2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市第一中学高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数z的对应点为()
1,1，则2z=（）
A．2B．2i C．2 D．22i
+
【答案】B
【分析】复数z的对应点为()
1,1，可得z=1+i．再利用复数的运算法则即可得出．
【详解】在复平面内，复数z的对应点为（1，1），
所以z=1+i．所以z2=（1+i）2=2i，
故选：B．
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）
A．25πB．50πC．125πD．都不对
【答案】B
【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：9162552
++=，
所以球的半径为：52
2
；则这个球的表面积是：2
52
4()50
2
ππ
=．
故选：B．
3．向量,,
a b c在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b
λ
+与c垂直，则实数λ=（）
A．2-B．3-
C．3 D．2
【答案】C
【分析】设+,,2+a i j b j c i j ==-=，其中1,1,i j i j ==⊥，根据向量垂直的条件可得选项． 【详解】由图可设+,,2+a i j b j c i j ==-=，其中1,1,i j i j ==⊥，所以()++1a b i j λλ=-， 又向量a b λ+与c 垂直，所以()+0a b c λ⋅=，即()()
+12+0i j i j λ⎡⎤-⋅=⎣⎦，
所以()2+10λ-=，解得3λ=. 故选：C.
4．已知在△ABC 中，3,4,10AB AC BC ===，则AB BC ⋅＝ A ．3
4
-
B ．32
-
C ．32
D ．34
【答案】B
【详解】分析：由余弦定理可得10
cos ,20
B =利用()cos AB B
C AB BC B π⋅=⋅⋅-可得结果. 详解：在ABC 中，由余弦定理得，
()
2
22
310
410
cos ,,20
2310
B AB B
C +
-=
=
⨯⨯的夹角等于B π-， 根据向量的数量积定义， ()cos AB BC AB BC B π⋅=⋅⋅- 103
310202
=-⨯⨯
=-，故选B. 点睛：本题考查利用定义求平面向量数量积，及余弦定理的应用,属于中档题. 对余弦定理一定要熟
记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式
的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
5．如图，长方体1111ABCD A B C D -的棱所在直线与直线1BA 为异面直线的条数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C
【分析】画出图形，根据异面直线的定义即可数出.
【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中与棱1BA 所在直线是异面直线的有1111,,,,DC DA D C C B 11,DD CC ，共6条．
故选：C.
6．如图所示，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
①点A 与点C 在某一位置可能重合；②点A 与点C 的最大距离为2AB ； ③直线AB 与直线CD 可能垂直； ④直线AF 与直线CE 可能垂直. 以上说法正确的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，A,C 的运动轨迹分别是圆；AB,AF 是以BF 为旋转轴的圆锥型侧面；CE,CD 是以DE 为旋转轴的圆锥型侧面.
【详解】由题意，在翻折的过程中，A,C 的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合， 故①不正确；
点A 与点C 的最大距离为正方形的对角线2AC =, 故②正确；
由于△ABF 和△CDE 全等，把△CDE 平移使得DC 和AB 重合，
如图，
△ABF绕BF旋转形成两个公用底面的圆锥，AB,CD是稍大的圆锥的母线，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夹角为锐角，所以不可能垂直，
故③不正确；
同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夹角为钝角，所以可能垂直，
故④正确.
故选:C.
【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，侧重考查直观想象的核心素养.
7．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则BM MN
⋅的取值范围是（）
A．[
3
4
-，
23
64
-] B．[
3
4
-，
1
2
-] C．[
2
5
-，
1
5
-] D．[
3
5
-，
1
2
-]
【答案】A
【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根
据条件可得出
313
0,,,
244
B N
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，并设
11
(,0),
22
M x x
-≤≤，从而可得出2
13
48
BM MN x x
⋅=---，
根据x的范围，配方即可求出BM MN
⋅的最大值和最小值，从而得出取值范围.
