湖北华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷(原卷版)

华中师大一附中2024-2025学年度十月月度检测
数学试题
时限：120分钟 满分：150分 命题人：游林 审题人：钟涛
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合
1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ==== ，则A B = （ ） A. {1,1}− B. {(1,1),(1,1)}−
C. (0,)+∞
D. (0,1) 2. 已知函数()*(2),n f x x n =−
∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b =（ ）
A.
B.
C.
D. 4. 已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则
19(0)x a x a x
+<<−的最小值为（ ） A. 5 B. 112 C. 203
D. 163 5. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（ ）． A. π12x =
B. π6x =
C. π3x =
D. 5π12
x = 6 设37a =，ln 2b =，3sin 7
c =，则（ ） A. b c a >> B. a c b >>
C. a b c >>
D. b a c >> 7. 已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=−−>的图象关于直线π12
x =
轴对称，且()f x 在π0,3 上没有最小值，则ω的值为（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
.
8. 定义在R 上奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x −−+=
，()12024e f =．若()()0f x f x ′+−>，则不等式()11e x f x +>
的解集是（ ） A. ()3,+∞ B. (),3−∞ C. ()1,+∞ D. (),1−∞
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. ()21sin15cos152
°−°=
B. 22sin 22.5cos 22.5°−°=
C. 1
cos28cos32cos62cos582
°°−°°=−
D. (3tan10cos502°−°=−
10. 已知抛物线()2:20C y px p =
>，过C 焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB = ，则下列结论正确的有（ ）
A. 2p =
B. 3AF =
C. t =
或−
D. 线段AB 中点横坐标为54
11. 已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=−上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 曲线C 的图象关于原点对称
B. 对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点P
C. 对任意[]01,1y ∈−，恒有012
x < D. 曲线C 在11y −≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4
的的的
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若π,02α ∈− ，且πcos2cos 4αα =+
，则α=__________. 13. 海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，
距离为在A 处看灯塔C ，在货轮北偏西30°
，距离为C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30°，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．
14. 若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m
+≤−⋅
恒成立，则b a −取得最大值时，sin 2
a b +=__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数
()π4sin cos 6f x x x =+
,x ∈R . （1）求函数()f x 的单调减区间; （2）求函数()f x 在π0,2
上的最大值与最小值. 16. 已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx −−−在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1−.
（1）求实数b 的值；
（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；
（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥−恒成立，求实数a 的取值范围．
17. 在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．
（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a
*N ，且ABC 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．
（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF °∠=，CDF θ∠=()
090θ°°<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值． 18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F
，离心率e =，点,P Q 分别是椭圆的右的
顶点和上顶点，POQ 的边PQ （1）求椭圆的标准方程； （2）过点(2,0)H −的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程； （3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12−，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值． 19. 正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.
（1）若1,3m n =
=，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由； （2）若0,6m n =
=，证明：集合A 不是“三元可拆集”； （3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.。