几个常用函数的导数 课件

∴三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在y= x 上，∴y′= 1 .
2x
又∵kAB=
1 2
,
∴
2
1 x
得x120，=1.
0
由y0= x0，得y0=1，∴P(1,1).

【想一想】解答题1，2的关键点是什么？ 提示：(1)解答题1的关键点是数形结合分析出xR=x1这一隐含 条件. (2)解答题2的关键点是注意到|AB|是定值，数形结合分析出 “三角形面积最大，只需P到AB的距离最大”，即“点P是与 AB平行且与抛物线相切的切线的切点”这一隐含条件.
32
程是___________.
3.已知函数f(x)= x, g(x)=alnx,a∈R,若曲线y=f(x)与曲 线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切 线的方程.
【解析】1.选C.由于P,Q为抛物线x2=2y(即y=1 x2)上的点，且
2
横坐标分别为4，-2，则P(4，8)，Q(-2，2)，从而在点P处的 切线斜率k1=y′|x=4=4.据点斜式，得曲线在点P处的切线方程 为y-8=4(x-4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y-2=2(x+2), 上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为-4.
2.求过点P与曲线相切的直线方程的步骤
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的
横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交
于点A，则点A的纵坐标为( )
(A)1
(B)3
(C)-4
(D)-8
2.过曲线y=cosx上点P( , 1 )且与该点处的切线垂直的直线方
2.∵y=cosx，∴y′=-sinx.曲线在点P( )处, 1的切线斜率
32
是
y
|
x
3
sin
3
3. 2
∴过点P且与P处的切线垂直的直线的斜率为
2，
3
∴所求的直线方程为y- 1= 2 (x )，
23 3
即 2x 3y 2 3 0.
32
答案：2x 3y 2 3 0
32
3.设两曲线的交点为(x0,y0),f′(x)=
f′(x)=__e_x _ f′(x)=__1x__
1.基本初等函数的导数公式的理解与识记 (1)五种常见函数的导数除常数函数外，其他四种均符合公式 2.f(x)=xα(α∈Q*),f′(x)=αxα-1. (2)八个基本初等函数的导数公式分别为：常数函数公式1；幂 函数公式2；三角函数公式3，4；指数函数公式5，6；对数函 数公式7，8.其中6是5的特例，8是7的特例.
1
x
2 3
.
3
(4)∵y= 2sin x c=ossixnx，∴y′=cosx.
22
(5)∵y= log1 x2 log1 x log1 x,
2
2
2
∴y′=
(log 1 x) 1 1 .
2
xln
2
【归纳】解答题2时的关键点及解答题3时的注意点. 提示：(1)解答题2时正确应用导数公式是关键. (2)解答题3时，注意当函数解析式较复杂时，首先考虑对解析 式进行相应地化简，整理成熟悉的基本初等函数的形式，再对 其进行求导.熟练掌握指数、对数的运算性质以及三角恒等变换， 对顺利解答题目也起到至关重要的作用.
cos
x ；(5)y=
2
log1 x2
2
log1 x
2
.
【解析】1.选D.∵f′(x)= ∴x1f2′，(-3)=
1. 9
2.∵y′=10xln10，∴y′|x=1=10ln10.
答案：10ln10
3.(1)y′=7x7-1=7x6.
(2)∵y=x-2，∴y′=-2x-2-1=-2x-3.
(3)∵y= x 13，∴y′=
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知函数f(x)= 1，则f′(-3)=( )
x
(A)4
(B) 1
9
(C) 1
4
2.若y=10x，则y′|x=1=__________.
(D) 1
9
3.求下列函数的导数.
(1)y=x7；(2)y=
1 ； (3)y=
x2
3 x；
(4)y=
2sin
x 2
(2)解决综合问题 借助导数公式，可以与其他知识相结合，研究一些与长度、面 积、参数的值等有关的综合性问题，因此导数公式在解决问题 过程中具有广泛应用.(关键词：导数公式)
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.设曲线y= x 上有点P(x1,y1)，与曲线切于点P的切线为m， 若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴 于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________. 2.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A，B两点，O为坐标 原点，试在抛物线的弧 AB上求一点P，使△ABP的面积最大.
导数的几何意义的简单应用 【技法点拨】
1.利用导数的几何意义解决切线问题的关键 利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是 切点. (1)如果已知点是切点，那么该点处切线的斜率就是该点处的 导数； (2)如果已知点不是切点，那么应先设出切点，再借助两点连 线的斜率等于在切点处的导数值进行求解.
提示：关键是设出交点(x0,y0)后由已知条件得到
x0 alnx0，
2
1 x0
a .
x0
导数公式的综合应用 导数公式的应用
(1)解决最值问题 利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一 些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题的关键是正确确 定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方 法求切点的坐标,运用配方法求出最值.(关键词：切点坐标)
2.应用导数求导公式的注意点
(1)应用导数公式时不需对公式说明，掌握这些公式的基本结
构和变化规律直接应用即可.
(2)对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关系，合理转
化后再求导.如y=
3
x2，y=
1 x3
等可以转化为y=
2
x 3，
y=x-3后再
求导.
求函数的导数 【技法点拨】
应用导数公式求导的规律 (1)方法选择：应用导数的定义求导，这是求导数的基本方法， 但运算较繁琐.利用导数公式求导，可以简化求导过程，降低 运算难度，是今后我们常用的求导方法. (2)转化化简：利用导数公式求导，有时还要先对函数解析式 进行化简整理，这样能够简化运算过程，降低运算难度.
2.基本初等函数的导数公式
函数 f(x)=c (c为常数)
f(x)=sinx
导函数 f′(x)=_0__ f′(x)=_c_o_s_x_
函数
导函数
f(x)=xα (α∈Q*)
f′(x)=_α__x_α_-_1_
f(x)=cosx f′(x)=_-_s_i_n_x_
f(x)=ax f′(x)=_a_x_l_n_a_ f(x)=ex f(x)=logax f′(x)=_x_l1_na_ f(x)=lnx
由已知得
x0 alnx0，
2
1 x0
a， x0
解得a= 1 e,x0=e2.
2
∴两条曲线的交点坐标为(e2,e),
切线的斜率为k=f′(e2)= 1 ,
2e
所以切线方程为y-e= 1 (x-e2),
2e
即x-2ey+e2=0.
g1′(x,)= x>0, a ，
2x
x
【总结】解答题3的关键点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
∵1n与，m垂直，
2 x1
∴n的斜率为-2 x∴1，直线n的方程为
y-y1=-2 x1(x-x1).令y=0，
则-y1=-2 x(1 xQ-x1)，∴xQ= 12+x1， 容易知道xR=x1，于是，|RQ|=|xQ-xR|1= .
2
答案： 1
2
2.∵|AB|为定值，
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则
1.几个常用函数的导数
(1)几个常用函数的导数
①若y=f(x)=c，则f′(x)=_0__；
②若y=f(x)=x，则f′(x)=_1__；
③若y=f(x)=x2，则f′(x)=_2_x__；
④若y=f(x)= 1
x
，则f′(x)=
1
___x_2
=_-_x_-_2_；
⑤若y=f(x)=
x
，则f′(x)=
2
1 x
=
1
x
1 2
2
.
(2)常用函数及其导数的共同特征 除常数函数外的其他四种函数实质上都是__特__殊__的__幂__函_数____， 它们的导函数的系数为_幂__函__数__的__指__数___，指数为_幂__函__数__的___ _指__数__减__1_所__得__数__值___.