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则：1313,0,0,,,2244A B N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设11(,0),22M x x -≤≤， 313,,,244BM x MN x ⎛⎫⎛⎫
∴=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 2
2
1312348864BM MN x x x ⎛
⎫∴⋅=---=-+- ⎪⎝
⎭，且1122x -≤≤，
1
2x ∴=
时，BM MN ⋅取最小值31;48x -=-时，BM MN ⋅取最大值2364
-， ∴BM MN ⋅的取值范围是323,464⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
.
故选：A.
【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.
8．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点11,,,E F F E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ）
A ．32
B ．74
C ．2
D ．94
【答案】D
【分析】利用两个容器中的水的体积相等，即可得到水面的高度. 【详解】因为11,,,E F F E 分别为所在棱的中点， 所以棱柱1111EFCB E FC B -的体积3
9334
4
ABC ABC
EFCB V S S S =⨯=⨯=
梯形
设甲中水面的高度为 h ，则94
ABC
ABC
S h S ⨯=
，解得94
h =
， 故选：D.
二、多选题
9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱
C ．棱锥
D ．正方体
【答案】ACD
【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.
【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形， 三棱锥平行于底面的截面是三角形，
正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形11AC D ,
故选：ACD
10．设z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A ．2
z z z =⋅
B ．2
2z z =
C ．若1z =，则i z +的最小值为0
D ．若11z -=，则02z ≤≤
【答案】ACD
【分析】根据复数的概念以及复数的几何意义对每个选项逐个判断即可.
【详解】对于A ，不妨设i(,)z a b a b R =+∈，所以i z a b =-.因为22z a b +2
22z a b =+；又因为22(i)(i)z z a b a b a b ⋅=+-=+，所以2
z z z =⋅.故A 正确；
对于B ，不妨设i(,)z c d c d R =+∈，则2222(i)2i z c d c d cd =+=-+，2
22z c d =+，2z 和2
z 不一定相等，故B 错误；
对于C ，根据复数的几何意义可知，1z =表示以原点为圆心，1为半径的圆上的点M ；i z +表示点
M 到点(0,1)N -的距离，那么点M 与点N 重合时距离最小为0，故i z +最小值为0，故C 正确； 对于D ，根据复数的几何意义可知，11z -=可以表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点P ,z 表示点P 到原点O 的距离，则当点O 与点P 重合时距离最小为0；当点(2,0)P 时距离最大为2.故
02z ≤≤，故D 正确.
故选:ACD
11．对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形
B ．若AB
C 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立 C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为锐角三角形
D ．若2||AC AB AB ⋅>，则ABC 为钝角三角形 【答案】BD
【分析】对选项A ，根据题意得到A B =或2
A B π
+=，即可判断A 错误；对选项B ， 根据题意得
到
02
2A B π
π
>>
->，从而得到sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，即可判断B 正确；对选项C ，根据题意得到2
2
2
0a b c +-<，从而得到222
cos 02a b c C ab +-=
<，即可判断C 错误；对选项D ，根据2||AC AB AB ⋅>得到B 为钝角，即可判断D 正确.
【详解】对选项A ，sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=， 所以A B =或2
A B π
+=
，故A 错误；
对选项B ，ABC 是锐角三角形， 所以
02
2
A B π
π
>>
->，
所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，故B 正确.
对选项C ，222222sin sin 1cos sin sin sin A B C A B C +<-⇒+<， 所以2
2
2
0a b c +-<，222
cos 02a b c C ab
+-=
<. 又因为0C π<<，所以C 为钝角，ABC 为钝角三角形，故C 错误； 对选项D ，()
2
2AC AB AB BC AB AB AB BC AB ⋅=+⋅=+⋅>， 所以()cos 0AB BC AB BC B π⋅=⋅->，
即cos 0B <，又因为0B π<<，所以B 为钝角，ABC 为钝角三角形，故D 正确. 故选：BD
12．在ABC 中，若()()()::9:10:11a b a c b c +++=，下列结论中正确的有（ ） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C =
B ．AB
C 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD
【分析】先根据题意求出a ，b ，c ,结合正弦定理可得A ，D 的正误, 结合余弦定理可得B ，C 的正误.
