【苏科版】高中数学必修五期末第一次模拟试题(附答案)

一、选择题
1．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．3
2．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大
值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．
254
B ．
499
C ．
144
25
D ．
225
49
3．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值
范围为（ ） A
．(1,1 B
．()
1++∞ C ．（1，3）
D ．（3，+∞）
4．设变量,x y 、满足约束条件236y x
x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
5．一艘客船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时测得船与灯塔S
相距里，则灯塔S 在B 处的（ ） A ．北偏东75 B ．北偏东75或东偏南75 C ．东偏南75 D ．以上方位都不对
6．在ABC 中，2
sin 22C a b a
-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 7．在ABC 中，若2a =
，b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30
B ．30或150︒
C ．60︒
D ．60︒或120︒
8．在ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足
()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=，则ac 的值为 (
)
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ） A ．{}n n a S +是等差数列 B ．{}n n a S ⋅是等差数列 C ．{}2n
a 是等比数列
D ．{}2
n
S 是等比数列
10．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则4
3
a a =（ ）． A ．2
B ．1
C ．
32
D ．
12
11．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？（ ） A ．540
B ．785
C ．855
D ．950
12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则z =__________．
14．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
,则24z x y =+-的最大值是___.
15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则
a =_______．
16．在△ABC 中，已知AB ＝9，BC ＝7，cos （C ﹣A ）＝
19
21
，则ABC 的面积为_____. 17．在三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD CD =，AD BD =，则
2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为__________．
18．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
19．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________. 20．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和
n S =___________.
三、解答题
21．已知函数2
(4)()x f x x +=
(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞
503
； （2）求函数f （x ）的最小值．
22．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？ 23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为
23
π
，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．
（1）求::a b c 的值；
（2）若ABC
的内切圆的半径32
r =，求ABC 的面积． 24．设ABC 的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且2
1.2
b a
c =
（1）求证：cos 34
B ≥
； （2）若cos()cos 1A C B -+=，求角B 的大小.
25．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 和为n S 且99
200n
S >，求n 的最小值． 26．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设2
3
n n b n a =
⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .
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一、选择题
1．B 解析：B 【分析】
由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】
因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>， 由基本不等式可得()()
128a b -++≥=，所以，7a b +≥，
所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．C
解析：C 【分析】
根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】
由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得4
3x y =⎧⎨
=⎩
. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点
()4,3取得最大值4312a b +=.
22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，
原点到直线43120x y +-=
12
5
=
， 所以22a b +的最小值为2
12144525⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3．A
解析：A
【解析】
试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．
考点：简单线性规划的应用.
【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜
角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据
平面直线方程判断出目标函数
对应的直线与直线
垂直，且在
点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
的可行域，如图，
画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，
由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，
2z x y =+的最大值为9.
故选D. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或
最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．B
解析：B 【分析】
根据题意作出示意图，利用正弦定理求出ASB ∠，可求得ABS ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：
客船半小时的行程为1
32162
AB =⨯
=（海里）， 因为82BS =30BAS ∠=8216
30sin ASB
=
∠， 所以，2
sin 282
ASB ∠=
=，45ASB ∴∠=或135. 当45ASB ∠=时，105ABS ∠=，此时，灯塔S 在B 处的北偏东75； 当135ASB ∠=时，15ABS ∠=，此时，灯塔S 在B 处的东偏南75. 综上所述，灯塔S 在B 处北偏东75或东偏南75. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：在求解测量角度问题时，方法如下：
（1）对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解；
（2）根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．
6．D
解析：D
利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出
cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论. 【详解】
21cos sin 222C C a b a
--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =，
所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，
0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，
0A π<<，2
A π
∴=，因此，ABC 为直角三角形.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
7．D
解析：D 【分析】
由正弦定理，求得sin sin b
B A a
=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b
A B
=，
即sin sin sin 30b B A a =
=︒=
， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．A
解析：A
利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得cos B 的值，由4BC BA ⋅=可得ac 的值 【详解】 在
ABC 中，()3bcosC a c cosB =-
由正弦定理可得()sin cos 3sin sin cos B C A C B =-
3sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=化为：3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+
即()sin sin B C A += 在
ABC 中，sin 0A ≠，故1
cos 3
B =
4BC BA ⋅=,
可得cos 4ac B =，即12ac = 故选A 【点睛】
本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
9．D
解析：D 【分析】
由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】
因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列
{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，
()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对
B ，112
1----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，
22
2
211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222
222(1)(1)
-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列. 故选：D 【点睛】
解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.
10．D
【分析】
分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a a
S a a q a q
q q
--=-=
+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得1
2
q =，故4312a q a ==.
