3.1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度_课件-湘教版数学选修1-1PPT

典例剖析 题型一 求平均速度 【例 1】 已知一物体作自由落体运动，运动的方程为 s＝12gt2， 求： (1)物体在 t0 到 t0＋d 这段时间内的平均速度 v . (2)物体在 t＝10 s 到 t＝10.1 s 这段时间内的平均速度．
解 (1)s(t0＋d)－s(t0)＝12g(t0＋d)2－12gt20 ＝gt0d＋12gd2. 在t0到 t0＋d这段时间内，物体平均速度为： v(t0，d)＝gt0d＋d 12gd2＝gt0＋12gd. (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s， 平均速度为10g＋12g×0.1＝10.05g(m/s)． 点评 物体的运动方程是s(t)，则从t＝t1到t＝t2的平均速度是 v(t，d)＝st2t2－－ts1t1.
(3)因为切线倾斜角为135°，所以8u＝tan 135°＝－1， u＝－18，f(u)＝116，
即P－18，116.
点评 解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜 率与之密切相关．同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线 平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识．
4．在抛物线y＝x2上求一点P，使点P到直线y＝4x－5的距离 最小．
[正解] ∵Δs＝2(2＋d)＋5－(2×22＋5)＝8d＋2d2， ∴平均速度为Δds＝8＋2d..
点评 应熟练掌握相关概念及公式，并会准确应用．
课堂总结 1．求物体运动的瞬时速度的基本思路是转化为求以该时刻 为端点的时间区间上的平均速度，然后逐渐缩小时间间隔逼近 瞬时速度． 2．曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降 的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切 线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态， 它实现了由割线向切线质的飞跃．
题型二 求瞬时速度
【例2】
已知一物体作自由落体运动，s＝
1 2
gt2(位移单位：
m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2)．
(1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度；
(2)求t＝3 s时的瞬时速度．
解 (1)当t在区间[3,3.1]时，d＝3.1－3＝0.1(s)， s(3.1)－s(3)＝12g×3.12－12g×32＝2.989(m)， v 1＝s3.1d－s3＝2.09.819＝29.89(m/s)． 同理，当t在区间[3,3.01]时， v 2＝29.449(m/s)， 当t在区间[3,3.001]时， v 3＝29.404 9(m/s)．
解 设P点坐标为(u，f(u))，在抛物线上另取一点Q(u＋d， f(u＋d))．
直线PQ的斜率 k(u，d)＝fu＋dd－fu ＝u＋dd2－u2＝2u＋d. 在所求得的斜率表达式中让d趋于0，表达式趋于2u,
所求过P点处切线斜率为2u，当过P点的切线与直线y＝4x－5 平行时，P点到直线y＝4x－5的距离最小，
点评 求曲线上点(x0，y0)处切线方程的步骤： (1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程．
3．求y＝f(x)＝x2－1在x＝1处的切线斜率及切线方程．
解 f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)2－1－(12－1)＝d2＋2d， d2＋d 2d＝d＋2→2(d→0) 即在x＝1处切线斜率为2. ∵f(1)＝0， ∴切线方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0
自主探究
1．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋d)中，相应的平
均速度等于( )．
A．6＋d
B．6＋d＋9d
C．3＋d
D．9＋d
答案 A
2．函数y＝x2在x＝1处的切线斜率k＝________. 答案 2
预习测评
1．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正 确的是( )．
题型四 求切点坐标 【例4】 在曲线y＝4x2上求一点P使得曲线在该点处的切线分 别满足下列条件： (1)平行于直线y＝x＋1； (2)垂直于直线2x－16y＋1＝0； (3)倾斜角为135°.
解 设f(x)＝4x2且P点坐标为(u，f(u))．在曲线上取另一点 Q(u＋d，f(u＋d))，计算直线PQ的斜率
2．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速 度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解 运动方程为s＝12at2. v(t，d)＝12at＋dd2－12at2 ＝12ad2d＋atd＝12ad＋at. 当d趋于0时，12ad＋at的极限为at. a＝5.0×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s， 所以，枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3 m/s，即800 m/s.