【详解】由题意,设9,10,11a b x a c x b c x +=+=+=, 解得4,5,6a x b x c x ===; 所以sin :sin :sin 4:5:6A B C =, 所以A 正确; 由以上可知C 最大,
()()()222
4561
cos 02458
x x x C x x
+-=
=
>⨯⨯ 所以C 为锐角, 所以B 错误; 由以上可知A 最小,
()()()222
5643cos 2564
x x x A x x
+-=
=
⨯⨯,
291cos22cos 121168
A A =-=⨯-=, 即cos cos2C A =,
因为C 为锐角,2A 为锐角,所以2C A = 所以C 正确;
因为1cos 8C =
，所以sin C =
设ABC 外接圆的半径为r ,则由正弦定理可得2sin c r C ==
所以r =
所以D 正确. 故选: ACD.
三、填空题
13．向量(2,1)a =在向量(3,4)b =方向上的投影向量的模为________． 【答案】2
【详解】根据投影的定义可得：
a 在
b 方向上的投影向量为：3,423168cos ,
55916b a b b a a b
b
b b
⋅⨯+⎛⎫
=
⋅== ⎪+⎝⎭，．
所以a 在b 2=
故答案为：2
14．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为______. 【答案】48
【分析】根据正三棱柱的体积计算出a 的值，由此可计算出该正三棱柱的侧面积.
2
，
所以，该正三棱柱的体积为23V a =
⨯==4a =， 因此，该正三棱柱的侧面积为2233448a =⨯=. 故答案为48.
【点睛】本题考查正三棱柱的侧面积的计算，解题的关键就是利用正三棱柱的体积计算出棱长，考查计算能力，属于基础题.
15．将函数()()sin (0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-≤<
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标
不变，再向右平6
π
个单位长度得到sin y x =的图象，则3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
________．
【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()f x 的解析式，可得3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值． 【详解】解：将函数()()ππ
sin (0)22
f x x ωϕωϕ=+>-≤<，
， 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得sin(2)y x ωϕ=+的图象， 再向右平移
6
π个单位长度得到sin(22)sin 6y x x π
ωωϕ=-+=的图象，
21ω∴=，且226
k π
ω
ϕπ-+=，Z k ∈，
解得12ω=
，6πϕ=，∴函数1
()sin 2
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
3sin 332f ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 故答案为：
3
2
16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若O 为ABC 的重心，OB OC ⊥，32b c =，则cos A =________. 【答案】
13
15
【分析】根据πADB ADC ∠+∠=及余弦定理建立方程得出2225b c a +=，再由余弦定理求解即可． 【详解】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，
由题意得D 为BC 的中点，OB OC ⊥，所以1
2OD BD CD a ===，32
AD a = 因为πADB ADC ∠+∠=，
所以222222
91914444cos cos 0313*******a a c a a b ADB ADC a a a a +-+-∠+∠=
+=⨯⨯⨯⨯，得2225b c a +=. 故2222
2
2
2
11
221355cos 2255315
232b c b c b c a b c A bc bc c b +--+-⎛⎫⎛⎫===+=⨯+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故答案为：
1315
四、解答题
17．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()22
2212i z m m =-+-（m ∈R ），设AB
对应的复数为z .
（1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；
（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m =-；（2）122
m -<<-.
【分析】（1）求出21z z z =-，z 是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；
（2）根据z 的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.
【详解】点A ，B 对应的复数分别为()2212i,212i z m m z m m =-=-+-，
AB ∴对应的复数为z ，222121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-，
（1）复数z 是纯虚数，2221020m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩
， 解得11221
m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且，
12
m ∴=-； （2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，
位于第四象限，2221020m m m m ⎧-->∴⎨+-<⎩，即11221m m m ⎧-⎪⎨⎪-<<⎩
或， 122
m ∴-<<-. 【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.