故选D ． 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
由已知条件转化为两个等差数列的前n 项和为定值问题，进而计算可得结果． 【详解】
由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列{}n a ， 驽马每日行程构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列{}n b ， 则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ， 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250， 又∵数列{a n }的前n 项和为2n ×（103+13n +90）＝2
n
×（193+13n ）， 数列{b n }的前n 项和为2n ×（97+97.5﹣0.5n ）＝2n ×（194.5﹣2
n
）， ∴
2n ×（193+13n ）+2n ×（194.5﹣2n
）＝2250，整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0，
解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢，相逢时驽马行了92×（194.5﹣9
2
）=855. 故选：C 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等差数列及等差数列的前n 项和，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【解析】
设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.
二、填空题
13．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是 解析：
45
5
【分析】
画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可． 【详解】
画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，的平面区域，如图所示：
而22(4)z x y =++()40-，的距离， 显然()40-，
到直线240x y -+=的距离是最小值， 由844541
d -+=
=
+45
，
故答案为45
5
． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
14．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化
解析：21 【分析】
画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可． 【详解】
画出,x y 满足的可行域，由20
250
x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经
过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
15．4【分析】先由正弦定理可得再由余弦定理可得即可由解出【详解】abc 为三个连续自然数由正弦定理可得即由余弦定理可得解得故答案为：4【点睛】本题考查正余弦定理的应用解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理
解析：4 【分析】
先由正弦定理可得2
cos 2a A
a
，再由余弦定理可得5
cos 22
a A
a ，即可由
52
22
2a a a a
解出a .
【详解】
a ，
b ，
c 为三个连续自然数，1,2b a c a ∴=+=+， 由正弦定理可得
sin sin a c
A C =，即2
2
sin sin 22sin cos a a a A
A A A
，
2
cos 2a A
a
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
221
2
155
cos 2212
212
22
a a a a a
b
c a a A
bc
a a a a
a ，
52
22
2a a a a ，解得4a =.
故答案为：4. 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理表示出cos A ，即可得出
52
22
2a a a a
.
16．【分析】设AD ＝CD ＝xBD ＝9﹣x 在中利用余弦定理可得x ＝6再利用余弦定理求出cosB 进而求出sinB 根据三角形的面积公式即可求解【详解】∵AB ＞BC ∴C ＞A 作CD ＝AD 则∠DCA ＝∠A 则∠BCD
解析：【分析】
设AD ＝CD ＝x ，BD ＝9﹣x ，在BDC 中，利用余弦定理可得x ＝6，再利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】 ∵AB ＞BC ， ∴C ＞A ，
作CD ＝AD ，则∠DCA ＝∠A ，则∠BCD ＝C ﹣A ，
即cos ∠BCD ＝cos （C ﹣A ）＝
1921
， 设AD ＝CD ＝x ，则BD ＝9﹣x ，
在BDC 中，由余弦定理得：BD 2＝CD 2+BC 2﹣2CD ⋅BC ⋅cos ∠BCD ， 即（9﹣x ）2＝x 2+49﹣2×7x 1921⋅
＝x 2+49﹣283
x ，整理解得：x ＝6，
∴AD＝6，BD＝3，CD＝6，
在BDC中，由余弦定理得cos B＝
222
2
BD BC CD
BD
BC
+-
⋅
＝
222
376
237
+-
⨯⨯
＝
11
21
.
则sin B＝2
1cos B
-＝
85
21
，
则△ABC的面积S＝
1
2
×7×9×
85
21
＝125，
故答案为：5
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算能力，属于中档题. 17．【分析】设则在△ABD和△ACD中由正弦定理化简可得由两角差的正弦公式化简可得根据正弦函数的值域即可求解的最大值【详解】如图由已知设则在△ABC中由正弦定理可得:在△ACD中由正弦定理可得:所以化简
解析：
3
2
【分析】
设,
BD x
=则,
2
x
AD x CD
==,在△ABD和△ACD中,由正弦定理化简可得
3
sin2sin cos
22
sin sin()
x x
B B B
BAC BAC B
⋅⋅
=
∠∠-
,由两角差的正弦公式,化简可得
2
3
tan cos sin2
2
BAC B B
∠⋅=,根据正弦函数的值域即可求解2
tan cos
BAC B
∠⋅的最大值.【详解】
如图,由已知,设,
BD x
=则,
2
x
AD x CD
==,
在△ABC中,由正弦定理可得:
3
2
sin sin
x
b
BAC B
=
∠
,
在△ACD中,由正弦定理可得: 2
sin()sin2
x
b
BAC B B
=
∠-
.
所以
3
sin2sin cos2sin cos
22
2
=
sin sin()sin cos cos sin
x x x
B B B B B
BAC BAC B BAC B BAC B
⋅⋅⋅
=
∠∠-∠-∠
化简可得:tan cos3sin
BAC B B
∠⋅=,可得: 2
33
tan cos sin2
22
BAC B B
∠⋅=≤.
可得2
tan cos
BAC B
∠⋅的最大值为
3
2
.
【点睛】
本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.
18．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规
解析：
1
,2
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【分析】
作出可行域，
y
x
表示()
,x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.