1．已知物体运动方程为s(t)＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单 位：s)，求：
(1)物体在运动前3 s内的平均速度； (2)物体在2 s到3 s内的平均速度．
解 (1)物体在前3 s内的位移为： s(3)－s(0)＝2×32＋2×3－0＝24(m)，故前3 s内的平均速度 为s3－3 s0＝234＝8(m/s)． (2)物体在2 s到3 s内的位移为 s(3)－s(2)＝24－(2×22＋2×2)＝12(m)． 故物体在2 s到3 s这段时间内的平均速度为s33－ －s22＝ 12(m/s)．
题型三 有关切线方程的探索 【例3】 已知曲线方程为y＝f(x)＝x3＋2x，求曲线在点P(1,3) 处的切线方程． 解 f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)3＋2(1＋d)－(13＋2×1) ＝3d＋3d2＋d3＋2d ＝5d＋3d2＋d3. 则k(1，d)＝5d＋3dd2＋d3＝5＋3d＋d2， 当d→0时，k(1)＝5， 则切线方程为：y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0.
答案 C
2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1
＋d,1＋Δy)，则Δdy等于( )．
A．1
B．2＋d
C．4果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d] 内的平均速度是________．
解析 v(2，d)＝s2＋dd－s2＝8＋2d. 答案 8＋2d
问题探索——求自由落体的瞬时速度 问题探索——求作抛物线的切线
1．理解并掌握平均速度、瞬时速度的概念，通过实例经历 并体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程．
2．理解并掌握求曲线切线的方法．
自学导引
1．平均速度 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间
(或一段位移)内的速度；若某物体在时刻t的位移为s＝s(t)，则该
(2)物体在[3,3＋d]上的平均速度是：
s3＋dd－s3＝12g3＋dd2－12g×32＝12g(6＋d)．
当d→0时，上式表达式值为3g，即物体在3 s时的瞬时速度为
3g＝29.4(m/s)．
点评
平均速度即位移增量与时间增量之比
st＋d－st d
，而
瞬时速度为平均速度在d→0时的极限值 ，二者有本质区别．
k(u，d)＝fu＋dd－fu ＝4u＋dd2－4u2＝8u＋4d. 在所求得的斜率表达式中让d趋于0，表达式趋于8u，所以P 点处切线斜率为8u.
(1)因为切线与直线y＝x＋1平行，所以8u＝1. ∴u＝18，f(u)＝116. 即P18，116. (2)因为切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，所以8u·－－216 ＝ －1， ∴8u·18＝－1. ∴u＝－1，f(u)＝4，即P(－1,4)．
st＋d－st
物体从时刻t到t＋d内的平均速度 v ＝
d
.
2．瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻的瞬时速度 v(t)，就是平均速度v(t，d)＝ft＋dd－ft在d趋于 0 时的 极限 ．
3．切线斜率 设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上一点， 作割线PQ，当点Q沿曲线C 无限趋于 点P，割线PQ就 无限趋于 某 一直线PT，我们就把直线PT叫做曲线C在点P处的 切线．其中PT 的斜率为割线PQ的斜率ft＋dd－ft在d趋于0时的极限．
所以2u＝4，u＝2. ∵P点在抛物线y＝x2上，∴f(u)＝4， ∴所求P点坐标为(2,4)．
误区警示 对概念、公式应用不准确致误 【示例】 求函数s＝2t2＋5在区间[2,2＋d]内的平均速度． [错解] ∵Δs＝2(2＋d)2＋5－(2×22＋5)＝8d＋2d2， ∴平均速度为8d＋2d2， 错因分析 平均速度为Δds.在式子Δds＝st2t2－－ts1t1中，Δs与d是 相对应的“增量”，即在d＝t2－t1时Δs＝s(t2)－s(t1)． 正确运用公式，解答过程中注意计算的准确性．
2．求瞬时速度的一般步骤
设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤
为：
(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为
ft＋d－ft d
，其中f(t＋
d)－f(t)称为位移的增量；
(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时
刻的瞬时速度．
3．求曲线y＝f(x)上一点(x0，y0)处切线斜率的步骤 (1)作差求函数值增量Δy，即f(x0＋d)－f(x0)． (2)化简Δdy，用x0与d表示化简结果． (3)令d→0，求Δdy的极限即所求切线的斜率． 4．过某点的曲线的切线方程 要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v) 的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上， 也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．
4．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一 点(－1＋d，－2＋Δy)，则Δdy＝________.
解析 Δy＝f(－1＋d)－f(－1) ＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d. ∴Δdy＝－d2d＋3d＝－d＋3.
答案 －d＋3
要点阐释 1．平均速度与瞬时速度的区别与联系 平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时 间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间 段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数 值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限 趋于0时的“飞跃”．
A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速 度
B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，这四个时刻 的速度都与t＝1时刻的速度相等
C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两 时间段的平均速度相等
D．以上三种说法都不正确