰ）21
()(1)4
f x x =
+；(Ⅱ)9
试题解析：（Ⅰ）在②中令1x =，有1()1f x ≤≤，故(1)1f =； 由①知二次函数的开口向上且关于1x =-对称，故可设些二次函数为
2()(1)(0)f x a x a =+>，又由(1)1f =代入求得1
4
a =。

故21
()(1)4
f x x =
+。

…………………………………………………………4分 (Ⅱ) 假设存有t R ∈，只要[1,]x m ∈,就有()f x t x +≤。

取1x =，有(1)1f t +≤，即
2111
(1)(1)1,424
t t ++++≤解得40t -≤≤ 对固定的[4,0]t ∈-，取x m =，有()f t m m +≤，即2111
()(),424
t m t m m ++++≤
化简得222(1)(21)0,m t m t t --+++≤解得11t m t --≤≤-+
故11(4)9m t ≤-+
≤--+=，
4t =-时，对任意的[1,9]x ∈，恒有211
(4)(109)(1)(9)044
f x x x x x x --=-+=--≤
m 的最大值为9。

…………………………………………………………11分
考点：求函数的解析式及最值问题.。