【详解】
如图，不等式组
20
10
30
y
x y
x y
-
⎧
⎪
--
⎨
⎪+-
⎩
表示的平面区域ABC（包括边界），所以
y
x
表示()
,x y
与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以1
22
OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
19．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析：2-
【分析】
根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】
由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称， 又
()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，
因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.
20．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键
解析：
()1
1332
n n +-- 【分析】 根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】
由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，
因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，
所以11333n n
n a -+=⨯=，所以31n n a =-，
所以123
3333n n S n =+++
+-
3(13)13
n n -=--
()1
1332
n n +=
--. 故答案为：()1
1332
n n +-- 【点睛】
关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.
三、解答题
21．（1）8
|03
x x ⎧<<⎨⎩
或}6x >；（2）16 【分析】
（1）令2(4)50
3x x +>
，解得x 的范围与0x >求交集即可得解集. （2）将2
(4)()x f x x
+=展开整理，然后用基本不等式求最值.
【详解】
（1）220
(4)50()(4)5033x x f x x x x
>⎧+⎪
=
>⇔⎨+>⎪
⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧
⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩
⎩或}6x >.
（2
）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=，
当且仅当16x x =，即4x =时函数2
(4)()x f x x
+=取得最小值16.
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，和基本不等式求最值，属于基础题.
22．（1）16()36005800(0)f x x x x ⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭（2）当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可
使房屋总造价最低，34600元. 【分析】
（1）设底面的长为x m ，表示出正面，侧面面积，可得总造价； （2）由基本不等式可得最小值． 【详解】
解：（1）设底面的长为x m ，宽y m ，则12
y x
=m. 设房屋总造价为()f x ， 由题意可得
1216()3120038002580036005800(0)f x x x x x x ⎛
⎫=⋅+⨯
⨯⨯+=++> ⎪⎝
⎭ （2
）16()360058003600580034600f x x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当16
x x
=
即4x =时取等号. 答：当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元. 【点睛】
本题考查函数的应用，解题关键是根据已知条件引入变量（长度x ），列出总造价的函数式，从而再由基本不等式求得最小值． 23．（1
）1:1:2
）4
. 【分析】
（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果；
（2）根据()1
2
ABC S a b c r =++⋅△和1
sin 2
ABC
S ab C =
，根据（1
）中c =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】
（1）
A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，
()cos cos A B C +=-，
由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：
2sin 2sin cos 2sin cos
sin 3B A C A A π
=-=-=，A B ∴=，a b =，
2::sin :sin :sin sin :sin :sin 1:1:663a b c A B C πππ
∴===
（2）由（1
）知：c =，
(
)(
)
1132222ABC
S
a b c r a ⎫
=
++⋅=⎪⎭
，又2
1sin 24
ABC
S
ab C a =
=，
(
232224
a
⎫⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，
244
ABC
S
a ∴=
=
. 【点睛】
关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的
面积，即()11
sin 22
S a b c r ab C =
++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 24．（1）证明见解析；（2）6
π
.
【分析】
（1）由余弦定理结合2
1
2
b a
c =
，利用基本不等式求解. （2）由cos()cos 1A C B -+=，利用两角和与差的余弦公式得到1
sin sin 2
A C =
，再由 21
2b ac =
，利用正弦定理求解. 【详解】 （1）由余弦定理得2
2
2
1
2cos 2
b a
c ac B ac =+-=
， 所以2213
24o 4
c s a c ac B +=-≥，当且仅当 a =c 时等号成立.
（2）因为cos()cos 1A C B -+=，
所以()cos()cos 1A C A C --+=，
()cos cos sin sin cos cos sin sin 1A C A C A C A C +--=，
所以1sin sin 2
A C =， 又因为2
1
2
b a
c =
， 所以()2
2
1(2sin )2sin sin 2
R B R A C =， 所以2
1(sin )4
B =， 所以1sin 2
B =±
， 由（1）知B 为锐角， 所以6
B π
=
.
【点睛】
方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 25．（1）5；（2）50.
【分析】
（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得
23113a a a =⋅，即()()2
111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．
10,2d d a ≠∴=．
设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111
111
245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,
(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫
==-==- ⎪-+-+⎝⎭
， 11111
2133557
(21)(21)n S n n ⎫⎛=+++
+
⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭
111111111111233557
212122121
n
n n n n ⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++
-=-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >
，得9999
,212002
n n n >∴>+，故n 的最小值为50．
【点睛】
(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
26．（Ⅰ）123n n a -=⨯或1
32n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.
【分析】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得1
32n n a -=⨯和2
23
n n n b n a n =
⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和． 【详解】
解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，
由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或13
2a q =⎧⎨=⎩
，
故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或1
32n n a -=⨯．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知1
32n n a -=⨯，所以2
23
n n n b n a n =
⋅=⋅（*n ∈N ），
所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③
231212222n n S n +=⨯+⨯+
+⨯ ④ ③－④得1212222n n n S n +-=++
+-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，
所以1(1)22n n S n +=-⨯+．
【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有
()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.。