18．已知平面向量(1,2),(3,2)a b ==--．
(1)若//(2)c a b +，且25c =，求c 的坐标；
(2)若a 与a λb +的夹角为锐角．求实数λ的取值范围．
【答案】(1)(2,4)c =-或(2,4)-
(2)5(,0)(0,)7
λ∈-∞⋃
【分析】（1）设(,)c x y =，由向量平行和向量的模列出方程组可解得x ，y ，即可得向量的坐标； （2）由()
0a a b λ⋅+>可求出λ的范围，去除两向量共线的情形即可得最终范围.
【详解】（1）设(,)c x y =，2(2,4)(3,2)(1,2),+=+--=-a b 因为(2)∥+c a b ，所以2x y =-，因为25c =
，所以= 解得：24x y =⎧⎨=-⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩
，所以(2,4)c =-或(2,4)-
（2）(1,2)a =，(1,2)(3,2)(13,22)λλλλλ+=+--=--a b ，
因为a 与a λb +的夹角为锐角，所以()0222(13)a a b λλλ⎧⋅+>⎪⎨-≠-⎪⎩
， ()()1322200λλλ⎧-+⨯->⎨≠⎩
， 解得：57λ<且0λ≠， 即5(,0)(0,)7
λ∈-∞⋃ 19．如图所示正四棱锥S -ABCD ，4SA SB SC SD ====，22AB =，
P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，求：
(1)正四棱锥S -ABCD 的表面积；
(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面P AC .若存在，求
SE EC
的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)887+
(2)存在，
2SE EC =.
【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S -ABCD 的表面积；
（2）取SD 中点为Q ，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ，由线面平行的判定可得//BQ 平面P AC ，根据等比例性质有//QE PC ，再根据线面平行的判定得//QE 平面P AC ，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性.
【详解】（1）正四棱锥S -ABCD 中4SA SB SC SD ====，22AB =14h =， 所以正四棱锥S -ABCD 的表面积12222414228872
S =⨯+（2）在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面P AC ，满足
2SE EC
=， 理由如下：
取SD 中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，
过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE .
在BDQ △中有//BQ PO ，PO ⊂平面P AC ，⊄BQ 平面P AC ，
所以//BQ 平面P AC ， 由2SE SQ EC QP
==，则//QE PC ，PC ⊂平面P AC ，QE ⊄平面P AC ， 所以//QE 平面P AC ，而BQ QE Q =，故面//BEQ 面P AC ，
又BE ⊂面BEQ ，则//BE 平面P AC ，此时2SE EC
=. 20．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 33cos sin c a B a B =-．
(1)求A 的大小；
(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且AD ＝3，求△ABC 面积的最小值．
【答案】(1)23A π=
(2)93
【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案；
（2）由1211sin sin sin 232323
ABC S
bc b AD c AD πππ==⋅+⋅可得33bc b c =+，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】（133cos sin sin C A B A B =-， 3)3cos 3sin 3cos sin sin A B A B A B A B A B +==-， 3sin sin sin A B A B =-，
因为(),0,sin 0A B B π∈∴≠，所以tan 3A =23A π=.
（2）因为1211sin sin sin 232323
ABC S bc b AD c AD πππ==⋅+⋅， 所以33bc b c =+.
因为336bc b c bc =+≥，即36bc ≥（当且仅当b ＝c ＝6时，等号成立），
所以3934ABC
S bc =≥．故△ABC 面积的最小值为93. 21．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD ⊥，点E 为BC 的中点，点F 在AD EF ，∥,4AB BC EF DF ===，将四边形CDFE 沿EF 边折起，如图2.
(1)证明：图2中的AE ∥平面BCD ；
(2)在图2中，若23AD =.
【答案】(1)证明见解析
203
【分析】（1）取DF 中点G ，连接AG EG CG ,,，分别证得//AG BC 和//GE DC ，结合面面平行的判定定理，证得平面//AGE 平面BCD ，即可证得//AE 平面BCD .
