福建省南安市侨光中学高二数学上学期第一次阶段考试试

2016年秋季南安市侨光中学高二年第一次阶段考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案涂在答题卡相应位置.
1.若角0
120的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）
A ．34
B ．34-
C ．34±
D ．3
2.等差数列{}n a 中，6916a a +=，41a = ，则11a =（ ）
A ．64
B ．31
C ．16
D ．15
3.已知M 是ABC ∆的BC 边上的中点，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r
，则AM u u u u r 等于（ ）
A ．)(21→→-b a
B ．)(21→→+b a
C ．)(21→→--b a
D ．)(2
1→
→+-b a
4.在ABC ∆中,1a =,30A ︒=,45C ︒
=，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．
2 B ．2 C ．31+ D ．31+ 5.等比数列{}n a 中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为（ ） A ．2 B ．－2 C ．2或－1 D ．2或－2
6.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且2040S S =，则下列结论正确的是（ ） A ．30S 是n S 中的最大值 C ．60S =0 B ．30S 是n S 中的最小值 D ．30S =0
7.在ABC ∆中，60B ︒
=，2
b a
c =，则此三角形一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
8.数列{}n a 满足122,1,a a ==并且
)2(1211
1
≥-=
+-n a a a n n n .则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．1
100
B ．150
C ． 10012
D ．5012
9.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222
()tan a c b B +-3ac =，则角B 的
值为（ ） A ．
6π B ．3π C ．3π或23
π D ．
6π或56
π
10.若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααα
α
cos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A ．0 B ．2- C ．2 D ．2-或2 11.函数sin()(0,0,||)2
y A x A π
ωϕωϕ=+>><
的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）
A ．)61110sin(2π
+=x y
B ．)6
1110sin(
2π
-=x y C ．)6
2sin(2π
+=x y D. )6
2sin(2π
-
=x y
12.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对x R ∈ 恒成立， 且()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是（ ）
A.()26
3k ,k k Z π
πππ⎡⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B.,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦
C.,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D.,()2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦ 13. 一个大型喷水池的中央有一个竖直地面喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱顶端离地面的高度，
某人（身高1.8米）在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒
前进100米到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30︒
，则水柱顶端离地面的高度约是（ ） A ．100米 B ．101.8米 C ．50米 D ．51.8米
14.对于任意实数x ,符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，如[2]2-=-，[1.3]1=，[ 2.5]3-=-定义
函数π()sin []2f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．给出下列四个结论：
① 函数()y f x =的值域是[1,1]-； ② 函数()y f x =是奇函数；
③ 函数()y f x =是周期函数，且最小正周期为4；
④ 函数()y f x =的图像与直线1y x =-有三个不同的公共点． 其中错误结论的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题,每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应位置. 15.计算cos45cos15sin 45sin15︒︒+︒︒= .
16.在ABC ∆中，2BC =，60B ︒
=，当ABC ∆sin C = . 17.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则n a = .
18.已知ABC ∆外接圆半径是2cm ，tan 1A =-，则BC 边长为 cm ．
19.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．
20.平面凸四边形ABCD ，5,4,3,2====AD CD BC AB ，则此四边形的最大面积为 . 三、解答题：本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.把答案写在答题卡相应位置.
21.(本题满分12分）设点(2,2)A ,(5,4)B ,O 为坐标原点，点P 满足OP =OA +AB t ，（t 为实数）； （1）当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；
（2）四边形OABP 能否是平行四边形？若是,求实数t 的值；若不是，请说明理由.
22.(本题满分12分）等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知73=S ，且31+a , 23a , 43+a 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的公比q 和通项n a ； （2）若{}n a 是递增数列，令128
log 1
2+=n n a b ，求n b b b +++Λ21.
23.(本题满分12分）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边
上，且0AD AC ⋅=u u u r u u u r ，22sin 3
BAC ∠=，32AB =3BD =．
（1）求AD 的长；（2）求cos C ．
24.(本题满分14分） 已知数列{}n a 中，().2,,2
1
11*+∈=-=
N n x y a a n a n n 上，其中在直线点 （1）令11--=+n n n a a b ，求证数列}{n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项；
（3）设n n T S ,分别为数列{}n a }{n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n T S n n λ 为等差数列？若存在，试求出λ. 若不存在, 则说明理由.
2016年秋季南安市侨光中学高二年第一次阶段考试
理科数学 参考答案
一、1—5.ADBCD 6—10.CDBCA 11-14.CADC 二、31
2 17. ⎩⎨⎧≥==-)
2(,2)1(,51n n a n n 18. 22 19. 67
66 20.302
三、答案仅供参考，不同解法由阅卷老师自定评分标准。

21.解：（1）设点P （x ，0）， =(3,2), ∵=+t ，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),
⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由 ∴ ⎩⎨⎧-=-=,
11
t x 即
(2)设点P （x,y ），假设四边形OABP 是平行四边形，
则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1, OP ∥AB ⇒2y=3x ⎩⎨⎧-=-=32
y x 即 ……①,
又由OP =OA +AB t ，⇒ (x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴ ⎩⎨⎧+=+=t y t
x 2223即 …… ②,
由①代入②得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=2534t t ， 矛盾，∴假设是错误的， ∴四边形OABP 不是平行四边形。

22.解：（1）由已知条件得 2
2131232
6341722
a a a a a a a q =⎧=+++⎧⎪⇒⎨⎨++==⎩⎪⎩或
故1
312222
n n n n q q a a --⎧
==
⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩或 (2) 若{}n a 是递增数列，则7,21-==+n b a n n
n 。

{}()2
13-=
n n T n b n n 项和为的前记，
则有当71≤≤n 时，n n T b b b -=+++Λ21
72127S T b b b n n n -=+++>Λ时，当 =+++∴n b b b Λ21()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>+-≤≤-7,4221371,213n n n n n n 23.解：（1）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫
∠=+∠=∠
⎪⎝⎭
, 所以2
cos 3
BAD ∠=
． 在ABD ∆中，由余弦定理可知，2
2
2
2cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠
即28150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =, 由于AB AD >,所以3AD =． （2）在ABD ∆中，由22cos 3BAD ∠=可知1
sin 3
BAD ∠= 由正弦定理可知，
sin sin BD AB
BAD ADB
=
∠∠, 所以sin 6
sin 3
AB BAD ADB BD ∠∠=
=
因为2
ADB DAC C C π
∠=∠+∠=+∠，即6
cos 3
C =
24. 解：（1）由已知得 111
,22
n n a a a n +=
=+ 22133
,144
a a a =--=- 又11211,1n n n n n n
b a a b a a ++++=--=--
{}n b 是以4
3-为首项，以2
1为公比的等比数列.
（2）由（1）知， 1
3
131()
42
22
n n n b -=-⨯=-⨯
将以上各式相加得：1213111(1)()2222
n n a a n ----=-
++⋅⋅⋅
3
22n n
a n ∴=
+- （3） 假设存在实数λ，使得数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n T S n n λ为等差数列
由（1）、（2）知，
当2=λ时，
23
2
n n S T n n +-=
为等差数列 当且仅当2=λ时，数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n T S n n λ是等差数列.。