（2）由23AD =222DF AD AF =+，证得AD AF ⊥，连接DE ，把该几何体分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥D BCE -，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：取DF 中点G ，连接AG EG CG ,,，
因为//,CE GF CE GF =，所以四边形CEFG 是平行四边形，
所以////CG EF AB 且CG EF AB ==，
所以四边形ABCG 是平行四边形，所以//AG BC ，
因为AG ⊂平面AGE ，且BC ⊄平面BCD ，所以//AG 平面BCD ，
同理可知：四边形CEGD 是平行四边形，所以//GE DC ，证得//GE 平面BCD ，
因为,AG GE ⊂平面AGE ，且AG GE G ⋂=，,BC DC ⊂平面,BCD BC DC C ⋂=，
所以平面//AGE 平面BCD ，
因为AE ⊂平面AGE ，所以//AE 平面BCD .
（2）解：若23AD =， 因为2AF =，4DF =，则222DF AD AF =+，故AD AF ⊥，
所以,AD AB AF ,两两垂直，
连接DE ，该几何体分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥D BCE -， 则ABEF 111632423333
D ABEF V S AD -=⋅=⨯⨯⨯=矩形， 因为平面//BC
E 平面AD
F ，故211343243343
D BC
E A BCE BCE V V S AB --==⋅=⨯⨯⨯=， 所以该几何体的体积为2033
D ABEF D BC
E V V V --=+=.
22．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin sin 2sin 2A C B B +-=，π3
A =.
(1)求证：ABC 是直角三角形；
(2)已知2c b ≠，23a =P ，Q 是边AC 上的两个动点（P ，Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π6θ=时，设PBQ 的面积为S ，求S 的最小值； ②记BPQ α∠=，BQP β∠=.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 24sin sin k k αβαβ++=成立？若存在，求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)①(323②存在，π3
θ=
，3k
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将sin A 化为()sin C B +，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状；
（2）①设QBC x =∠，利用正弦定理求出BQ 、BP ，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在实常数,k θ，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为sin()0[12cos()]0k k αβαβ+-=⎧⎨++=⎩
进行求解. 【详解】（1）证明：在ABC 中，因为πA B C ++=，
且()sin sin 2sin2A C B B +-=，
所以()()sin sin 2sin2C B C B B ++-=，
即2sin cos 4sin cos C B B B =，
所以cos 0B =或者sin 2sin C B =.
当cos 0B =时，即π2
B =，所以AB
C 为直角三角形； 当sin 2sin C B =
时，2πsin 2sin sin 3C C C C ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭
， 从而cos 0C =，因此π2
C =，所以ABC 为直角三角形. 综上所述，ABC 是直角三角形.
（2）解：①因为2c b ≠，所以π2B =
， 又π
3A =
，a =2c =，4b =.
如图，设QBC x =∠，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 则在QBC △中，由正弦定理，得()
sin sin BQ BC C C x =+，
所以sin 6BQ x =+ ⎪⎝
⎭在ABP 中，由正弦定理，得πsin sin 3BP BA A x =⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，
所以sin 3BP x =+ ⎪⎝
⎭.
所以1π3sin ππ264sin sin 63S BP BQ x x =⋅==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
故当π2
2x =，即π4x =时，(min 32S ==. ②假设存在实常数,k θ，对于所有满足题意的,αβ， 都有sin2sin24sin sin k k αβαβ++=成立，
则存在实常数,k θ，对于所有满足题意的,αβ， 都有()()()()(2sin cos 2[cos cos k k αβαβαβαβ⎤+-+=--+⎦. 由题意，παβθ+=-是定值，
所以()sin αβ+，()cos αβ+是定值，
()()()2sin cos 12cos 0k k αβαβαβ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦对于所有满足题意的,αβ成立，
故有sin()0[12cos()]0k k αβαβ+-=⎧⎨++=⎩
， 因为()sin 0k αβ=+≠，从而()12cos 0αβ++=，
即()1cos 2
αβ+=-， 因为,αβ为BPQ 的内角，所以2π3αβ+=，
从而2πππ33θ=-=，k =.。